一道高考模擬數(shù)列試題的解法探究及拓展

陳 彬

(上海商學(xué)院文法學(xué)院數(shù)學(xué)教研室 201400)

1 引言

為了方便及統(tǒng)一符號，本文中用N表示自然數(shù)集(即正整數(shù)集)，Z表示整數(shù)集. 給定一個集合A，|A|表示集合A的基數(shù). 對x∈R，[x]表示實(shí)數(shù)x的高斯取整，即不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù). 給定兩個整數(shù)a，b，其中a≠0，a|b表示a能整除b，a?b表示a不能整除b.

2010年江蘇省蘇州市某高中在其二模數(shù)學(xué)考試填空題里(最后一道)出了這樣一道函數(shù)題：假定一個函數(shù)f(x)在(0,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞增，且若n∈N，則f(n)∈N；又已知f(f(n))=3n，求f(5)=?

我們解答一下這道題目：首先，從最簡單的情況著手.假設(shè)f(1)=k∈N，則f(k)=f(f(1))=3.由于f(x)在(0,+∞)上嚴(yán)格遞增，所以1≤k≤3.很明顯，k≠1，否則f(1)=1，且f(1)=3，矛盾.又易見k≠3，否則f(1)=3=f(3)，這與f(x)嚴(yán)格遞增矛盾.這樣的話，k只能等于2.從而，f(1)=2且f(2)=3.

接著，比較自然地，f(3)=f(f(2))=6.f(4)，f(5)似乎無法著手計(jì)算，嘗試f(6).f(6)=f(f(3))=9.由函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性，6=f(3)

我們闡述一下這道數(shù)列題目的思路及解決過程，還有其特殊之處.

首先，題中對象是函數(shù)，實(shí)際上該題是一道數(shù)列題，因?yàn)閺念^到尾都并未涉及到分?jǐn)?shù)的性態(tài)或計(jì)算.因而，我們可以把題目修改得精簡一些：假設(shè)一個數(shù)列{an}是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，{an}?N，并且滿足aan=3n，則a5=?或更平易近人一些，(題目)假設(shè)一個數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，f(N)?N，并且滿足f(f(n))=3n，則f(5)=?

其次，解題一開始須從最簡單的情況入手.這是因?yàn)?，要直接看出f(5)如何由條件所得，是有一定的困難的，無從下手，只得嘗試從最簡單，自然數(shù)集的起始點(diǎn)1開始著手：計(jì)算f(1).

另外注意到，在計(jì)算f(1)，f(2)的過程中，我們就已經(jīng)把所有的條件都利用了一遍，不僅利用了數(shù)列的嚴(yán)格單調(diào)性，也利用了迭代關(guān)系式f(f(n))=3n，最后再利用了數(shù)列只能取到自然數(shù)的特性.

接著，計(jì)算f(3)是自然的，不僅要看到，算出f(1)和f(2)之后，自然要主動嘗試計(jì)算f(3)，而且注意到f(2)=3，結(jié)合迭代關(guān)系式f(f(n))=3n的使用是至關(guān)重要的.

然后呢? 顯然是計(jì)算f(4)，然后再算出f(5).如果這樣的話，我們進(jìn)行不下去了.我們已經(jīng)算出，f(1)=2，f(2)=3，f(3)=6.我們知曉f(4)是個自然數(shù)，但已經(jīng)無法利用迭代關(guān)系式直接計(jì)算出f(4)，因?yàn)椴淮嬖谧匀粩?shù)m讓f(m)=4.那么要利用迭代關(guān)系式的話，我們應(yīng)該計(jì)算f(6)，然后再碰碰運(yùn)氣.f(6)=9，結(jié)合f(3)=6，自然會試圖壓迫出f(4)與f(5)的取值.

到這里，在解決這道題目上，我們利用了簡化、嘗試、猜想等一些手段和方法.實(shí)際上，對這道題目而言，我們還可以做更多的拓展和思考.

思考題1這樣的數(shù)列是存在的么，并且是唯一的么? 有通項(xiàng)公式么?

思考題2計(jì)算數(shù)列在任意項(xiàng)的取值，如f(100)，f(500)等，這依賴于問題1，需要我們對題干數(shù)列的性質(zhì)有更進(jìn)一步的認(rèn)識.

思考題3這道題目的難度有多大?還有關(guān)于題目自身,其完備化、擴(kuò)張化或一般化，有推廣的價值空間么?

我們就這些問題細(xì)細(xì)討論一番.

