探求不變量 巧解動(dòng)態(tài)題

張濤

近幾年中考試卷和模擬卷中出現(xiàn)了很多動(dòng)態(tài)型問題，它們立意新穎，靈活多變，集幾何、代數(shù)知識于一體，考查學(xué)生思維的靈活性、嚴(yán)密性、創(chuàng)新性，解決這類試題時(shí)，需要用運(yùn)動(dòng)和發(fā)展的眼光去分析問題，把握運(yùn)動(dòng)的全過程，尤其需要關(guān)注其中的不變量，這里的不變量，是指在運(yùn)動(dòng)過程中，保持不變的數(shù)量或關(guān)系，可以分為數(shù)值不變量和圖形不變量，利用不變量解決動(dòng)態(tài)問題，往往能收到事半功倍的效果，下面舉例說明之.

1 數(shù)值不變量

數(shù)值不變量是指在運(yùn)動(dòng)過程中，線段長度、角的大小、圖形的周長、圖形的面積保持不變，或者這些量的和差倍分關(guān)系保持不變.

例1（2012年揚(yáng)州中考題）如圖1，線段AB長為4，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC，BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是

分析 D，E分別在線段AC，BC的垂直平分線上，所以D，E的水平距離是不變量.

點(diǎn)評 相對于建立函數(shù)關(guān)系式求最小值，利用線段MN這個(gè)不變量求解避免復(fù)雜的計(jì)算，巧妙簡潔.

分析 P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PAB=∠PBC，則∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90。，則∠P=90。，所以∠P是不變量，從而得出點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的一段弧，化隱為顯.

點(diǎn)評 若動(dòng)點(diǎn)對定線段所成的張角是不變量時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓弧.

分析線段BB'，CC'，DD'的大小隨著P的運(yùn)動(dòng)而變化，但三條線段始終滿足BB'+CC'=DD'，三條線段的數(shù)量關(guān)系是第一個(gè)不變量，此外，由于點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，BC∥AD，則△ADP的面積也是不變量.

點(diǎn)評 復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)和圖形中可能蘊(yùn)含了多個(gè)不變量，解題時(shí)應(yīng)充分挖掘不變量.

2 圖形不變量

圖形不變量是指在運(yùn)動(dòng)過程中，圖形的形狀、相互關(guān)系（全等、相似）、位置關(guān)系（平行、垂直、夾角的大?。┍３植蛔?

點(diǎn)評 通過△AMN這個(gè)不變量，巧妙地將雙動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成了單個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題，化繁為簡.

點(diǎn)評 通過構(gòu)造基本圖形得到不變量，體現(xiàn)了不變量的生成性.

點(diǎn)評 平行或者垂直這類位置關(guān)系的不變量是比較直觀易找的.

一般來說，求解動(dòng)態(tài)問題時(shí)應(yīng)先找到主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)，從整體上把握運(yùn)動(dòng)的全過程，進(jìn)而有目標(biāo)、有意識地尋找圖形中是否蘊(yùn)含不變量，借助于不變量去分析問題，若圖形和運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，應(yīng)充分挖掘與所求量相關(guān)的不變量，若原有圖形中缺少不變量，有時(shí)也可以借助基本圖形來構(gòu)造不變量，總之，只要在變化中抓住不變量，化隱為顯，化動(dòng)為靜，化繁為簡，就可以簡潔巧妙地破解很多動(dòng)態(tài)問題.