在概念建構中感悟分類思想
——以《三角形按角分類》的教學為例

江蘇鹽城市第二小學 徐正洲

小學數(shù)學有很多非?；?、非常重要的概念。這些數(shù)學概念廣泛存在于數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率等領域，是小學生理解并掌握數(shù)學基礎知識、提升數(shù)學基本能力、感悟數(shù)學基本思想、積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗、形成正確數(shù)學觀的重要載體?！靶W生學習數(shù)學知識的過程就是一個不斷用數(shù)學概念比較、分析、綜合、概括、判斷和推理的過程”。在概念教學過程中，有時需要分類?！胺诸愂且环N重要的數(shù)學思想。學習數(shù)學的過程中經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類，函數(shù)的分類等”。分類是小學生積極建構概念的基礎，也是他們理解概念內涵的過程；分類能加深學生對數(shù)學概念的理解和整體把握；分類是學生抽象概括的基礎，有助于提高學生的數(shù)學思維能力。教師要充分引導學生經(jīng)歷分類過程，使學生在概念建構中充分感悟分類思想。

一、在感知概念中激發(fā)分類需要

波利亞認為，學習最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。興趣是最好的老師。有了學習興趣，學生才會積極主動地投入學習中去。因此，教師在數(shù)學概念的引入環(huán)節(jié)，要從實際出發(fā)，創(chuàng)設與概念有明顯聯(lián)系且直觀性強的問題情境，使學生在對具體問題的體驗中初步感知概念，為學生在對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析基礎上提煉出本質屬性打好基礎。如果教師能在問題情境中有效激發(fā)學生的分類興趣，就會收到事半功倍的教學效果。

教學時，教師先引導學生回顧自己生活中見過的三角形。有的學生從三角尺中看到三角形，有的學生從紅領巾中看到三角形，有的學生從一張斜著對折的正方形紙上看到三角形……教師借助多媒體出示一些“藏”有三角形的景物或物體圖片，和學生一起找三角形。學生邊找邊用手比畫所發(fā)現(xiàn)的三角形后，教師在圖上畫出三角形，問學生看到這么多三角形有什么感覺。學生都認為三角形比較多，有點亂。如果這些三角形整齊些，就不會給人“七上八下”的感覺。為了強化學生的認知，教師借助多媒體隨機呈現(xiàn)了更多三角形，大家都一致認為三角形的呈現(xiàn)非常凌亂，如果能想辦法給這些三角形分類就好了。

有效的問題情境能激發(fā)學生的認知沖突，使學生在已有認知結構和情境之間產生矛盾，這是激發(fā)學生探究欲望的有效途徑。教師引導學生從生活中發(fā)現(xiàn)三角形，但這些三角形放在一起有點雜亂無章，尤其是隨機呈現(xiàn)三角形的凌亂真的讓人理不清頭緒，給三角形歸歸類就成了很多學生心中的想法。這樣，學生在觀察和交流中想到把三角形分類就成了大家的一致共識，也成了他們的心理需要，教師引導學生對三角形分類就成了順理成章的事情了。

二、在形成概念中經(jīng)歷分類過程

新數(shù)學概念形成的原動力是學生已有概念與新概念之間的平衡。學生理解數(shù)學概念的過程就是他們掌握了同類事物相同屬性和關鍵屬性的過程，是一個聯(lián)系緊密的整體。教師要引導學生充分經(jīng)歷分類過程，使他們在觀察、比較和分類中主動習得概念并整體把握。促使他們真正理解并掌握數(shù)學概念的最好方法，就是引導學生充分經(jīng)歷概念的形成過程。如果學生在概念形成過程中充分經(jīng)歷了分類過程，就不僅能提升歸納概括能力，而且能充分感悟分類數(shù)學思想，還能有效發(fā)展數(shù)學空間觀念。

教師借助多媒體把學生所觀察圖形中的三角形移下來并編號（如圖1），引導他們先觀察圖①和圖②，說說這兩個三角形的三個角各是什么角？學生觀察后，發(fā)現(xiàn)圖①的三個角中有2個角是銳角，還有一個直角；圖②的三個角都是銳角。教師課件演示量角器量圖中每個角的過程，驗證了他們的想法。教師問學生是不是所有三角形的三個角一定都是銳角時，有的學生認為三角形中可能有直角，有的學生認為三角形中可能有鈍角。在此基礎上，教師引導學生仔細觀察①～⑥這些三角形，說說每個三角形的角是否相同。再引導他們從材料袋里拿出三角形，借助量角器或直尺等進行操作并獨立思考，填表后小組討論交流。

圖1

匯報交流時，有的小組按有無直角把三角形分成兩類：一類有直角如①和⑥，一類沒有直角如②、③、④和⑤；有的小組按有無鈍角把三角形分成兩類：一類有鈍角如③和⑤，一類沒有鈍角如①、②、④和⑥；有的小組按三角形的銳角個數(shù)把三角形分成兩類：一類是有三個銳角的三角形如②和④，一類是有兩個銳角的三角形如①、③、⑤和⑥；有的學生直接分成三類：三個角都是銳角的三角形有②和④，兩個角是銳角一個角是直角的三角形有①和⑥，兩個角是銳角一個角是鈍角的三角形有③和⑤。學生交流時，教師要求他們分別說說分類標準、每類三角形的特點以及這樣分類的理由，并用多媒體及時直觀、完整、有條理地展示。學生把分成兩類的再細分，并分別命名，從而引出概念：3個角都是銳角的三角形是銳角三角形；有1個角是直角的三角形是直角三角形；有1個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。分類后，教師追問學生，如鈍角三角形會不會被人看成直角三角形或銳角三角形？為什么？一個三角形可能有兩個或三個鈍角嗎？為什么？一個三角形可能有兩個或三個直角嗎？為什么？一個三角形可能只有一個銳角嗎？為什么？……學生在比較和辨析中真正理解和掌握了銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的概念，弄清了三角形的分類方法。最后，教師引導學生把所有三角形看作一個整體，銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形分別看作整體的一部分，把它們之間的關系用圖2表示，追問學生按角分時，有沒有遺漏什么三角形或者寫重復了什么三角形，從而幫助學生理解三角形要按照一定標準分類，做到不重復不遺漏。