2 數(shù)列的存在唯一性

為了方便書寫證明過程，我們?nèi)绶ㄅ谥圃}目的方法過程，并計(jì)算出題設(shè)數(shù)列的一系列取值，列表如下：

n123456789101112131415161718f(n)236789121518192021222324252627n192021222324252627282930313233343536f(n)303336394245485154555657585960616263

經(jīng)過多次計(jì)算后，我們猜想這個數(shù)列是唯一存在的一個數(shù)列.我們發(fā)現(xiàn)，對某一些項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)與取值有一定的倍數(shù)關(guān)系.一方面，f(1)=2，f(3)=6，f(9)=18，f(27)=54等這部分內(nèi)容呈現(xiàn)出來的規(guī)律是，因變量是自變量的兩倍；另一方面，f(2)=3，f(6)=9，f(18)=27，f(54)=81這一部分所呈現(xiàn)出來的規(guī)律是，因變量是自變量的1.5倍.鑒于這些觀察，我們(不完全)歸納出如下的引理1.

引理1若數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，f(N)?N，并且滿足對?n∈N，都有f(f(n))=3n，則對?n∈N∪{0}，總有f(3n)=2·3n，從而同時有f(2·3n)=3n+1.

證明數(shù)學(xué)歸納法.首先，經(jīng)過前述計(jì)算，n=0或1時，f(30)=f(1)=2=2·30，f(31)=f(3)=6=2·31.假設(shè)當(dāng)n=k(≥2)時，命題成立即f(3k)=2·3k；此時f(2·3k)=f(f(3k))=3k+1.從而，當(dāng)n=k+1時，f(3k+1)=f(f(2·3k))=2·3k+1.結(jié)論成立.因此，對?n∈N∪{0}，總有f(3n)=2·3n，從而同時總有f(2·3n)=f(f(3n))=3n+1.

注1通過經(jīng)驗(yàn)主義(觀察、不完全歸納)，我們猜想出題設(shè)數(shù)列在特定兩類項(xiàng)上取值的一般規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)歸納法給出了嚴(yán)格的證明.接下來，我們將利用這兩類項(xiàng)把自然數(shù)列進(jìn)行有效的一般劃分.

注意到，對?m,n∈Z，m

為了方便敘述，我們給出劃分(也稱分解)的定義.

例如，{[n,n+1):n∈N}，{[2n-1,2n):n∈N}就是N的兩個劃分.一般地，給定一個嚴(yán)格增加且取值為自然數(shù)的序列{an}，則{[an,an+1):n∈N}就是N的一個劃分.

注意到，{[3n,2·3n),[2·3n,3n+1)|n∈N∪{0}}是自然數(shù)集N的一個劃分.要求出數(shù)列f(n)的通項(xiàng)公式，只要分別求出在這些區(qū)間范圍內(nèi)對應(yīng)的取值即可.

引理2若數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，f(N)?N，并且滿足對?n∈N，都有f(f(n))=3n，則數(shù)列f(n)在每一個區(qū)間[3n,2·3n)上相鄰自然數(shù)的取值也是相鄰的(相差1).進(jìn)一步，?k∈[1,3n)，總有f(3n+k)=2·3n+k.

證明數(shù)學(xué)歸納法.我們已經(jīng)計(jì)算出，f(3n)=2·3n，f(2·3n)=3n+1.自變量區(qū)間[3n,2·3n)恰含2·3n-3n=3n個自然數(shù)，而取值區(qū)間[2·3n,3n+1)也恰含3n+1-2·3n=3n個自然數(shù).由數(shù)列的嚴(yán)格單調(diào)性及f(N)?N，顯然?k∈[1,3n)，總有f(3n+k)=2·3n+k.

由引理2，?k∈N，k<3n，總有f(2·3n+k)=f(f(3n+k))=3(3n+k).從而有引理3，敘述如下.

引理3若數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，f(N)?N，并且滿足對?n∈N，都有f(f(n))=3n，則數(shù)列f(n)在每一個區(qū)間[2·3n,3n+1)上相鄰自然數(shù)的取值相差3.進(jìn)一步，即?k∈[1,3n)，總有f(2·3n+k)=3(3n+k).

結(jié)合引理1、2、3，我們可以得到數(shù)列任意一項(xiàng)的取值，并且稍微作一下變量替換，很容易得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫成定理如下.

定理1若數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，f(N)?N，并且滿足對?n∈N，都有f(f(n))=3n，則這個數(shù)列是存在且唯一的，其通項(xiàng)公式為

這樣我們解決了第一道思考題.這個數(shù)列存在并且是唯一的，其通項(xiàng)公式是可以寫出來的.

通項(xiàng)公式寫出來，就可以著手計(jì)算數(shù)列在任意一項(xiàng)處的取值.例如f(100)，先看100在哪個區(qū)間內(nèi)，3n≤100<2·3n，可以得出n=4，從而f(100)=100+34=181.例如f(500)，先看500在哪個區(qū)間內(nèi)，2·3n≤500<3n+1，可以得出n=5，從而f(500)=3(500-35)=771.由通項(xiàng)公式，我們實(shí)際上可以計(jì)算出數(shù)列的任意項(xiàng).

這樣的話，第二道思考題也被我們解決了.

我們看到，在求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的過程中，題干的所有條件都受到了充分的運(yùn)用.歸納、演繹、猜想這些方法使用在其中不停地發(fā)揮各自的作用.