數(shù)學(xué)之美數(shù)形結(jié)合

蔡萃藝

依稀記得剛走進(jìn)初中大門之時(shí)，數(shù)學(xué)老師在班級(jí)公共郵箱里放了一份《數(shù)學(xué)之美》的PPT文件.點(diǎn)開后，是一張張精美的幾何動(dòng)態(tài)圖，幾張?bào)w現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間運(yùn)算規(guī)律的宏大的平面圖，數(shù)與形的美妙結(jié)合給我?guī)砹藦?qiáng)烈的視覺沖擊.曾經(jīng)的我只是單純地認(rèn)為數(shù)學(xué)就是數(shù)學(xué)地運(yùn)算，要通過縝密的頭腦風(fēng)暴才能將數(shù)學(xué)運(yùn)用得如魚得水，而數(shù)字就是人們操控?cái)?shù)學(xué)的秘密武器.在我將那份PPT從頭到尾一圖不落一字不疏地看完后，之前在腦海中構(gòu)建出的數(shù)學(xué)概念堡壘，瞬間被一個(gè)個(gè)奇形怪狀的立體幾何轟炸成碎片，需要被替換，更新，重新組建.

說是被數(shù)學(xué)之美驚艷到，但其實(shí)還有對(duì)數(shù)學(xué)難以克服的恐懼，后者占了多數(shù).人們總是對(duì)未知的事物有著探索的渴望；與渴望并存的，還有對(duì)探索結(jié)果的恐懼.一想到這些“美”的背后煩瑣的證明過程，復(fù)雜的計(jì)算方法，總是使我踟躕在數(shù)學(xué)之美的表面，它背后更具有深度的美是以我目前的理解水平無法感受到的.這就仿佛給數(shù)學(xué)蒙上了一層朦朧的面紗，你深知面紗之下的真容是能夠觸動(dòng)大腦里最僵硬的那根神經(jīng)，給你一種如釋重負(fù)，恍然大悟的快感，卻捉摸不透揭開那層面紗的方法.

總而言之，數(shù)學(xué)不單單研究數(shù)字，它還研究結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等方面，從某種角度看屬于形式科學(xué)的一種.因此數(shù)學(xué)的本質(zhì)，便是“數(shù)量科學(xué)”.

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，幾何與數(shù)字的關(guān)系并不是非常緊密的，稍有涉及的無非是計(jì)算圖形面積，周長，要求稍微高點(diǎn)則是計(jì)算最值問題等等.到了初中，圖形的種類變得豐富起來，函數(shù)也登上了舞臺(tái)，這兩者之間的結(jié)合便構(gòu)成高中試卷壓軸題型——數(shù)形結(jié)合.

函數(shù)可以用圖象來表示，其中必然會(huì)涉及幾何問題；幾何圖形里大有文章可做，最為寵幸的便是函數(shù).這兩者涵蓋了義務(wù)數(shù)學(xué)教學(xué)的絕大部分內(nèi)容，它們的結(jié)合便可謂為“雙劍合璧”了.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”“數(shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性，而數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

靈活巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來解題，往往產(chǎn)生事半功倍的成效.在過去接觸的大部分題里，題干中并不會(huì)給出明確的注明來揭示這道題的本質(zhì)是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，這就要求我們做題時(shí)擁有一種敏銳度，原式進(jìn)行各種變形轉(zhuǎn)化后還是無法找到解題的突破口，就可以換一種思路，采用化數(shù)式為圖象的方法來解決.

由圖可知，當(dāng)χO，所以f（χ）<0，這時(shí)就要求我們對(duì)χ≥1時(shí)f（χ）的圖象進(jìn)行條件限制.首先確定m的正負(fù)，由它來決定f（χ）圖象的開口方向.當(dāng)m>0時(shí)，圖象開口向上，則χ≥1時(shí)總會(huì)有f（χ）>0的地方，因此m必須為負(fù)數(shù).所以f（χ）的圖象與χ軸的交點(diǎn)為（2m，0）和（-m-3，0），就如下圖.

由此可見，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言（數(shù)量關(guān)系）與直觀的幾何圖形（位置關(guān)系）結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的.這個(gè)方法常常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如三角函數(shù)等.

我們要在平常所做的題中，不斷總結(jié)積累，慢慢培養(yǎng)出數(shù)形結(jié)合的思想方法，讓兩者相得益彰地輔助我們思考，從而達(dá)到問題的解決.如果說數(shù)式與幾何是數(shù)學(xué)界的兩大強(qiáng)者，強(qiáng)強(qiáng)針鋒相對(duì)之時(shí)你不知所措，只會(huì)被夾在中間受到二倍技能的傷害，倘若你選擇避開，同樣會(huì)造成兩敗俱傷，而你毫無利可收.因此不如試著將它們征服于股掌之間，融合出更為強(qiáng)大的必殺技，想必到那時(shí)，許多囤積的難題便可以巧妙地迎刃而解了.

教師的話：數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一個(gè)非常實(shí)用有效的方法，該生能感受到其中的生動(dòng)有趣，體會(huì)到數(shù)學(xué)之美，對(duì)其將來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)道路必有助益.