依托推理型試題 考查推理能力

林湧 胡鵬程

以合情推理或演繹推理能力為主要考查目標(biāo)的“推理型”試題，在中考數(shù)學(xué)試卷中有著不可替代的地位.2017年福建省中考卷較為合理地借助推理型試題，全面地考查了學(xué)生的推理能力，本文擬對(duì)該試卷中的推理型試題的做歸類分析，并借此談?wù)剬?duì)此類試題的一些思考.

1 推理型試題的分類剖析

推理型試題的基本模型是：推理性結(jié)果=f（情境，對(duì)象，條件，推理性任務(wù)），情境、對(duì)象、條件、推理性任務(wù)這四大要素是試題的四個(gè)變量，f則反映了這四大要素之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，根據(jù)試題模型中任務(wù)要素的不同思維特征，又可以將推理型試題大致分為合情推理型試題、說(shuō)理推理型試題、綜合推理型試題三類.

1.1 合情推理型試題

合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，推理型試題理所自然派生出以合情推理能力為主要考查目標(biāo)的一類，合情推理型試題所蘊(yùn)含的思維方式主要有歸納、類比、空間想象、統(tǒng)計(jì)推斷等，

例1（2017年福建省中考試卷·10）如圖1，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1，圖中線段AB和點(diǎn)P繞著同一個(gè)點(diǎn)作相同的旋轉(zhuǎn)，分別得到線段A'B'和點(diǎn)P'，則點(diǎn)P'所在的單位正方形區(qū)域是

A.1區(qū)

B.2區(qū)

C.3區(qū)

D.4區(qū)

本例以網(wǎng)格圖為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題，以空間想象為主導(dǎo)性思維，同時(shí)也都包含了一定的分析性思維，此類試題不必精確計(jì)算或嚴(yán)格論證，只需“大致”作出判斷，合情推理即可，隨便指出，學(xué)生由于思維水平的差異容易產(chǎn)生不同的結(jié)果，利用這些結(jié)果設(shè)計(jì)干擾項(xiàng)有助于提高試題的信度，根據(jù)所選擇的結(jié)果在一定程度上可以推斷正確解答的學(xué)生均具有相同的學(xué)業(yè)水平，因此本題使用選擇題型是適宜的.

1.2 說(shuō)理推理型試題

說(shuō)理推理，不單指嚴(yán)格意義上的證明，它還可以采用嚴(yán)格證明以外的其它說(shuō)理方式，根據(jù)說(shuō)理的方式不同，說(shuō)理推理型試題又可進(jìn)一步分為：邏輯推理形式的推理型試題、分析為主的推理型試題和基于計(jì)算的說(shuō)理推理型試題，

例2（2017年福建省中考試卷·18）如圖2，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求證：∠A=∠D.

本題以三角形為基本圖形，在多組線段相等條件下，設(shè)置了等角的證明問(wèn)題，這是典型的邏輯推理形式的推理型試題，能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力，基于此類試題能考查嚴(yán)格形式邏輯推理的能力，絕大多數(shù)試卷對(duì)此都有所涉及，這也反映了數(shù)學(xué)教育與評(píng)價(jià)的必然要求.

例3（2017年福建省中考試卷·15）兩個(gè)完全相同的正五邊形都有一條邊在直線l上，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，其擺放方式如圖3，則∠AOB等于____度.

例3屬于分析為主的推理型試題，與例2的嚴(yán)格推理書寫所不同的是，此類試題的分析主要發(fā)生在頭腦中而不必用文字表述出來(lái)，從題型上來(lái)看，此類試題一般以填空或選擇的形式出現(xiàn)，

例4（2017年福建省中考試卷·23）自2016年國(guó)慶后，許多高校均投放了使用手機(jī)就可隨取隨用的共享單車，某運(yùn)營(yíng)商為提高其經(jīng)營(yíng)的A品牌共享單車的市場(chǎng)占有率，準(zhǔn)備對(duì)收費(fèi)做如下調(diào)整：一天中，同一個(gè)人第一次使用的車費(fèi)按0.5元收取，每增加一次，當(dāng)次車費(fèi)就比上次車費(fèi)減少0.1元，第6次開始，當(dāng)次用車免費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：

同時(shí)，就此收費(fèi)方案隨機(jī)調(diào)查了某高校100名師生在一天中使用A品牌共享單車的意愿，得到如下數(shù)據(jù)：

（1）寫出a，b的值;

（2）已知該校有5000名師生，且A品牌共享單車投放該校一天的費(fèi)用為5800元，試估計(jì)：收費(fèi)調(diào)整后，此運(yùn)營(yíng)商在該校投放A品牌共享單車能否獲利？說(shuō)明理由.

