分形集上的廣義調(diào)和s-凸函數(shù)及Hadamard型不等式

孫 文 兵

(邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)院, 湖南 邵陽(yáng) 422000)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

很多不等式的研究都與函數(shù)凸性有關(guān), 例如Hermite-Hadamard不等式: 令f:I?→是一個(gè)凸函數(shù), 其中a,b∈I,a

(1)

如果f是凹的, 則不等式號(hào)相反. 目前, 關(guān)于Hermite-Hadamard型不等式的研究已取得了許多成果[1-14].

定義1[9]令I(lǐng)?(0,∞)是一個(gè)區(qū)間. 如果對(duì)所有的x,y∈I,t∈[0,1]以及某一固定的s∈(0,1], 均有

(2)

則稱函數(shù)f:I→是一個(gè)調(diào)和s-凸(凹)函數(shù).

定理1[9]令f:I?(0,∞)→是一個(gè)調(diào)和s-凸函數(shù),a,b∈I,a

(3)

定義2[14]令I(lǐng)?{0}是一個(gè)區(qū)間. 對(duì)所有的x,y∈I,t∈[0,1], 均有

(4)

則稱f:I→α(0<α≤1)是一個(gè)分形集上的廣義調(diào)和凸函數(shù). 如果不等式反號(hào), 則f是一個(gè)分形集上的廣義調(diào)和凹函數(shù).

本文基于分形集理論及局部分?jǐn)?shù)階微積分理論[15-16], 給出分形集上廣義調(diào)和s-凸函數(shù)的定義及其相關(guān)性質(zhì), 建立廣義調(diào)和s-凸函數(shù)推廣的Hermite-Hadamard不等式以及分形空間上其他與局部分?jǐn)?shù)階積分有關(guān)的Hermite-Hadamard型不等式.

1)aα+bα∈α,aαbα∈α;

2)aα+bα=bα+aα=(a+b)α=(b+a)α;

3)aα+(bα+cα)=(a+b)α+cα;

4)aαbα=bαaα=(ab)α=(ba)α;

5)aα(bαcα)=(aαbα)cα;

6)aα(bα+cα)=aαbα+aαcα;

7)aα+0α=0α+aα=aα且aα1α=1αaα=aα.

定義3[17]若對(duì)所有的u,v∈+(+=[0,∞)), 均有

其中λ1,λ2≥0,λ1+λ2=1, 則稱函數(shù)f:+→α為第二種意義下的廣義s-凸函數(shù)(0

引理1[15]1) 若f(x)=g(α)(x)∈Cα[a,b], 則

2) 若f(x),g(x)∈Dα[a,b], 且f(α)(x),g(α)(x)∈Cα[a,b], 則

引理2[15]

2 主要結(jié)果

定義4令函數(shù)f:I?(0,∞)→α(0<α≤1). 如果對(duì)所有的x,y∈I,t∈[0,1]及某一固定的s∈(0,1], 均有

(5)

則稱f是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù). 如果式(5)中不等號(hào)反號(hào), 則稱f是廣義調(diào)和s-凹函數(shù).

性質(zhì)1如果f:I?(0,∞)→α是一個(gè)廣義s-凸函數(shù)且不減的, 則f是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù).

證明: 對(duì)于x,y∈(0,∞)且t∈[0,1], 易證

因?yàn)閒: (0,∞)→α是一個(gè)廣義s-凸函數(shù)且不減的, 則

因此f是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù).

性質(zhì)2如果f:I?(0,∞)→α是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù)且不增的, 則f是一個(gè)廣義s-凸函數(shù).

證明: 對(duì)于x,y∈(0,∞)且t∈[0,1], 易證

因?yàn)閒: (0,∞)→α是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù)且不增的, 則

由定義3知,f是廣義s-凸函數(shù).

例1令0

如果bα≥0α且0α≤cα≤aα, 則f是廣義s-凸函數(shù)(第二種意義下), 且f在區(qū)間(0,∞)上是不減的[17]. 根據(jù)性質(zhì)1,f是廣義調(diào)和s-凸函數(shù).

定理2(廣義調(diào)和s-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式) 令f:I?(0,∞)→α是分形空間上的一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù), 且a,b∈I,a

(6)

證明: 因?yàn)閒:I?(0,∞)→α是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù), 在式(5)中取則對(duì)所有的x,y∈I, 均有

(7)

將式(7)兩邊對(duì)t在[0,1]上局部分?jǐn)?shù)階積分, 由引理2和引理4, 可得

因此

(8)

另一方面, 注意到f是一個(gè)廣義調(diào)和s-凸函數(shù), 對(duì)t∈[0,1], 有

(9)

(10)

將式(9),(10)相加, 可得

(11)

將式(11)兩邊對(duì)t在[0,1]上局部分?jǐn)?shù)階積分, 由引理2可得

(12)

其中

證畢.

注1在定理2中, 取α=1, 則由不等式(6)可得不等式(3).

下面給出分形空間上的兩個(gè)特殊函數(shù):

1) Beta函數(shù)

2) 超幾何函數(shù)

引理5令I(lǐng)?{0}是一個(gè)區(qū)間,f:I°?{0}→α(I°是I的內(nèi)部)使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα(a,b),a,b∈I°,a

證明: 設(shè)

由局部分?jǐn)?shù)階分部積分, 可得

換元

可得

證畢.

定理3令I(lǐng)?(0,∞)是一個(gè)區(qū)間,f:I°→α(I°是I的內(nèi)部)使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα[a,b],a,b∈I°,a1, 則對(duì)所有的x∈[a,b], 下列不等式均成立:

其中:

計(jì)算可得

類似地, 有

由式(15)～(19), 可得不等式(14). 證畢.

注2在定理3中, 取α=1, 可得文獻(xiàn)[10]中定理8.

定理4令I(lǐng)?(0,∞)是一個(gè)區(qū)間,f:I°→α使得f∈Dα(I°), 且f(α)∈Cα[a,b],a,b∈I°,a1,則對(duì)所有的x∈[a,b], 下列不等式均成立:

證明: 設(shè)At=ta+(1-t)b. 對(duì)式(13)兩邊取模, 由引理3可得

計(jì)算可得

由引理2, 可得

(25)

因此, 結(jié)合式(21)～(25)可得結(jié)論. 證畢.

注3在不等式(20)中, 若取α=1, 則通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得文獻(xiàn)[10]中定理9.