含弱界面的多鐵性空心層合柱內(nèi)徑 對(duì)振動(dòng)行為的影響

潘晶雯， 羅 靜， 姜廣緒， 鞠麗梅， 張少亮

(1. 陸軍裝甲兵學(xué)院車輛工程系， 北京 100072； 2. 陸軍裝甲兵學(xué)院教研保障中心， 北京 100072； 3. 中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)規(guī)劃設(shè)計(jì)有限公司， 北京 100120)

多鐵性層合柱是一類應(yīng)用于智能器件中的常見(jiàn)多鐵性結(jié)構(gòu)形式。對(duì)于層合柱，界面是關(guān)鍵部位，它起著磁電耦合的應(yīng)變介導(dǎo)作用[1]。在動(dòng)態(tài)載荷環(huán)境中，多鐵性智能結(jié)構(gòu)常處于振動(dòng)的工作狀態(tài)，而在力-電-磁耦合作用下，其界面容易產(chǎn)生機(jī)械損傷、電學(xué)損傷、磁學(xué)損傷等界面損傷。界面損傷會(huì)在一定程度上削弱界面和結(jié)構(gòu)的功能，也勢(shì)必影響層狀多鐵性器件的力-電-磁響應(yīng)特性。因此，振動(dòng)條件下含損傷界面的智能結(jié)構(gòu)力學(xué)研究成為近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[2-10]。

目前，界面損傷模型一般都是解耦的線性模型，而忽略了不同種類損傷之間的耦合作用。在含弱界面的多鐵性層合結(jié)構(gòu)研究中，損傷耦合條件下進(jìn)行力學(xué)分析更符合實(shí)際情況?；诖?，筆者利用平面問(wèn)題中的弱界面耦合廣義線彈簧模型對(duì)含弱界面的多鐵性空心層合柱振動(dòng)行為進(jìn)行分析，以探究空心層合柱內(nèi)徑變化影響界面損傷系數(shù)和損傷耦合系數(shù)對(duì)機(jī)械振動(dòng)頻率的作用規(guī)律，為空心柱狀智能元器件的尺寸設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

1 含弱界面的多鐵性層合柱的耦合廣義線彈簧模型

在高溫、高壓條件下，多鐵性材料制造時(shí)2種材料之間因相互滲透或者擴(kuò)散，而在接觸面產(chǎn)生界面層，即弱界面[3]，這種作用使得界面層同時(shí)含有鐵電、鐵磁成分。因此，在無(wú)力、電、磁損傷存在的情況下，該類界面層一般具有磁電彈性質(zhì)，其平面問(wèn)題的本構(gòu)關(guān)系為[11]

σr=Mu，

(1)

式中：σr=[σrBrDr]T，為廣義應(yīng)力，其中σr、Br、Dr分別為徑向的正應(yīng)力、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電位移；u=[urφrφr]T，為廣義位移，其中ur、φr、φr分別為徑向的機(jī)械位移、磁勢(shì)、電勢(shì)；

為將界面層的材料系數(shù)矩陣與廣義位移偏導(dǎo)運(yùn)算聯(lián)立得到的矩陣，其下標(biāo)中的逗號(hào)后表示對(duì)相應(yīng)坐標(biāo)求偏導(dǎo)運(yùn)算所針對(duì)的變量，c33、μ33、ε33、h33、e33、d33分別為界面層的彈性常數(shù)、磁導(dǎo)率、介電系數(shù)、壓磁系數(shù)、壓電系數(shù)、磁電系數(shù)。

在機(jī)械載荷和電磁場(chǎng)作用下，含弱界面的多鐵性層合柱的耦合廣義線彈簧模型為[12]

σr|Γ=βΓ(u|Γ+-u|Γ-)，

(2)

式中：

(3)

為廣義剛度矩陣，其中β2為機(jī)械損傷系數(shù)，β3為磁學(xué)損傷系數(shù)，β4為電學(xué)損傷系數(shù)，β5、β6和β7分別為力-磁損傷耦合系數(shù)、力-電損傷耦合系數(shù)和力-磁-電損傷耦合系數(shù)；u|Γ+、u|Γ-分別為弱界面上鐵磁側(cè)、鐵電側(cè)的廣義位移。

由于βi(i=2,3,…,7)的量綱彼此不同，為便于分析，將式(3)改寫為

(4)

2 含弱界面的多鐵性層合柱的理論模型

2.1 幾何模型

圖1為一個(gè)含弱界面的空心多鐵性層合柱的橫截面，其中外部為鐵電層，內(nèi)部為鐵磁層，中間為弱界面。以橫截面圓心O為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，θ為半徑r和極軸Ox的夾角。鐵磁層內(nèi)、外半徑分別為r0、r1，鐵電層內(nèi)、外半徑分別為r1、r2。于是，鐵磁層、鐵電層的厚度分別為tm=r1-r0,te=r2-r1。

