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    基于教材分析,發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的課堂設(shè)計

    2018-11-29 06:48:36徐榮新
    福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年3期
    關(guān)鍵詞:周期性圖象數(shù)形

    徐榮新

    1 基本情況

    1.1 教材分析

    本節(jié)課是蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修4第一章第三節(jié)的第一節(jié)課,主要內(nèi)容是周期函數(shù)的概念,以及正弦、余弦函數(shù)的周期性,在此之前本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù),以及在此基礎(chǔ)上的誘導(dǎo)公式;而在本節(jié)之后將學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),周期性則是為作圖提供了理論依據(jù),所以本節(jié)知識既是前面知識的延續(xù),又是后續(xù)知識的基礎(chǔ).

    同時周期性的研究也是數(shù)形結(jié)合思想的完美表現(xiàn),思想方法的教學(xué)就應(yīng)滲透在平常的教學(xué)中,用好關(guān)鍵的章節(jié),因此在學(xué)習(xí)周期函數(shù)的定義后,要用好課本的思考題,去探究等量關(guān)系所體現(xiàn)的圖象特征.

    通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),將進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、邏輯推理能力,數(shù)據(jù)分析能力以及分析問題和解決問題的能力,發(fā)展理性思維.

    1.2 教學(xué)目標

    (1)了解周期函數(shù)的相關(guān)概念,能從“形”和“數(shù)”的角度體會函數(shù)的周期性,會利用定義、圖象和公式求一些簡單三角函數(shù)的周期.

    (2)通過生活中周幾現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化剖析,理解周而復(fù)始,提煉給出函數(shù)周期性的定義;在運用中加深對定義的理解;并嘗試利用定義尋求三角函數(shù)的周期性,總結(jié)規(guī)律.

    1.3 教學(xué)重難點

    重點:周期函數(shù)的定義和正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性;

    難點:周期函數(shù)的概念.

    2 教學(xué)過程

    環(huán)節(jié)1 新知建構(gòu)

    教師:(1)今天周二,7天后周幾?14天后呢?7天前呢?14天前呢?為什么?

    學(xué)生:都是星期二!因為星期是以7天為一循環(huán).

    (2)這種現(xiàn)象你能用一個成語來刻畫嗎?

    學(xué)生(討論):“周而復(fù)始”比較恰當.

    (3)你能結(jié)合周幾現(xiàn)象解釋“周而復(fù)始”這個詞嗎?生活中還有其他的例子嗎?

    學(xué)生:每過七天,周幾和今天是一樣的,也就是每經(jīng)過一段重復(fù)出現(xiàn),與原來一樣.

    舉例:“生活中的月份”、“離離原上草,一歲一枯榮,野火燒不盡,春風(fēng)吹又生”等等.

    活動意圖通過對生活現(xiàn)象的剖析,讓學(xué)生體會到“周而復(fù)始”的本質(zhì),即經(jīng)過一定間隔又回到開始的地方.

    教師:你能舉出三角函數(shù)中“周而復(fù)始”現(xiàn)象嗎?

    學(xué)生:三角函數(shù)線旋轉(zhuǎn)重合.

    學(xué)生:還有三角函數(shù)值相等:譬如sin(x+2π)=sinx.

    教師:很好,兩位同學(xué)分別從“圖形”和“代數(shù)”的角度讓我們體會到了“周而復(fù)始”,其本質(zhì)是一樣的,其中代數(shù)式“sin(x+2π)= sinx”反映了任意角x的函數(shù)值等于它增加2π之后的函數(shù)值,我們把這種性質(zhì)稱為——周期性,

    設(shè)計意圖在對周而復(fù)始現(xiàn)象的剖析后,轉(zhuǎn)入三角函數(shù)問題中周而復(fù)始現(xiàn)象的探究,在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進行問題的延伸探討,并引導(dǎo)學(xué)生初步感受周而復(fù)始現(xiàn)象的數(shù)形兩樣特征表現(xiàn),同時結(jié)合“sin(x+2π)=sinx”給出周期性的初步說明.

    教師:同學(xué)們能嘗試給出一般周期函數(shù)的定義嗎?

    學(xué)生(師生一起完善):對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零的常數(shù)T,使得對于定義域內(nèi)的每一個x值,都滿足f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

    教師:這個定義中,哪些詞應(yīng)該引起我們的特別關(guān)注?

    學(xué)生:“非零常數(shù)”,否則沒有研究價值;“每一個”體現(xiàn)了任意性,不能出意外;“f(x+T)=f(x)”這是周期性“數(shù)”的本質(zhì).

