數(shù)列有擴(kuò)充 極限難度低

主 講： 沈新權(quán)

浙江省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，嘉興市數(shù)學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng).

推薦名言

音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切．

——菲利克斯·克萊因 (德國(guó)數(shù)學(xué)家，發(fā)現(xiàn)了“克萊因四元群”和“克萊因瓶”)

數(shù)列問(wèn)題是歷年自主招生考試重點(diǎn)考查的內(nèi)容.它包含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，形式多變，有一定的難度.在考查數(shù)列內(nèi)容時(shí)，一方面會(huì)以等差、等比數(shù)列為載體考查基礎(chǔ)知識(shí)，另一方面會(huì)以遞推數(shù)列、數(shù)列極限的形式，結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識(shí)考查同學(xué)們的歸納猜想能力、論證能力以及綜合分析能力.在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，除了要熟練掌握相關(guān)的概念公式，還要善于觀察題設(shè)特征，聯(lián)想有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題方向.在論證問(wèn)題時(shí)，還有可能用到數(shù)學(xué)歸納法.

一、等差數(shù)列與等比數(shù)列問(wèn)題

例1 （2009年北京大學(xué)自主招生考試第2題） 已知由整數(shù)組成的無(wú)窮等差數(shù)列中依次有三項(xiàng)：13，25，41．求證：2009為其中一項(xiàng)．

解析： 設(shè)等差數(shù)列｛an｝中依次有三項(xiàng)am=13，an=25，ak=41，公差為d（d≠0）. 要證明2009是｛an｝中的一項(xiàng)，就要證明存在正整數(shù)p使ap=2009．由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得25-13=12=（n-m）d，41-25=16=（k-n）d. 若ap＝2009，則ap＝2009=13+（p-m）d，即1996=（p-m）d． 又1996=16+12×165，將（p-m）d＝1996，（n-m）d=12，（k-n）d=16代入，可得（p-m）d＝（k-n）d+165（n-m）d，整理得p=k+164n-164m． ∵ n>m，由m，n，k都是正整數(shù)可知p也是正整數(shù)，∴ 2009為｛an｝中的一項(xiàng)．

例2 （2011年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試試題） 設(shè)含有4個(gè)數(shù)的數(shù)列各項(xiàng)為a1，a2，a3，a4.前3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其和為k；后3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其和為9，且公差不為0．對(duì)于任意固定的k，若滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)大于1，則k應(yīng)滿足

A． 12k>27 B． 12k<27 C． 12k=27 D． 其他條件

解析： 我們可以先根據(jù)“后3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其和為9”設(shè)出后3個(gè)數(shù)，再由“前3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列”推出第1個(gè)數(shù)，最后根據(jù)“前3個(gè)數(shù)之和為k”建立等量關(guān)系．

設(shè)后3個(gè)數(shù)為a2=3-d，a3=3,a4=3+d. 由前3個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列可得a1=. 由題意可得+3-d+3=k，整理得d2-9d+27-3k=0． ∵ 滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)大于1， ∴ Δ＞0，解得12k>27． 選A．

點(diǎn)評(píng)： 例2的突破口在于如何設(shè)這4個(gè)數(shù)，難點(diǎn)在于如何將這4個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于d的二次方程，從而由 Δ＞0求出k的取值范圍．

例3 （2009年中國(guó)科技大學(xué)自主招生考試第14題） 已知A=｛xx=n！+n，n∈N*｝，B是A在N*上的補(bǔ)集． （1） 求證：無(wú)法從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列；（2） 能否從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列？試說(shuō)明理由．

解析： （1） 用反證法證明．設(shè)能夠從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成公差為d的等差數(shù)列｛am｝，則am=a1+（m-1）d．當(dāng)n>d時(shí)， ∵ n!+n=n?［（n-1）！+1］， ∴ ［n！+n］，［（n+1）！+（n+1）］，［（n+2）!+（n+2）］，…除以d所得的余數(shù)分別與n，n+1，n+2，…除以d所得的余數(shù)相同，且這些余數(shù)是逐一遞增的，當(dāng)余數(shù)取到d-1后，又周期性重復(fù)出現(xiàn)． ∴ 存在n0，使得n0！+n0被d除與am被d除的余數(shù)相同，這就說(shuō)明n0！+n0是等差數(shù)列｛am｝中的項(xiàng). 而n0！+n0∈A說(shuō)明n0！+n0?埸B，∴ 假設(shè)不成立，即無(wú)法從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列．

（2） 能從B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列．例如取bm=5m （m∈N*），∵ n!+n=n［（n-1）！+1］，當(dāng)n>5時(shí)［（n-1）！+1］不能被5整除，∴ 5m?埸A，∴ 5m∈B，數(shù)列｛bm｝是B中取出無(wú)限個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)： 解決問(wèn)題（1）的關(guān)鍵，是理解如果某個(gè)數(shù)是等差數(shù)列｛am｝中的一項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)被d除所得的余數(shù)與數(shù)列中任意一項(xiàng)am被d除所得的余數(shù)相同. 解決問(wèn)題（2）則要靠構(gòu)造法找出不屬于集合A但屬于集合B的等比數(shù)列．