該多鐵性層合柱位于徑向電場(chǎng)中，其內(nèi)、外表面的徑向電場(chǎng)分量的大小分別為E1和E2。在鐵磁層的內(nèi)表面加以接地，而在鐵電層的外表面加以φ0eiωt的交流電壓，其中φ0為提供電勢(shì)的振幅，ω為交流電壓的角頻率，t為時(shí)間。為了簡(jiǎn)便，在后面的說(shuō)明中消去時(shí)間因子，則多鐵性層合柱的邊界條件為

(5)

(6)

另外，在設(shè)置層合柱的內(nèi)、外表面的邊界條件后，也需對(duì)弱界面的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行連續(xù)性假設(shè)，則有

σr(r1)=βΓ(u(2)(r1)-u(1)(r1))。

(7)

2.2 基本方程

2.2.1 壓電部分

壓電部分的基本方程如下：

(8)

(9)

(10)

(11)

彈性力學(xué)的平衡方程為

(12)

(13)

(14)

將式(13)進(jìn)行積分可得

(15)

將式(15)代入式(10)，可得

(16)

將式(8)、(9)代入式(12)，可得

(17)

式中：A1為積分常數(shù)；η=ωr/v2，為定義的無(wú)量綱量，v2為常數(shù)(見(jiàn)附錄A);α2、λ2為常數(shù)(見(jiàn)附錄A)。

二階非齊次微分方程的解為[13]

A1λ2(γ1h(η)+γ2l(η))，

(18)

式中：A2、A3為積分常數(shù)；Jα2(η)、Yα2(η) 為α2階第一類和第二類Bessel函數(shù)；γ1、γ2為常數(shù)(見(jiàn)附錄A)；h(η)、l(η)為已知函數(shù)(見(jiàn)附錄B)。

將式(18)代入式(8)中，化簡(jiǎn)后可得

(19)

對(duì)式(16)進(jìn)行積分，化簡(jiǎn)后可得

φr(2)=f21(η)A1+f22(η)A2+A3f23(η)+A4；

(20)

對(duì)式(14)進(jìn)行積分可得

(21)

將式(21)代入式(11)，可得

(22)

式中：g21(η)、g22(η)、g23(η)，f21(η)、f22(η)、f23(η)均為已知函數(shù)(見(jiàn)附錄B)；A4、B1、B2為積分常數(shù)。

2.2.2 壓磁部分

壓磁部分的計(jì)算推導(dǎo)與壓電部分相似。同理，其基本方程為

(23)

(24)

(25)

(26)

推導(dǎo)得到如下結(jié)果：

(27)

(28)

(29)

C1λ1(γ11h1(ξ)+γ22l1(ξ))，

(30)

(31)

(32)

式中：C1、C2、C3、C4、D1、D2為積分常數(shù)；Jα1(ξ)、Yα1(ξ) 為α1階第一類和第二類Bessel函數(shù)，其中ξ=ωr/v1，為定義的無(wú)量綱量，α1、v1為常數(shù)(見(jiàn)附錄A)；λ1、γ11、γ22為常數(shù)(見(jiàn)附錄A)；g11(ξ)、g12(ξ)、g13(ξ)、h1(ξ)、l1(ξ)、f11(ξ)、f12(ξ)、f13(ξ)均為已知函數(shù)(見(jiàn)附錄B)。

2.2.3 振動(dòng)分析

將式(8)-(11)、(20)、(22)和式(27)-(32)代入式(5)-(7)中，得到代數(shù)方程

MF=C。

(33)

式中：

F=(A1，A2，A3，A4，B1，B2，C1，C2，C3，C4，D1，D2)T；

C=(0，0，0，0，0，φ0，0，0，0，0，0，0)T；

M=(mij)12×12，矩陣中各元素表達(dá)式見(jiàn)附錄C。

根據(jù)式(15)、(33)，電位移可以表示為

(34)

式中：N=(nij)12×12，其中nij=mij(i=01,02,…,12;j=02,03,…,12)，n0101=n0201=…=n0501=0，n0601=φ0，n0701=n0801=…=n1201=0。

3 數(shù)值分析結(jié)果

假設(shè)鐵電層和鐵磁層的材料分別為BaTiO3和CoFe2O4[11,14]。另外，假設(shè)鐵電層與鐵磁層具有相同的厚度，即t=te=tm=0.01 m。