    教師:同學(xué)們總結(jié)得非常到位,這些關(guān)鍵詞的理解與我們先前學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性有異曲同工之處,對定義的理解也是我們進一步研究的根基.

    設(shè)計意圖 在之前問題解決的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言嘗試提煉,進行定義的建構(gòu),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力,并在三個方面進行辨析理解,即表達式、間隔的非零要求、以及自變量的任意性,與奇偶性的對照理解則加深學(xué)生對關(guān)鍵點處的認識.

    追問1:根據(jù)周期函數(shù)的定義,正弦函數(shù)還有其他周期嗎?

    學(xué)生:還有,從誘導(dǎo)公式sin(x+2kπ)= sinx(k∈Z)中可以看出4π,甚至-4π也是它的周期;或者從三角函數(shù)線也可以看出,逆時針或者順時針旋轉(zhuǎn)兩圈也可以重復(fù).

    教師:很好,這位同學(xué)從“數(shù)”與“形”的角度發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)周期的不唯一性,但由于周期函數(shù)的重復(fù)性,我們研究一個函數(shù),只要研究一個周期即可,因此我們規(guī)定:對于一個周期函數(shù)f(x),如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期,譬如f(x)= sinx的最小正周期就是2π——其證明可參考課本的“鏈接”,以后我們研究函數(shù)的周期,如果不特別說明,都指最小正周期.

    設(shè)計意圖:借助三角函數(shù)線、誘導(dǎo)公式發(fā)現(xiàn)其他周期,進而引出最小正周期概念,說明最小正周期的研究合理性:一個周期的特征足以描述其他范圍內(nèi)函數(shù)的特征.

    追問2:周期函數(shù)圖象有什么特征?原因是?

    學(xué)生:循環(huán),重復(fù)出現(xiàn),因為函數(shù)值的相等!

    教師:很好,函數(shù)值的相等反映在圖形上就是重復(fù)出現(xiàn),之前在研究函數(shù)的奇偶性時,我們先觀察到圖形關(guān)于y軸對稱或者原點對稱,從而反映x和-x函數(shù)值的相等或者相反,即由形到數(shù),后續(xù)我們則利用函數(shù)的周期性來研究三角函數(shù)的圖象,即由數(shù)到形.

    設(shè)計意圖充分挖掘代數(shù)問題背后的圖形特征,進行直觀想象,引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)完整的數(shù)形結(jié)合思想,并與函數(shù)的奇偶性研究思路進行對比:后者是先圖形,再有數(shù)量的刻畫,而周期性則是先有數(shù)量的刻畫再有圖形的特征.

    環(huán)節(jié)2 知識應(yīng)用

    問題1:若鐘擺的高度h(mm)與時間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.

    (1)求該函數(shù)的周期;

    (2)求t=10s時鐘擺的高度.

    學(xué)生:從圖象可以觀察出,周期為1.5s;

    設(shè)函數(shù)為h(t),因為周期為1.5s,

    所以h(10)= h(6x1.5+1)= h(1)=20.

    設(shè)計意圖在第(1)問通過實際問題讓學(xué)生感受周期性圖象的特點,體會其中的數(shù)形結(jié)合思想;第(2)問則引導(dǎo)學(xué)生在求值中應(yīng)用周期性,實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的功能,體會周期性在求解函數(shù)值中的作用.

    問題2:我們知道三角函數(shù)是刻畫圓周運動的數(shù)學(xué)模型,那么周期性在三角函數(shù)中怎么體現(xiàn)呢?

    探究:函數(shù)f(x)= cos2x的周期是?

    學(xué)生回答(教師板演):設(shè)f(x)的周期為T,則f(x+T)=f(x),即cos2(x+T)=cos2x,亦即cos(u+2T)= cosu對任意u恒成立,則2T=2π,即周期為π.

    教師:很好,抓住周期函數(shù)的定義是這個問題解決的關(guān)鍵,同時也利用整體思想,結(jié)合誘導(dǎo)公式得到了2T= 2π,繼而解決問題.

    追問:請同桌之間互相出題,給出一個三角函數(shù),并求出其周期.

    教師:通過黑板上同學(xué)板演的三道題,結(jié)合你們自己的問題,能總結(jié)出一般的規(guī)律嗎?

    設(shè)計意圖通過前面問題的研究,來到本節(jié)課的主題:三角函數(shù)的周期性,由于前面問題的研究,以及學(xué)生在此之前已有的知識儲備,此處的問題解決將顯得自然,讓邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力得到提升,探究和互相出題問題的解決,讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程,提升數(shù)據(jù)分析能力,總結(jié)得出正余弦函數(shù)周期性的一般性結(jié)論.

