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    益智課堂《漢諾塔》教學(xué)設(shè)計(jì)

    2018-11-27 08:44:04李永紅
    黑龍江教育·小學(xué) 2018年9期
    關(guān)鍵詞:三環(huán)步數(shù)柱子

    李永紅

    教學(xué)目標(biāo):

    1.認(rèn)識(shí)漢諾塔。了解漢諾塔歷史及游戲規(guī)則,學(xué)會(huì)移動(dòng)1~6個(gè)圓盤的玩法。能用條理清晰的語言闡述自己的想法。

    2.在學(xué)習(xí)過程中,經(jīng)過自己的探索,發(fā)現(xiàn)前面探究獲得的結(jié)果可以幫助解決后面未知的問題,總結(jié)首環(huán)移動(dòng)與圓盤的奇偶性關(guān)系。體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法倒推、轉(zhuǎn)換、遞歸等在游戲中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生思考力。

    3.開發(fā)動(dòng)手能力,培養(yǎng)遇到難題時(shí)堅(jiān)持不懈的精神。

    教學(xué)重點(diǎn):掌握漢諾塔的游戲規(guī)則,發(fā)現(xiàn)最優(yōu)步驟取決于首環(huán)移動(dòng)位置。

    教學(xué)難點(diǎn):倒推和遞歸等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

    教學(xué)準(zhǔn)備:多媒體教學(xué)課件,每人一個(gè)漢諾塔。

    活動(dòng)過程:

    一、展示預(yù)習(xí)作業(yè),導(dǎo)入新課

    師:昨天老師留了預(yù)習(xí)作業(yè),讓大家收集有關(guān)漢諾塔的資料。現(xiàn)在我們就來看看幾位同學(xué)收集的資料吧。

    生1:通過搜集我知道了漢諾塔的構(gòu)造,它是由一個(gè)底座和三根同樣高的柱子構(gòu)成,這三根柱子從左到右可以叫A柱、B柱、C柱。其中一根柱子上,由下至上還排列著由大到小的8個(gè)不同顏色的圓環(huán)。

    生2:我通過搜集資料了解到漢諾塔的游戲規(guī)則:

    (1) 將所有盤按原來的排列移到另一根柱子上。

    (2) 在玩的時(shí)候,每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤。

    (3)大圓環(huán)永遠(yuǎn)不能壓在小圓環(huán)上面。

    (4)按上邊規(guī)則盡可能用最少的步數(shù)移出。

    為了玩得更輕松,有人還把器具的玩法編成了口訣:一次一環(huán),大不壓小。

    生3:我搜集到了有關(guān)漢諾塔的傳說。印度有一個(gè)古老的傳說:在世界中心貝拿勒斯的圣廟里,一塊黃銅板上插著三根寶石柱。印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時(shí)候,在其中一根柱子上從下到上地穿好了由大到小的64片金盤,這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜,總有一個(gè)僧侶按照下面的法則移動(dòng)這些金盤:一次只移動(dòng)一個(gè)金盤,不管在哪根柱子上,小金盤必須在大金盤上面。僧侶們預(yù)言,當(dāng)所有的金盤都從梵天穿好的那根柱子移到另外一根柱子上時(shí),世界將會(huì)在一聲霹靂中消滅,而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡,世界末日隨之到來!

    師:世界末日真的會(huì)到來嗎?一位法國的著名數(shù)學(xué)家愛德華聽了這個(gè)故事,就動(dòng)手玩了這個(gè)游戲,結(jié)果他笑了,他為什么笑了呢?今天我們玩一玩這個(gè)器具,共同走進(jìn)奇妙的漢諾塔。(板書課題。)

    二、嘗試活動(dòng),探尋數(shù)學(xué)思想

    師:(出示課件。)剛才同學(xué)介紹了漢諾塔的三根柱子分別叫A柱、B柱、C柱。為了一會(huì)兒操作方便我們還可以把圓環(huán)所在的A柱叫起始柱;假如我們想把圓環(huán)移到C柱上,C柱就叫目標(biāo)柱;B柱就叫過渡柱。而在圓環(huán)的移動(dòng)過程中,有時(shí)候它們的角色會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)變。這8個(gè)圓環(huán)也可以叫做圓盤,我們可以從上至下叫1環(huán)、2環(huán)、3環(huán)……8環(huán),另外這8個(gè)環(huán)的首領(lǐng)是最小的1環(huán),所以1環(huán)也可以叫首環(huán)。

    師:大家還記得這個(gè)游戲的規(guī)則嗎?把圓環(huán)按原來的順序,也就是原來小環(huán)在上,大環(huán)在下,把它們移到另一根柱子上時(shí),仍然要小環(huán)在上,大環(huán)在下。同學(xué)們想想移動(dòng)的過程中我們的第一個(gè)目標(biāo)是把最大環(huán)移至目標(biāo)柱,還是把最小環(huán)移至目標(biāo)柱。(板書:一次一環(huán),大不壓小。)動(dòng)手試試吧。

    師:剛才在操作中你遇到了什么困難?