3.1 多鐵性層合柱內(nèi)徑對(duì)界面損傷的影響

3.2 多鐵性層合柱內(nèi)徑對(duì)弱界面損傷耦合的影響

3.3 多鐵性層合柱的徑厚比對(duì)機(jī)械振動(dòng)頻率的影響

由3.1、3.2節(jié)可知：當(dāng)內(nèi)徑r0=0.08 m時(shí)，弱界面損傷系數(shù)及損傷耦合系數(shù)對(duì)機(jī)械振動(dòng)頻率的影響很小。因此，有必要研究層合柱的徑厚比n=r0/t對(duì)機(jī)械振動(dòng)頻率的影響。

圖8為在不同的弱界面損傷系數(shù)及損傷耦合系數(shù)存在的情況下，徑厚比n對(duì)機(jī)械振動(dòng)頻率的影響變化曲線?？梢钥闯觯弘S著n的不斷增大，各損傷系數(shù)及損傷耦合系數(shù)對(duì)機(jī)械振動(dòng)頻率的影響呈下降趨勢(shì)；當(dāng)n≈8時(shí)，各系數(shù)對(duì)振動(dòng)頻率的影響已很小，且趨于穩(wěn)定。

4 結(jié)論

針對(duì)多鐵性復(fù)合材料力電磁耦合的特征，利用含弱界面多鐵性層合柱的耦合廣義線彈簧模型，對(duì)指定參數(shù)的空心多鐵性層合柱進(jìn)行了振動(dòng)分析。結(jié)果表明：當(dāng)空心層合柱的徑厚比n≈8時(shí)，界面損傷系數(shù)及損傷耦合系數(shù)對(duì)機(jī)械振動(dòng)頻率的影響很小。此結(jié)論可為空心柱狀各鐵性智能器件的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

附錄A:常數(shù)

(A-1)

(A-2)

(A-3)

(A-4)

式中：Γ(x)為Gamma函數(shù)。

附錄B:已知函數(shù)

(B-1)

(B-2)

式中：pFq[{a1,…,ap},{b1,…,bq},x]為廣義超幾何函數(shù)，其中p為包含a1,…,ap的參數(shù)，q為包含b1,…,bq的參數(shù)，這里p=1,q=2。

(B-3)

式中：

Ω21(η)=η-1Γ(1-α2)J-α2(η)Jα2(η)；

Ω22(η)=ηα2pFq[{α2/2},{1+α2,1+

α2/2},-η2/4]Ω20(η)；

Ω20(η)= [Yα2-1(η)-Yα2+1(η)-

(Jα2-1(η)-Jα2+1(η))cot(α2π)]；

Ω23(η)=η-1Γ(1+α2)Jα2(η)×

(Yα2(η)-Jα2(η)cot(α2π))；

Ω24(η)=η-α2(Jα2-1(η)-Jα2+1(η))×

pFq[{-α2/2},{1-α2,1-α2/2},-η2/4]；

Ω25(η)=η-1(γ1h(η)+γ2l(η))；

(B-4)

式中：

(B-5)

式中：

Ω10(ξ)= Yα1-1(ξ)-Yα1+1(ξ)-

(Jα1-1(ξ)-Jα1+1(ξ))cot(α1π)；

Ω11(ξ)=ξ-1Γ(1-α1)J-α1(ξ)Jα1(ξ)；

Ω12(ξ)=ξα1pFq[{α1/2},{1+α1,1+

α1/2},-ξ2/4]Ω10(ξ)；

Ω13(ξ)=ξ-1Γ(1+α1)Jα1(ξ)(Yα1(ξ)-

Jα1(ξ)cot(α1π))；

Ω14(ξ)=ξ-α1(Jα1-1(ξ)-Jα1+1(ξ))×

pFq[{-α1/2},{1-α1,1-α1/2},-ξ2/4]；

(B-6)

式中：

附錄C:矩陣元素

m0101=m0102=m0103=m0104=m0105=m0106=0，

m0110=m0111=m0112=0；

m0201=m0202=m0203=m0204=m0205=m0206=

m0207=m0208=m0209=m0210=0，

m0301=m0302=m0303=m0304=m0305=m0306=0，

m0311=m0312=0；

m0406=m0407=m0408=m0409=m0410=

m0411=m0412=0；

m0506=m0507=m0508=m0509=m0510=

m0511=m0512=0；

m0604=1，m0605=m0606=m0607=

m0608=m0609=m0610=m0611=m0612=0；

m0704=m0705=m0706=0，

m0808=m0809=m0810=m0811=m0812=0；

m0906=m0907=m0908=m0909=