立體幾何中關(guān)于概念理解易錯(cuò)問(wèn)題的分析

■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)

立體幾何是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)考查內(nèi)容,考查形式有選擇題、填空題、解答題,考查同學(xué)們的空間想象能力、邏輯思維能力及數(shù)據(jù)計(jì)算處理能力。立體幾何的學(xué)習(xí)中,立體感的建立、知識(shí)概念的理解與點(diǎn)線面位置關(guān)系的處理是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

空間幾何體的特征與點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷是同學(xué)們學(xué)習(xí)過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn),主要錯(cuò)誤點(diǎn)是空間想象能力和立體感官概念的缺失,現(xiàn)從以下易錯(cuò)例題進(jìn)行分析。

例1 給出下列命題:

①分別和兩條異面直線AB,CD同時(shí)相交的兩條直線AC,BD一定是異面直線；

②同時(shí)與兩條異面直線垂直的兩直線不一定平行；

③斜線b在面α內(nèi)的射影為c,直線a⊥c,則a⊥b；

④有三個(gè)角為直角的四邊形是矩形。

其中為真命題的是____(填序號(hào))。

錯(cuò)誤原因：空間觀念不明確,三垂線定理概念不清。

審題方法：本題考查異面直線的概念及判定方法,空間幾何中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系。

解題思路：命題①:若AC,BD不是異面直線,則AC,BD是共面直線,即點(diǎn)A,B,C,D在一個(gè)平面上,故AB,CD也不是異面直線,所以命題①正確；

命題②錯(cuò)因:可以作出與兩條異面直線同時(shí)平行的平面,此平面的垂線同時(shí)與兩異面直線垂直,此平面的垂線一定平行；

命題③錯(cuò)因:直線a的位置不確定；

命題④錯(cuò)因:有三個(gè)角為直角的四邊形有可能是空間四邊形。

答案：①

變式1 給出下列四個(gè)命題:

①各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都有3條棱,則其頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F滿足的關(guān)系式為2FV=4；

③若直線l⊥平面α,l∥平面β,則α⊥β；

④命題“異面直線a,b不垂直,則過(guò)a的任一平面與b都不垂直”的否定。

其中正確命題的序號(hào)是( )。

A.②③ B.①④

C.①②③ D.②③④

審題方法：命題①②考查的是簡(jiǎn)單幾何體的特征,需熟練掌握簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；命題③④考查線面垂直與平行關(guān)系,需掌握線面平行的判定和性質(zhì)定理。

答案：A

變式2 一個(gè)三棱錐,如果它的底面是直角三角形,那么關(guān)于它的三個(gè)側(cè)面,有下列結(jié)論:

①至多只能有一個(gè)直角三角形；

②至多只能有兩個(gè)直角三角形；

③可能都是直角三角形；

④必須都是非直角三角形。

其中正確命題的序號(hào)是____。

審題方法：熟練掌握三棱錐的幾何特征,正確理解各面三角形的形狀。

答案：③

例2 有下列命題:

①如果直線a,b滿足a∥b,那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面；

②如果直線a和平面α滿足a∥α,則a與平面α內(nèi)的任何直線都平行；

③如果直線a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,則a∥b；

④如果直線a,b和平面α滿足ab,a∥α,b?α,那么b∥α。

其中正確命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)___。

審題方法：線面平行的性質(zhì)。

解題思路：命題①錯(cuò)因:直線a不與直線a,b確定的平面平行；

命題②錯(cuò)因:直線a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行,但不與所有直線平行；

命題③錯(cuò)因:直線a,b的關(guān)系也可能相交,也可能異面；

命題④:因?yàn)閍∥α,所以平面α內(nèi)有直線l∥a,又因?yàn)閍∥b,所以b∥l,因?yàn)閎?α,所以b∥α。所以為真命題。

答案：1

變式1 已知a,b為不同的直線,有下列命題:

①若a∥b,b⊥α,則a⊥α；

②若a⊥α,b⊥α,則a∥b；

③若a⊥α,b?α,則a⊥b；

④若a⊥b,a⊥α,則b⊥α。

其中正確命題的序號(hào)是____。

審題方法：線面垂直的判定和性質(zhì)知識(shí)的考查。

答案：①②③

變式2 在空間中,給出下面四個(gè)命題:

①過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直；

②若平面外兩點(diǎn)到平面的距離相等,則過(guò)兩點(diǎn)的直線必平行于該平面；

③垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；

④若兩個(gè)平面相互垂直,則一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線必定垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線。

其中正確命題的序號(hào)是____。

審題方法：線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)知識(shí)的考查。

答案：①④