用“代數(shù)表示”揭示“圖形變換”的內(nèi)涵

孟男　郭爽

摘 要 本文結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)，提倡數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生追尋數(shù)學(xué)原理，探究數(shù)學(xué)思維發(fā)展的本源，培養(yǎng)學(xué)生將代數(shù)與圖形有機(jī)結(jié)合，用“代數(shù)表示”研究圖形的位置和運(yùn)動(dòng)的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法。

關(guān)鍵詞 圖形變換 代數(shù)表示

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在數(shù)學(xué)發(fā)展的相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)，算術(shù)是幾何的附庸，笛卡爾和費(fèi)馬將數(shù)與圖形有機(jī)的結(jié)合在一起，開(kāi)創(chuàng)了圖形的數(shù)量化研究，實(shí)現(xiàn)了根本性的轉(zhuǎn)變，圖形數(shù)量化研究的基礎(chǔ)是坐標(biāo)系，其研究領(lǐng)域主要包括圖形的位置和圖形的運(yùn)動(dòng)，這便是解析幾何的基本思想內(nèi)涵。解析幾何的核心思想就是建立一個(gè)參照系，借助參照系通過(guò)對(duì)數(shù)量分析的方法研究幾何圖形及其變化。

在我們的初中的培優(yōu)教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生感知這種圖形的數(shù)量化研究的思想和魅力，這將為學(xué)生今后高中甚至于大學(xué)之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。以華師版七下教材為例，教材中介紹了三種剛體運(yùn)動(dòng)：軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)，都可以用代數(shù)表示的方法加以研究。

（1）那么如何對(duì)三種變換進(jìn)行代數(shù)表示呢？

比如，我們可以借助數(shù)軸為參考系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，形象直觀的幫助學(xué)生借助代數(shù)表示描述軸對(duì)稱和平移運(yùn)動(dòng)。

軸對(duì)稱：在數(shù)軸上A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為2b-a；（我們更經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生討論數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的軸對(duì)稱點(diǎn)，比如我們經(jīng)常設(shè)置兩點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等的問(wèn)題情境）。

平移：A點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的為a；B點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為b。

①將A點(diǎn)向右平移m個(gè)單位的代數(shù)表示為：a+m。

②將A點(diǎn)向左平移n個(gè)單位的代數(shù)表示為：a-n。

③具體還要根據(jù)a、b的大小而進(jìn)行分類(lèi)討論。

例1：如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為10，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)C表示的數(shù)是2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q與點(diǎn)R關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t≥0）秒.求PR等于3時(shí)，t的值.

【解析】P：10-2t，Q：8-t，R：4-（8-t）= t-4，

當(dāng)0≤t≤時(shí)，PR=10-2t-（t-4）=3，解得t=；

當(dāng)t>時(shí)，PR=t-4-（10-2t）=3，解得t=；

實(shí)際上，這種想法也在為學(xué)生在八年級(jí)和九年級(jí)，選取平面直角坐標(biāo)系為參考系描述函數(shù)的軸對(duì)稱，平移等打基礎(chǔ)。

由于數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，在教學(xué)中，教師可以利用變式透徹原理，比如，一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可以引導(dǎo)學(xué)生探究點(diǎn)的折返運(yùn)動(dòng)、變速運(yùn)動(dòng)等不同的問(wèn)題情境的代數(shù)表示；兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，又可以深入探究?jī)牲c(diǎn)相遇前后、一點(diǎn)先停、一點(diǎn)折返、兩點(diǎn)同時(shí)變速、兩點(diǎn)不同時(shí)變速等多種問(wèn)題情境下的代數(shù)表示；多個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系進(jìn)行討論等等，這些問(wèn)題的深入探究為今后分段函數(shù)埋下伏筆。

旋轉(zhuǎn)：對(duì)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，我們可以類(lèi)似于極坐標(biāo)描述旋轉(zhuǎn)角和線段的長(zhǎng)度。

例2：如圖，將兩個(gè)含有30敖塹娜鵲鬧苯僑切穩(wěn)繽嘉恢冒詵牛溝鉊、A、C共線，其中∠BAC=∠ECD=90埃螦BC=∠EDC=30埃繽跡？），連結(jié)BD，將△EDC繞點(diǎn)C以每秒6暗乃俁妊廝呈閉敕較蛐鋇鉊、A、C再次共線時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)時(shí)間為t（秒）（0≤t≤30），當(dāng)∠BCD=40笆保髏的值；

【解析】當(dāng)0

當(dāng)10

（2）選擇不同的變量進(jìn)行代數(shù)表示。

在教學(xué)過(guò)程中，還要鼓勵(lì)學(xué)生靈活處理，探究同一運(yùn)動(dòng)變換中選擇不同的參考系和不同的變量進(jìn)行不同的代數(shù)表示。

例3：如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B表示的數(shù)為-6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t≥0）秒。

在這個(gè)例子中，既可以用P點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)8﹣6t描述點(diǎn)P的位置，還可以用AP的長(zhǎng)6t描述點(diǎn)P的位置，還可以用BP的長(zhǎng)描述點(diǎn)P的位置，而用BP的長(zhǎng)描述點(diǎn)P的位置時(shí)，需要根據(jù)這兩點(diǎn)位置的不同進(jìn)行分類(lèi)討論。

另一方面，在解決具體問(wèn)題是，還要引導(dǎo)學(xué)生選擇最簡(jiǎn)便的代數(shù)表示方法解決問(wèn)題。

例4：如圖，長(zhǎng)方形OABC的邊OA在數(shù)軸上，O為原點(diǎn)，長(zhǎng)方形OABC的面積為12，OC邊長(zhǎng)為3，將長(zhǎng)方形OABC沿?cái)?shù)軸水平移動(dòng)，移動(dòng)后的長(zhǎng)方形記為O′A′B′C′。D為線段AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OO′上，且OE=OO′，當(dāng)OD=2OE時(shí)，求點(diǎn)A′表示的數(shù)。

【解析】根據(jù)平移特征AA′= OO′，我們可以設(shè)平移距離為x，用含x的代數(shù)式進(jìn)行幾何問(wèn)題的代數(shù)表示。這比直接設(shè)A′表示的數(shù)為x要簡(jiǎn)便得多。

若向右平移，則AA′= OO′=x，OD=OA+AA′=4+x，OE=OO′=x，

∴4+x=x解得：x=24，則A′表示的數(shù)是4+24=28；

若向左平移，則AA′= OO′=x，OD=OA-AA′=4-x，（D在O右側(cè)）或OD=AA′-OA=x-4（D在O左側(cè)），OE=OO′=x，

∴4-x=x解得：x=，則A′表示的數(shù)是4-=；

或x-4=x解得：x=-24（舍）.

在這個(gè)例子中，設(shè)平移距離為x要比設(shè)點(diǎn)A′表示的數(shù)為x要簡(jiǎn)單的多。

綜上，在教學(xué)要注意引導(dǎo)學(xué)生追尋數(shù)學(xué)原理，探究數(shù)學(xué)思維發(fā)展的本源，將代數(shù)與圖形有機(jī)結(jié)合，用“代數(shù)表示”研究圖形的位置和運(yùn)動(dòng)，這樣才能引導(dǎo)學(xué)生追尋數(shù)學(xué)源頭，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，建立數(shù)學(xué)知識(shí)與方法前后的順序聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，理性學(xué)習(xí)，讓熱愛(ài)數(shù)學(xué)的學(xué)生能夠自由徜徉于數(shù)學(xué)的海洋中。