沒了直角，勾股定理也就沒戲了

江蘇省淮安外國語學(xué)校八（1717）班 夏 熠

【背景資料】勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，也是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，還是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一.

【定理用途】已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長(zhǎng)度，證明該三角形為直角三角形或用來證明該三角形內(nèi)兩邊垂直.利用勾股定理求線段長(zhǎng)度是勾股定理的最基本運(yùn)用.

典型例題：

【例1】（2016·株洲）如圖1，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形.上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形個(gè)數(shù)有（ ）.

圖1

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

【心路歷程】第一個(gè)圖形中，首先根據(jù)等邊三角形的面積的求法，表示出3個(gè)三角形的面積然后根據(jù)a2+b2=c2，可得S1+S2=S3.其余圖形也都是先表示出陰影部分的面積，再順利得出S1+S2=S3.故正確答案選D.

此題考查了等腰直角三角形、等邊三角形、圓以及正方形的面積的求法，我們要熟練掌握.解題的關(guān)鍵是要明確：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方和一定等于斜邊的平方.應(yīng)該說此題屬于長(zhǎng)相恐怖、解答清晰的類型，同學(xué)們應(yīng)該都能答對(duì)吧？

典型例題：

【例2】（2016·綏化）如圖2，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，

圖2

【心路歷程】過A作AF⊥BD，交BD于點(diǎn)F.由三角形ABD為等腰直角三角形，利用三線合一得到AF為中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AF的長(zhǎng).在直角三角形AEF中，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半列方程求出AE的長(zhǎng)，即AE=2.

【學(xué)法歸納】1.勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

2.在不規(guī)則的幾何圖形中，通常通過添加輔助線得到直角三角形.

3.在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.

教師點(diǎn)評(píng)：

應(yīng)用勾股定理的前提，必須有直角三角形，沒有直角，那真如小作者所說的——沒戲了.可實(shí)際中，很多時(shí)候題中沒有直接給出直角三角形，我們必須先構(gòu)造出適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，從而為建立三邊關(guān)系起到橋梁紐帶作用.