質(zhì)點的運動軌跡是圓的漸開線嗎*

姜付錦 李 弼

(武漢市黃陂一中 湖北 武漢 430300)

張 靜

(江蘇省淮陰中學(xué) 江蘇 淮安 223002)

《物理教學(xué)》在2017年第6期發(fā)表了一篇關(guān)于一道浙江大學(xué)自主招生題的分析[1]，原文中雖然給出了質(zhì)點的最終速度大小和方向，但沒有給出推導(dǎo)過程，原文還認(rèn)為質(zhì)點運動軌跡是圓的漸開線，但是筆者以為這個分析有待商榷.本文嘗試從動力學(xué)角度出發(fā)，得到質(zhì)點動力學(xué)微分方程組，并給出質(zhì)點運動規(guī)律的數(shù)值模擬解.

1 題目

【題目】如圖1所示，在傾角為θ的粗糙斜面上存在垂直斜面向上的勻強磁場B，在斜面上由靜止釋放一個帶正電質(zhì)點.設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，帶電荷量為+q，斜面的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，若斜面足夠大，試分析質(zhì)點最終的運動狀態(tài)和運動軌跡是怎樣的？

圖1 質(zhì)點初始位置圖

2 最大速度的分析

如圖2所示，以質(zhì)點釋放位置為坐標(biāo)原點，水平向右為x軸，沿斜面向上為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

圖2 質(zhì)點受力分析圖

(1)

由于帶電質(zhì)點的速率為

(2)

軌跡的曲率半徑為

(3)

把式(2)、(3)代入式(1)得

不同程序中當(dāng)事人所提供的現(xiàn)有技術(shù)證據(jù)不盡相同，導(dǎo)致裁決者認(rèn)識到的專利申請實際上的技術(shù)貢獻以及對技術(shù)細節(jié)的理解也不盡相同，對技術(shù)方案的最終解釋也會產(chǎn)生不可預(yù)知的影響。

(4)

整理后得

(5)

隨著時間推移，式(5)會趨近于零，角α趨于常量，質(zhì)點達到勻速直線運動狀態(tài)，則有

Bqv=mgsinθsinα

(6)

(mgsinθ)2=(Bqv)2+(μmgcosθ)2

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)可求得

(8)

(9)

帶電質(zhì)點在切向由牛頓運動第二定律得

(10)

將式(10)兩邊同乘以dα則有

(11)

將式(5)代入式(11)得

(12)

將式(12)整理后得

(13)

進一步研究發(fā)現(xiàn)，式(13)沒有解析解.

3 動力學(xué)微分方程組

由圖2中質(zhì)點受力分析圖，可以寫出質(zhì)點動力學(xué)微分方程組如下

(14)

(15)

x(0)=0,y(0)=0,x′(0)=y′(0)=0

(16)

進一步研究發(fā)現(xiàn)，式(14)、(15)、(16)沒有解析解.

4 數(shù)值模擬

由式(8)得

(17)

由式(9)得

(18)

代值求得

α=arccos(μcotθ)≈1.513 rad

(19)

圖3是質(zhì)點運動軌跡圖，可以看出質(zhì)點振動的幅度越來越小，最終趨近于直線運動，不是圓的漸開線運動;圖4是質(zhì)點速率與夾角α關(guān)系圖，可以發(fā)現(xiàn)質(zhì)點最終速率趨近于一個定值，速度的方向趨近于不變.

圖3 質(zhì)點運動軌跡圖

圖4 質(zhì)點速率與夾角α關(guān)系圖

圖5是質(zhì)點兩個分速度與時間關(guān)系圖，可以看出它們的振幅越來越小，最終都趨近于勻速直線運動，圖6是質(zhì)點速率與時間關(guān)系圖，可以看出質(zhì)點最終速率趨近于某一定值.

圖5 質(zhì)點兩個分速度與時間關(guān)系圖 圖6 質(zhì)點速率與時間關(guān)系圖

5 結(jié)論

通過以上分析不難發(fā)現(xiàn)，帶電質(zhì)點運動軌跡最終趨近于勻速直線運動，質(zhì)點在x軸和y軸方向上的分速度最終都趨近于定值，都是趨近于勻速直線運動，而不是圓的漸開線運動.進一步研究還發(fā)現(xiàn)：若μ=0時，帶電質(zhì)點的運動軌跡是一條擺線[2,3]，感興趣的教師可以自行推證，這里不再贅述.