二、遞推數(shù)列問(wèn)題

遞推數(shù)列問(wèn)題主要考查三種遞推數(shù)列：線性遞推數(shù)列、分式型遞推數(shù)列、混合型遞推數(shù)列．解決遞推數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如果能求出通項(xiàng)，一般要先求出通項(xiàng)；如果無(wú)法求出通項(xiàng)，則要研究遞推數(shù)列所滿足的性質(zhì)．

例4（2010年“華約”自主招生考試第15題） 函數(shù)f（x）=，設(shè)x1=3，xn+1=f（xn），ｎ∈N*. 證明： xn-2≤．

補(bǔ)充知識(shí)：方程f（x）=x的根叫做函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，利用不動(dòng)點(diǎn)可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 對(duì)于an+1=形式的遞推數(shù)列｛an｝，不動(dòng)點(diǎn)為方程=x的解. 當(dāng)方程=x有兩個(gè)不同的解α，β時(shí)，將α，β分別代入an+1=，由＝整理可得＝k?的形式，令bn=，原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題. 當(dāng)方程=x只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)α?xí)r，對(duì)an+1=兩邊同時(shí)減去α再取倒數(shù)，得=，該式可轉(zhuǎn)化為=k+的形式，令bn=，原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題．

解析： 由題意得xn+1=，設(shè)不動(dòng)點(diǎn)為λ，則λ＝，解得λ＝±2． 由xn+1-λ=-λ可得 xn+1+2=（①），xn+1-2=（②），①式除以②式可得＝-3?. ∵ x1=3， ∴ 數(shù)列是首項(xiàng)為5、公比為-3的等比數(shù)列， ∴ =5×（-3）n-1，整理可得xn-2=．

要證xn-2≤，只需證明4×3n-1≤5×（-3）n-1-1． 至此，需討論n的奇偶性．若n=2k（k∈N*），則5×（-3）n-1-1=5×32k-1+1≥4×32k-1；若n=2k-1（k∈N*），則只需證明4×32k-2≤5×32k-2-1，即32k-2≥1，該式顯然成立． xn-2≤得證．

例5 （2009年中國(guó)科技大學(xué)自主招生考試第11題） 正數(shù)數(shù)列｛xn｝，｛yn｝滿足：xn+2=2xn+1+xn，yn+2=yn+1+2yn （ｎ∈N*）． 證明：存在正整數(shù)n0，對(duì)任意n>n0，xn>yn恒成立．

補(bǔ)充知識(shí)：我們把二次方程x2=c1x+c2稱(chēng)為數(shù)列遞推式an=c1an-1+c2an-2 （n≥3，ｎ∈N*）的特征方程． 設(shè)x1，x2是此特征方程的兩根（即特征根），則當(dāng)x1≠x2時(shí)，an=α1+α2；當(dāng)x1=x2時(shí)，an=（β1+β2n）． 其中待定常數(shù)α1，α2，β1，β2均由初始值a1，a2確定．

解析：例5中的兩個(gè)遞推數(shù)列都是線性遞推數(shù)列，可以用特征根法求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)比較xn和yn的大小．

xn+2=2xn+1+xn對(duì)應(yīng)的特征方程為x2-2x-1=0，其特征根為1-，1+. yn+2=yn+1+2yn對(duì)應(yīng)的特征方程為y2-y-2=0，其特征根為-1，2． 設(shè)xn=λ1（1-）n+λ2（1+）n，yn=u1?（-1）n+u2?2n，則有xn-yn=［λ1（1-）n-u1（-1）n］+［λ2（1+）n-u2?2n］． ∵x1=λ1（1-）+λ2（1+），x2=λ1（3-2）+λ2（3+2），｛xn｝，為正數(shù)數(shù)列，可得λ2＝?x1+x2＞0.同理，u2=（y1+y2）>0． ∵ 1+＞2＞1，λ2＞0，u2>0， ∴ 當(dāng)n充分大時(shí)，λ2（1+）n-u2?2n也充分大.又 λ1（1-）n-u1（-1）n∈（-λ1-u1，λ1+u1），∴存在正整數(shù)n0滿足xn-yn＝［λ1（1-）n-u1（-1）n］+［λ2（1+）n-u2?2n］＞0，對(duì)任意n>n0，xn>yn恒成立．

三、數(shù)列極限問(wèn)題

作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)列極限問(wèn)題在自主招生考試中出現(xiàn)的頻率比較高，但難度一般都不大． 求解數(shù)列極限問(wèn)題一般需掌握三個(gè)最基本的極限：（1） C=C（即常數(shù)列的極限是其本身）；（2） ＝0 （k為常數(shù)）；（3） 當(dāng)q＜1時(shí)，qn=0．

例６ （2005年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試第5題） （-）= ．

解析：-）＝==1．

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列極限的基本思路是“先變形，再根據(jù)極限的運(yùn)算法則求解”． 先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為“”或者“”的類(lèi)型，再借助三個(gè)基本的極限求出極限．例6通過(guò)分子有理化，把“∞-∞”類(lèi)型的極限題轉(zhuǎn)化成了“”的類(lèi)型．

例７ （2007年清華大學(xué)自主招生考試第2題） 設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a，Tn+1 是Tn的中點(diǎn)三角形，An為T(mén)n減去Tn+1后剩下的三個(gè)三角形的內(nèi)切圓的面積之和，求Ak．

解析：設(shè)Tn的邊長(zhǎng)為an （其中a1=a），則有An=3π??2＝. 又a1=a，an=an-1，∴ an＝，代入可得An=?n， ∴Ak＝， Ak=．