    生1:我移到3根柱子都有圓環(huán)的時(shí)候就不知道怎么辦了。

    生2:有時(shí)候我移來移去又移回到起始柱了。

    師:看來要成功地移出8個(gè)環(huán)確實(shí)有難度,它的移動(dòng)一定是有規(guī)律可尋的,那我們可不可以降低難度由易到難,從一個(gè)盤的移動(dòng)開始體會(huì)。接下來請(qǐng)大家借助老師為你準(zhǔn)備的導(dǎo)學(xué)單,我們一起來研究一下。

    師:導(dǎo)學(xué)單的第一列是什么?(生:環(huán)數(shù)。師板書。)也就是要移動(dòng)幾個(gè)環(huán);第二列呢?這里哪個(gè)詞最重要?(生:最少用幾步。師板書。)“最少”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的優(yōu)化思想,所以也可以說是最優(yōu)步數(shù);第三列呢?(生:首環(huán)位置。師板書。)就是第一步先把首環(huán)放在哪根柱子上?這正是我們要驗(yàn)證的一個(gè)重要問題。

    師:現(xiàn)在我們就從易到難從一個(gè)環(huán)開始研究。一環(huán)移動(dòng)用幾步?

    (生演練。)

    毋庸置疑一環(huán)移出沒有障礙,一步就可以完成,第一步首環(huán)直接落在目標(biāo)柱上。(板書:1-1-目。)

    師:要是兩個(gè)環(huán)我們?cè)趺匆瞥瞿???qǐng)你試試。

    (生匯報(bào),分別請(qǐng)5步完成及3步完成的學(xué)生演示。)

    師:這兩位同學(xué)的操作,雖然都把圓環(huán)送達(dá)了目標(biāo)柱,但是你更喜歡誰的方法?為什么?(生:用3步完成的。)(板書:3。)當(dāng)我們選擇最簡(jiǎn)潔的步驟完成任務(wù)時(shí),就體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中的“優(yōu)化”思想。在學(xué)習(xí)和生活中我們會(huì)選擇優(yōu)化的方法,效率就會(huì)提高,我們的頭腦也會(huì)變得更聰明更智慧。

    現(xiàn)在我們看一下兩位同學(xué)演示過程的解析圖,為什么有的同學(xué)用3步,有的同學(xué)用5步?他們?cè)诘趲撞匠霈F(xiàn)了不同?

    師:首環(huán)移動(dòng)時(shí)就不同了。用5步完成的同學(xué)第一步把首環(huán)落在哪了?(生:目標(biāo)柱。)。用3步完成的同學(xué),第一步把首環(huán)落在哪了?(生:過渡柱。)

    移出兩環(huán)時(shí)為什么把首環(huán)落在過渡柱上步數(shù)才最優(yōu)呢?在移動(dòng)兩環(huán)時(shí)我們的第一目標(biāo)是——(生:最大環(huán)——目標(biāo)柱。)最大圓環(huán)能否直接移去目標(biāo)柱?(生:不能。)原因是——(生:首環(huán)壓住了最大環(huán)。)怎么辦?(生:上面的首環(huán)是障礙,所以先把首環(huán)落在過渡柱上,首環(huán)要禮讓才能順利移出最大環(huán)。)就像排隊(duì)一樣,越想往前擠就越浪費(fèi)時(shí)間,首環(huán)如果先擠占了目標(biāo)柱,最大環(huán)就不能直接去目標(biāo)柱了,就浪費(fèi)了步數(shù),所以首環(huán)應(yīng)落在——(生:過渡柱。)

    師:再次操作,請(qǐng)所有同學(xué)把首環(huán)落在過渡柱上移出兩環(huán)。如果同桌有困難,請(qǐng)相互幫助。

    師:看來首環(huán)的位置就已經(jīng)決定我們的步數(shù)是否最優(yōu)。 要想優(yōu)化兩環(huán)的步驟,我們的第一步一定落在哪里?(生:過渡柱上)?;仡^看移出一環(huán)時(shí)我們直接把它落到哪根柱子上了?(生:目標(biāo)柱)。那要想優(yōu)化三環(huán)的步驟首環(huán)應(yīng)該落到哪根柱子上?看課件讓我們分組試試,女生落在目標(biāo)住上,男生落在過渡柱上,把你的步驟記錄在導(dǎo)學(xué)單上。

    (男女生分別匯報(bào),得出優(yōu)化三環(huán)步驟為7步,首環(huán)落在目標(biāo)柱。)

    師:為什么把首環(huán)落到目標(biāo)柱用的步數(shù)最少?請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅我苿?dòng)找出原因。誰來講講移三環(huán)的時(shí)候?yàn)槭裁窗咽篆h(huán)落到目標(biāo)柱用的步數(shù)最少?