    環(huán)節(jié)3 回顧總結(jié),提升認識

    學(xué)生總結(jié)、教師點撥,完成本節(jié)課的知識和思想方法提煉.

    知識層面:了解了什么是周期函數(shù),形和數(shù)的特點;掌握周期的求法:定義法,圖象法,公式法;

    思想方法層面:體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,整體思想,從特殊到一般等等.

    教師:研究了周期性,那么三角函數(shù)本身的圖象有何特征?后面我們將利用周期性來研究.

    3 教學(xué)思考

    3.1 發(fā)展核心素養(yǎng)要激活學(xué)生思維

    課堂上學(xué)生活躍而投入的思維是發(fā)展核心素養(yǎng)的基石,只有從主觀上愿意去探究、接受新知,才有可能在此過程中讓核心素養(yǎng)得到訓(xùn)練和提升,而激活思維一方面取決于學(xué)生先天對學(xué)科的認同和對知識的好奇,另一方面也取決于教師對問題和情境的設(shè)計,本節(jié)課在教學(xué)伊始提出“周幾現(xiàn)象”、“用成語刻畫”、“生活中其他例子”,一下子把學(xué)生的思維提高到一定的興奮點,進而引入到數(shù)學(xué)內(nèi)部本身,同時在定義的生成過程中與函數(shù)的奇偶性進行對比研究,也是基于學(xué)生已有的認知水平,通過類比研究讓學(xué)生覺得新知并不陌生,只是同一類知識的不同表現(xiàn),因此激活思維首要是合理地設(shè)計情境和問題,讓學(xué)生克服新知學(xué)習(xí)的畏難情緒,具備探究新知的良好心理狀態(tài).

    3.2 發(fā)展核心素養(yǎng)仍需立足“四基”

    基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(俗稱“四基”)是課堂教學(xué)的首要任務(wù),而“四基”教學(xué)是發(fā)展核心素養(yǎng)的有機載體,把發(fā)展核心素養(yǎng)融入在“四基”教學(xué)中,因此我們在問題的設(shè)計和處理中要一如既往地立足于“四基”的教學(xué),要引導(dǎo)學(xué)生掌握基本知識和方法、體會基本數(shù)學(xué)思想、總結(jié)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程,促使學(xué)生核心素養(yǎng)的不斷提升和發(fā)展,本節(jié)課在情境引入中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象,定義之后的追問則引發(fā)了直觀想象,問題1則是數(shù)學(xué)的基本運算,同時讓學(xué)生感悟到數(shù)形結(jié)合的思想方法,而在問題2的研究中則讓邏輯推理能力得到了提升,在幾個題目的剖析后通過總結(jié)得到周期的公式則是基于數(shù)學(xué)分析能力,也感受到從特殊到一般的數(shù)學(xué)處理方法.

    3.3 發(fā)展核心素養(yǎng)要創(chuàng)設(shè)探究活動

    波利亞說過:“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn),因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻,也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”,因此發(fā)展核心素養(yǎng)要盡可能地給予學(xué)生探究的空間和時間,本節(jié)課在周期公式的探究中,通過之前的鋪墊,讓學(xué)生之間互相出題解決,激發(fā)了學(xué)生的熱情,并通過學(xué)生的展示去總結(jié)歸納,這樣的效果肯定比我們教師簡單的傳授效果要好,印象要深刻,正所謂“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行”!在平常的教學(xué)過程中要通過局部的探究活動來實現(xiàn)難點和重點的突破,而且是學(xué)生的主動突破,這也是教師在備課時要加以考慮的一個環(huán)節(jié).

    3.4 發(fā)展核心素養(yǎng)要基于教材分析

    每一節(jié)課的學(xué)習(xí)過程和內(nèi)容都是我們發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有機載體,如何最大化地發(fā)揮問題、活動的效益是教師備課時必須考慮的,如果問題僅限于問題本身,可能也就失去了研究的價值,或者說限于教師的能力,由于自己對題目理解的局限性而影響了學(xué)生對問題的理解,因此教師需仔細研讀教材,領(lǐng)會教材編寫者設(shè)置例題的意圖,體會其與已有知識、方法的聯(lián)系,甚至在數(shù)學(xué)思想等方面的深度和高度,以自己的高度引領(lǐng)學(xué)生的高度,去設(shè)計合理的情境,挖掘例題的功能,組織科學(xué)的學(xué)生活動等等.

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