本題以具有時(shí)代氣息的“共享單車”構(gòu)成新穎的問(wèn)題情境，以表格的形式給出數(shù)據(jù)，更蘊(yùn)含了能考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)分析觀念，對(duì)于問(wèn)題“運(yùn)營(yíng)商在該校投放A品牌共享單車能否獲利”，必需建立在計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，所以此類題目屬于基于計(jì)算的說(shuō)理推理型試題.

1.3 綜合推理型試題

所謂綜合推理型試題，是指試題中既涉及合情推理，又涉及邏輯推理的說(shuō)理，或者包含了不同的說(shuō)理方式，

例5（2017年福建省中考試卷·22）小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：

（1）當(dāng)α=30°時(shí)，驗(yàn)證sin²α+sin²（90°-α）=1是否成立;

（2）小明的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明;若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例.

本題的構(gòu)造方式是：先給出5組算式，在此基礎(chǔ)上，提出一般性情形的猜想，對(duì)于猜想又采用先取特殊值驗(yàn)證再一般化證明的形式，這是一個(gè)由具體數(shù)值計(jì)算到符號(hào)公式表達(dá)的過(guò)程，這樣的問(wèn)題，包含了特殊情形下的分析推理，由特殊到一般的猜想，以及嚴(yán)格的邏輯證明，由此可由不同的推理方式考查學(xué)生不同層次、不同側(cè)面的推理能力.

2 關(guān)于推理型試題的思考

2.1 推理型試題的價(jià)值

推理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，”推理能力是評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一項(xiàng)重要指標(biāo)，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)，基于解題是評(píng)價(jià)的一個(gè)重要途徑，所以考試中命制推理型試題既是對(duì)學(xué)生推理能力的有效考查，也在一定程度上對(duì)教師教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況形成檢驗(yàn).

像中考這種大規(guī)模的帶有較為明顯選拔意圖的考試，其試題的價(jià)值已經(jīng)大大超越了對(duì)知識(shí)或技能的考查，它對(duì)教學(xué)具有很強(qiáng)的導(dǎo)向性，如例5作為一道綜合推理型試題，既考查演繹推理能力又兼顧合情推理，勢(shì)必對(duì)日常的教學(xué)產(chǎn)生正向的影響，如果在教學(xué)過(guò)程中重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，學(xué)生較少經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想的活動(dòng)過(guò)程，就可能導(dǎo)致其合情推理能力弱于演繹推理能力，而實(shí)際上，作為推理的兩種形式，合情推理與演繹推理必須協(xié)調(diào)發(fā)展，甚至可以說(shuō)在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論比證明結(jié)論更有價(jià)值，

需要指出的是，例5所證明的“同一個(gè)角的正弦平方、余弦平方之和等于1”雖然是后續(xù)的高中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但本題只是選取了這樣一個(gè)素材進(jìn)行探究，一線教師應(yīng)該充分理解命題者意圖，不可在今后的教學(xué)過(guò)程中隨意補(bǔ)充、擴(kuò)充教學(xué)內(nèi)容，更不可將后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容簡(jiǎn)單下放.

2.2 推理型試題的題型運(yùn)用方式

考查目標(biāo)對(duì)題型的使用有著舉足輕重的作用，試題所蘊(yùn)含的可能考查功能、命題者所希望達(dá)成的考查目標(biāo)與題型使用的關(guān)系有一定的規(guī)律可循，一般情況下，如果側(cè)重考查對(duì)概念理解、對(duì)空間圖形的直觀把握以及簡(jiǎn)單的推理分析、歸納性的合情推理，使用選擇題型或填空題型設(shè)計(jì)試題較為適宜;如果以學(xué)生的推理論證能力、說(shuō)理能力、綜合分析探究能力為重點(diǎn)考查目標(biāo)，解答題型則是首選，就單個(gè)試題而言，由問(wèn)題到試題有題型的使用問(wèn)題，就一份試卷而言，還需要考慮各相關(guān)試題的題型配合使用問(wèn)題，

試題中問(wèn)題任務(wù)的類型與題型的使用有著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，對(duì)于論證、探究、求解等任務(wù)，因其具有較為突出地考查學(xué)生的相關(guān)能力或品質(zhì)的功能，一般來(lái)說(shuō)設(shè)計(jì)為解答題型試題顯得較為自然;對(duì)于猜想、判斷等任務(wù)，則需兼顧情境的復(fù)雜性、整卷的題型搭配及命題者的思維習(xí)慣等方面的因素選用不同的題型設(shè)計(jì)試題，

從某種意義上說(shuō)，大部分試題都包含了一定程度的推理，而推理的步長(zhǎng)、推理的類型與題型的使用也存在一定的關(guān)聯(lián)，推理步長(zhǎng)不長(zhǎng)、屬于合情推理的題目，通常情況下可考慮采用填空題或選擇題;而推理步長(zhǎng)較長(zhǎng)、屬于邏輯推理論證之類的題目宜使用解答題型設(shè)計(jì)試題.