    生:移三環(huán)的第一目標(biāo)還是最大環(huán)先移到目標(biāo)柱上,那上面兩個(gè)環(huán)就是大環(huán)的障礙,要想把上面兩個(gè)環(huán)都移至過渡柱上,第一個(gè)環(huán)又是第二個(gè)環(huán)的障礙,所以要先把第一個(gè)環(huán)落在目標(biāo)柱上。

    師:他的這種方法叫做倒推法,倒推是一種非常好的數(shù)學(xué)思想。它是利用已知條件,最大環(huán)要移去目標(biāo)柱,倒著向前推理,那前兩環(huán)應(yīng)該怎么辦?二環(huán)要移至過渡柱,倒著向前推理一環(huán)怎么辦?這樣倒著推理出首環(huán)要落在目標(biāo)柱步驟才能最優(yōu)。

    師:在移出四環(huán)之前你能以第一目標(biāo):最大環(huán)移去目標(biāo)柱開始,倒推出首環(huán)的位置嗎?同桌交流,大膽推測(cè)。

    (一生說推理過程:4-目,前3-過,前2-目,首-過。首環(huán)應(yīng)落在過渡柱位置。)

    (生操作,匯報(bào)步數(shù),展示操作過程。)

    師:第一目標(biāo):最大環(huán)去目標(biāo)柱,前三環(huán)要去過渡柱,這時(shí)候B柱其實(shí)是前三環(huán)的——(生:目標(biāo)柱。)C柱變成前3環(huán)的——(生:過渡柱。)按三環(huán)的移動(dòng)經(jīng)驗(yàn),7步把它們移至B柱上。第八步將最大盤成功落在目標(biāo)柱上,再將前三環(huán)移至C柱上,這時(shí)候C柱又變成前三環(huán)的目標(biāo)柱了,A柱變成前三環(huán)的過渡柱。這個(gè)過程你有什么發(fā)現(xiàn)?在移動(dòng)的過程中三個(gè)柱子的角色是在變換的。這種變換就是另一種數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)換,利用轉(zhuǎn)換的思想可以令我們走出困境。

    觀察前四環(huán)的移動(dòng),你們發(fā)現(xiàn)了首環(huán)移動(dòng)的規(guī)律了嗎?(生:?jiǎn)螖?shù)環(huán)首環(huán)移動(dòng)到目標(biāo)柱,雙數(shù)環(huán)首環(huán)移動(dòng)到過渡柱。)能根據(jù)這個(gè)規(guī)律推想一下移出五環(huán)時(shí),首環(huán)落在哪?(師板書。)

    師:我們?cè)倏醋顑?yōu)步數(shù),四環(huán)的步數(shù)是怎么得到的?是在幾環(huán)的基礎(chǔ)上?7×2+1,(師板書)這個(gè)7是誰用的步數(shù)?這個(gè)1呢?哪位同學(xué)來說一說?

    師:五環(huán)用多少步你能算出來嗎?(生:15×2+1=31。)六環(huán)呢?(生:31×2+1=63。)

    師:那我們能不能將它分解成前四環(huán)和最大環(huán)來想,前四環(huán)如果能移到過渡柱,最大環(huán)就能順利地移至目標(biāo)柱。我們剛剛研究過四環(huán)的移出用15步。 同樣道理,移4環(huán)需要考慮怎樣把前3環(huán)移出,移3環(huán)需要考慮怎樣把前2環(huán)移出。這種思想就叫遞歸。遞歸就是把一個(gè)復(fù)雜的思想轉(zhuǎn)換成與之類似的簡(jiǎn)單的小問題來解決。5環(huán)較為復(fù)雜,我們就把它轉(zhuǎn)換成4環(huán)來想,4環(huán)就把它轉(zhuǎn)換成3環(huán)來想,這就是遞歸。

    (游戲:盲移5環(huán),移后報(bào)時(shí)。)

    三、總結(jié)

    師:同學(xué)們真是了不起,在短短的時(shí)間內(nèi)不僅探究出首環(huán)位置的規(guī)律,還找到了計(jì)算圓環(huán)移動(dòng)次數(shù)的方法。數(shù)學(xué)家愛德華也找到了這個(gè)方法,他按這個(gè)方法計(jì)算下去,10環(huán)1023步,20環(huán)100多萬步,30環(huán) 10 億多步……繼續(xù)算下去,移動(dòng)完64個(gè)環(huán)要用1800多兆步,移完這個(gè)步數(shù)大約要用5850億年。5850億年,那是個(gè)遙不可及的未來!所以愛德華笑了。通過漢諾塔的學(xué)習(xí),我們了解并運(yùn)用了一些數(shù)學(xué)思想,比如:化難為易、優(yōu)化、倒推、轉(zhuǎn)換、遞歸……這些數(shù)學(xué)思想能使我們變得更聰明更智慧,少年智則國智!少年強(qiáng)則國強(qiáng)!有了你們的大智慧我們的祖國一定會(huì)更加富強(qiáng)!

    (作者單位:大慶市八百坰第一小學(xué))

    見習(xí)編輯∕徐蕊

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