圖2

教師選擇2個三角形作為學生先行研究的對象，其目的是引導學生充分體現(xiàn)把“角的特點”作為分類標準的合理性。教師提問“是不是所有三角形的三個角一定都是銳角”，一方面能促使學生關注三角形三個內角的特點，另一方面鼓勵學生探究三個角不都是銳角的三角形，從而體會分類活動的必要性。學生的知識經(jīng)驗不一樣，小組的分類結果也不同。學生把三角形按角分成兩類或三類時，教師引導學生進行對比，使他們認識鈍角三角形和銳角三角形是在斜三角形基礎上的細分。每次分類后，教師引導學生對照分類要求檢驗正確性，幫助他們在掌握三角形角的特征基礎上，感悟概念建構方式。教師追問的幾個問題幫助學生理清了分類規(guī)則：一是母項的外延等于各子項外延的和，二是各子項的外延必須互相排斥。這樣不僅能幫助學生理解分類標準的合理性，而且能幫助學生培養(yǎng)他們思維的嚴謹性，提升學生對分類過程的理解水平，還能幫助學生體會分類的要求——不重復不遺漏。學生所形成的數(shù)學概念也非常穩(wěn)定牢固。

三、在應用概念中掌握分類方法

新概念是學生對已有數(shù)學概念的繼承、發(fā)展與完善。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，學生很難一步到位地理解，需要分成若干層次，分階段逐步理解。有效、適當?shù)木毩暿菐椭鷮W生理解和掌握數(shù)學概念的保障。教師要想方設法地用各種有效方式對概念的內涵和外延進行“深加工”，幫助學生進一步理解概念的本質屬性和非本質屬性，以便學生更清晰地理解數(shù)學概念。如果教師能引導學生在應用概念中進一步掌握分類方法，感悟數(shù)學分類思想，就能起到一舉多得的作用。

在練習時，教師首先引導學生做猜一猜的游戲：出示三個信封，分別露出鈍角、直角和銳角，讓學生猜一猜“躲”在信封里面的三角形的類型（圖3），再借助幾何畫板在動態(tài)變換（圖4）中引導學生思考：如果A點向右移動時，圖形就會變成什么三角形？如果A點向左移動，圖形就會變成什么三角形？最后引導學生連一連（圖5）。

圖3

圖4

圖5

借助猜一猜游戲，引導學生認識不同的三角形，鞏固分類認知；借助幾何畫板的動態(tài)演示，引導學生在想象中感悟三角形按角分類的變化過程，既增加了題目的趣味性，又能幫助學生進一步鞏固三角形特征；“連一連”能幫助學生再次經(jīng)歷分類過程，促使學生進一步感悟分類數(shù)學思想。這樣練習有助于學生更加準確和全面把握所學數(shù)學概念的內涵和外延。

四、在內化概念中回顧分類收獲

數(shù)學概念具有一定的系統(tǒng)性。學生掌握的數(shù)學概念不是零散的，而是密切聯(lián)系的一個整體。教師要幫助學生在新的數(shù)學概念與原有概念之間建立聯(lián)系，也就是要幫助學生把新建構的數(shù)學概念納入已有概念體系的認知結構中，形成一個有機整體，這樣的概念教學才有活力，才能靈活地加以運用。因此，教師要選擇合適時機，引導學生溝通概念間的相互聯(lián)系，促使學生把所學概念形成知識網(wǎng)絡。

教師引導學生總結學習收獲時，有的學生認為，三角形按角分可以分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；有的學生認為，如果把三角形看成一個圓，三種不同的三角形就把這個圓一分為三；有的學生認為，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有的學生認為，三角形中最多有三個銳角，最少有2個銳角；有的學生認為，三角形中最多只有一個直角或者一個鈍角，判斷三角形要看其中最大的內角是什么角。最后，教師小結性告訴學生：分類是學習和生活中不可或缺的一種重要數(shù)學思想和方法。只要找到正確的分類標準，生活中有很多事物都可以分類。不同的分類標準有不同的分類結果。

總之，在數(shù)學概念的建構過程中，學生常常需要通過分類討論問題和解決問題。教師要引導學生逐漸體會分類的原因、確定分類標準和分類過程中認識對象性質的方法，明白分類要不重復不遺漏。通過反復思考和長期積累，使學生逐步感悟分類是一種非常重要的數(shù)學思想。當然，小學生感悟分類思想是對數(shù)學知識和方法的高度抽象與概括，不可能一蹴而就。如果問題情境復雜、層次眾多，教師就引導學生選擇一個合適的分類標準，不重不漏地把問題分解成一些比較單一并熟悉的小問題，各個擊破后再綜合起來，實現(xiàn)問題解決。這樣就能化難為易地分散問題難點，實現(xiàn)問題轉化，有助于學生順利建構數(shù)學概念，并從中感悟數(shù)學分類思想。?