淺議數(shù)學(xué)邏輯知識(shí)在高考中的合理運(yùn)用

劉文生

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，表述數(shù)學(xué)概念和結(jié)論、進(jìn)行推理和論證都要使用邏輯知識(shí)遵循邏輯規(guī)則，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)了常用邏輯用語(yǔ)，要求學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)命題的形式表述數(shù)學(xué)事實(shí)，能準(zhǔn)確運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言;學(xué)會(huì)分析數(shù)學(xué)命題的條件與結(jié)論，能把握條件的充分性與必要性;要學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)命題的逆命題、否命題和逆否命題，能對(duì)數(shù)學(xué)命題作必要的轉(zhuǎn)化;學(xué)會(huì)分析復(fù)合命題的結(jié)構(gòu)特征，能正確理解“或”、“且”、“非”命題的真假;學(xué)會(huì)區(qū)分單稱(chēng)命題、全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題，能理解它們的否定形式，要學(xué)會(huì)研究特例或舉反例。

高考中，對(duì)常用邏輯知識(shí)的考查常常含而不露，在理解問(wèn)題時(shí)、在轉(zhuǎn)換問(wèn)題時(shí)、在推理論證時(shí)、在表述解答時(shí)，我們都必須遵照數(shù)學(xué)邏輯的要求，必須正確把握邏輯規(guī)則，本文結(jié)合高考真題的求解，談?wù)勥壿嬕?guī)則的合理運(yùn)用。

1 合理選取特例或特殊值進(jìn)行篩選

在設(shè)計(jì)有四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)學(xué)選擇題時(shí)，命題者往往說(shuō)明了四選一的要求，求解抽象函數(shù)或復(fù)雜的組合函數(shù)的性質(zhì)與圖象問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)優(yōu)先考查特殊函數(shù)的性質(zhì)或圖象上的幾個(gè)特殊點(diǎn);求解難算的取值范圍問(wèn)題時(shí)，我們要優(yōu)先考慮取選擇支所提供取值范圍中的一個(gè)或幾個(gè)特殊值驗(yàn)證，當(dāng)我們篩選掉三個(gè)不正確的選擇支時(shí)，余下一個(gè)就是我們選擇的正確答案。

2 合理運(yùn)用反證法或反過(guò)來(lái)推理的方法

反過(guò)來(lái)想（或反過(guò)來(lái)證）往往可以幫助我們應(yīng)對(duì)難以順向證明或順向推理的問(wèn)題，一些難證的命題往往需要轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題。

例2（2017年高考全國(guó)卷Ⅱ.理7）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)，老師說(shuō)：你們四個(gè)人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看了乙、丙的成績(jī)，給乙看了丙的成績(jī)，給丁看了甲的成績(jī)，看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.乙、丁可以知道對(duì)方成績(jī)

C.丁可以知道四人成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

分析甲看了乙、丙的成績(jī)，看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)，這是為什么？什么情況下甲才能知道自己的成績(jī)？只有在乙、丙的成績(jī)相同時(shí)，甲就能推知自己的成績(jī)。

解析 甲看了乙、丙的成績(jī)，看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)，說(shuō)明乙、丙的成績(jī)不一樣，一個(gè)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀一個(gè)成績(jī)?yōu)榱己茫◤亩梢酝茢喽?、甲的成?jī)也不一樣，一個(gè)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀一個(gè)成績(jī)?yōu)榱己茫?。?dāng)老師給乙看了丙的成績(jī)，乙就可知自己的成績(jī)，因?yàn)橐易约旱某煽?jī)與他看到的丙的成績(jī)不同，當(dāng)老師給丁看了甲的成績(jī)，丁就可知自己的成績(jī)，因?yàn)槎∽约旱某煽?jī)與他看到的甲的成績(jī)不同，故乙、丁可以知道自己的成績(jī)，選答案D.

3 合理運(yùn)用結(jié)論成立的必要條件

適當(dāng)優(yōu)先考慮命題結(jié)論成立的一個(gè)或幾個(gè)必要條件，有利于發(fā)現(xiàn)所研討對(duì)象的一些隱含特征，從而明確求解方向或縮小分析討論范圍。

例4（2017年高考全國(guó)卷I.理12）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款軟件。為了激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案。

4 合理對(duì)問(wèn)題實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化

面對(duì)難以求解的不等式或方程時(shí)，我們要學(xué)會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，常用的轉(zhuǎn)化方法有換元法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)建新函數(shù)新方程法等等。