從數(shù)學核心素養(yǎng)角度審視函數(shù)與導數(shù)的習題教學

陳木孫 莊炯林

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確提出了6個數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析，給出了素養(yǎng)的內涵、價值、表現(xiàn)和水平，這就使得數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)成了高中數(shù)學教學必須直面的問題，進一步研讀《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》關于數(shù)學核心素養(yǎng)的相關界定，可以看出，數(shù)學核心素養(yǎng)起源于思維品質、立足于基礎知識、依附于關鍵能力，這意味著，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應該立足課堂，以知識、能力為抓手，通過數(shù)學思維品質的提升、數(shù)學基礎知識的夯實、數(shù)學關鍵能力的提高，追求數(shù)學思維品質、數(shù)學基礎知識和數(shù)學關鍵能力的綜合作用，實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

基于這樣的理解，本文擬以函數(shù)與導數(shù)的習題教學為載體，闡釋筆者對數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的認識與思考.

1 從數(shù)學抽象的視角，體現(xiàn)理性思維

數(shù)學抽象是指學生在處理抽象的數(shù)學概念、知識方法及數(shù)學體系方面的能力整體體現(xiàn)，是日常實踐中以一般性思考問題的方式將數(shù)學本質及數(shù)學思想方法相結合解決問題的思維品質，數(shù)學抽象通常表現(xiàn)為：通過處理數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系來實現(xiàn)數(shù)學概念及概念之間的關系，最后找出事物間的一般規(guī)律和結構，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術語來表達.

在求解過程中，利用函數(shù)導數(shù)得到函數(shù)單調性是處理函數(shù)問題的基本方法，通過單調性解不等式是基本的知識技能，能從題中已知條件構造新函數(shù)給出不等式的解，即可認為達到數(shù)學抽象素養(yǎng)水平.

2 從邏輯推理的視角，體現(xiàn)嚴謹思維

邏輯推理是指學生運用邏輯推理的基本形式，通過提出和論證命題、理解事物之間的關聯(lián)、把握知識結構的能力，最終形成理論依據(jù)，達到合乎邏輯的思維品質，邏輯推理是得到數(shù)學結論、構建數(shù)學體系的重要方式，是學生發(fā)現(xiàn)問題、提出命題并進而解決問題的能力的綜合體現(xiàn).找正確的證題方法或途徑，可以先設想它的結論是正確的，然后追尋它成立的原因，再就這些原因分別研究，看它們的成立又各需具備什么條件，如此逐步往上逆求，直至達到已知的事實，這樣思維方法，就叫做分析法，可簡單地概括為：“執(zhí)果索因”，即“拿著結果去尋找原因”，

第（Ⅲ）問的設計要求學生具備較高的邏輯推理素養(yǎng)，通過構造新函數(shù)求導得出駐點后，觀察駐點左右兩邊的單調性以及駐點的特點，進一步利用第（Ⅱ）問的結論推理得出要證明的結果，這個過程用上了邏輯推理中的綜合法，

在通常情況下，要證明一個命題的正確時，可以先從已知的條件出發(fā)，通過一系列已確立的命題（如定義、定理等），逐步向前推演，最后推得要證明的結果，這種思維方法，就叫做綜合法，可簡單地概括為：“由因導果”，即“由原因去推導結果”.

3 從數(shù)學建模的視角，體現(xiàn)應用思維

數(shù)學建模是是指學生用數(shù)學模型解決實際問題，其體現(xiàn)數(shù)學建模的完整情況，通過數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、驗證結果、改進模型，最終解決實際問題的能力.

函數(shù)主要研究兩個變量間的變化規(guī)律，它在現(xiàn)實生活中有著非常廣泛的應用，以函數(shù)為模型的應用題是數(shù)學建模中最重要的內容之一，而從應用題中抽象出問題的數(shù)學特征，找出函數(shù)關系，解決實際問題也是中學數(shù)學教學的重要任務之一，問題世界中普遍存在著的最優(yōu)化問題，常常可歸結為函數(shù)的最值問題，通過建立相應的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)知識和方法去解決.

在數(shù)學建模素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學解決實際問題的經(jīng)驗，學生能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題;能夠針對問題建立數(shù)學模型;能夠運用數(shù)學知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實背景驗證模型和完善模型;提升應用能力，增強創(chuàng)新意識.

4 從直觀想象的視角，體現(xiàn)構建思維

直觀想象是指學生運用圖形和空間想象思考問題、運用數(shù)形結合思想解決問題的能力，通過幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，抓住事物的本質的思維品質，實現(xiàn)利用圖形理解和解決數(shù)學問題，具體包括：借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

5 從數(shù)學運算的視角，體現(xiàn)演繹思維

數(shù)學運算是指學生運算基本功及有效借助運算方法解決實際問題的能力，通過理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等，來實現(xiàn)學生數(shù)學思維發(fā)展、程序化解決問題及形成嚴謹?shù)目茖W精神.

通過本題的分析，可以看到運算并不是無目的的，運算的依據(jù)并不是孤立的，它和題目的條件與結論是緊密聯(lián)系的，運算的過程需要根據(jù)求解的目標不斷調整，這也體現(xiàn)了運算的演繹特點.

《2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱·理科數(shù)學》指出：運算求解能力是思維能力和運算技能的結合，運算能力包括分析運算條件，探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.

據(jù)此可以認為，數(shù)學運算是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學結果的重要手段，通過培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，可以促進學生數(shù)學思維能力的發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習慣;形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神，在函數(shù)與導數(shù)教學中，應注意數(shù)學運算的演繹特點，結合函數(shù)與導數(shù)的概念及性質，通過運算合理求解，例如合理估計函數(shù)的零點問題，通過合理分析運算算理，精確計算，利用導數(shù)工具解決一些不等式問題等等.

6 從數(shù)據(jù)分析的視角，體現(xiàn)處理思維

數(shù)據(jù)分析是指學生用數(shù)據(jù)表達實際問題、運用相關的統(tǒng)計知識進行推斷和決策的能力，體現(xiàn)處理思維，通過研究對象獲得相關數(shù)據(jù)、運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析和推斷，來實現(xiàn)通過數(shù)據(jù)認識事物的思維品質，具體包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論

問題6 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表所示：

（Ⅰ）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重y kg與身高x cm的函數(shù)關系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式;

（Ⅱ）若體重超過相同身高男性體重平均的1.2倍為偏胖，低于0.8倍偏瘦，那么這地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

本題的知識載體為統(tǒng)計圖表，運用于教學中可以為主培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)，

通過分析數(shù)據(jù)，畫出散點圖，由點的分布觀察發(fā)現(xiàn)，可以考慮用y=a·b^x這一函數(shù)模型來近似刻畫這個地區(qū)未成年男性體重y與身高x的函數(shù)關系.

本題通過數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)分析，用函數(shù)思想解決實際問題的基本過程，較好地體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)，在數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的形成過程中，學生能夠提升數(shù)據(jù)處理的能力，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思考問題的習慣，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質、關聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗.

作為結束，應該強調，數(shù)學課堂教學是學生數(shù)學核心素養(yǎng)形成的主要途徑，教師要從數(shù)學基本知識的理解、數(shù)學基本技能的掌握、數(shù)學關鍵能力的提高、數(shù)學基本思想的內化和數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累出發(fā)，注重過程性教學目標的實現(xiàn)，進而發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，必須注意到，在這一過程中，習題解決的教學成效有著舉足輕重的作用.

基于此，我們認為，基于數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，探究習題解決的教學理應為新一輪課標課程的教學實施所關注、所重視.