一類具脈沖比率依賴Leslie模型的周期性和全局吸引性的研究

路 杰, 王曉松

(宿州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部, 安徽 宿州 2341011)

引 言

明朝中期著名的科學(xué)家徐光啟是生物數(shù)學(xué)的鼻祖，他用數(shù)學(xué)知識和方法分析了當(dāng)時(shí)人口增長速度的問題。如今，隨著數(shù)學(xué)知識越來越被廣泛應(yīng)用于人們的日常生活及各行各業(yè)，生物數(shù)學(xué)也得到了十分迅速的發(fā)展。生物數(shù)學(xué)用于對農(nóng)業(yè)病蟲害防治的研究已有不少報(bào)道，如：食餌依賴G(N)、捕食者依賴G(P)或G(N)、比率依賴G(P/N)[1]，這些是常見的功能性反應(yīng)生物模型的延展功能反應(yīng)函數(shù)中的部分，以及Holling[1]給出HollingⅠ型功能反應(yīng)函數(shù)，Andrews[2]給出的Monod-Haldane型功能反應(yīng)函數(shù)p(x)=mx/(a+bx+x2) (也稱為HollingⅣ-型功能反應(yīng)函數(shù))。Chen[3]利用延拓定理得到一類帶HollingⅣ-型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型周期解的存在性和多解性結(jié)論，之后Sokol和Howel[4]又給出了簡化型HollingⅣ-型功能反應(yīng)函數(shù)p(x)=mx/(a+x2)，這些功能反應(yīng)函數(shù)主要研究了將生物方法(周期性釋放天敵)和化學(xué)方法(灑農(nóng)藥)相結(jié)合，進(jìn)行綜合治理農(nóng)業(yè)病蟲害。

本文主要是研究具脈沖Leslie比率依賴捕食-食餌模型[5-6]，此模型是Holling型功能函數(shù)的具體補(bǔ)充，給出了周期釋放或存儲捕食者及噴灑農(nóng)藥的脈沖效應(yīng)周期等結(jié)論。對于Leslie模型的應(yīng)用主要集中在人口問題[7-9]、計(jì)算機(jī)問題[10]等方面的研究中，而鮮有用于對農(nóng)業(yè)病蟲害防治的研究。本文的研究成果具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義，可為農(nóng)業(yè)病蟲害防治周期提供必要的理論依據(jù)。

具脈沖Leslie比率依賴[11]捕食-食餌模型為：

(1)

式中：i={1,2}；xi(t)分別是t時(shí)刻食餌和捕食者的密度；a,b,c,e,f,h∈c(R,R+)，都是關(guān)于t的ω周期函數(shù)；h2是正整數(shù)表示半飽和率。假定：

?k∈z+

記：

R表示全體實(shí)數(shù)，z+表示正整數(shù)，對ω周期函數(shù)，g(t)定義：

假設(shè)：

(H2)a,c,f∈C(R,R+)都是關(guān)于t的非負(fù)ω周期函數(shù)。

1 主要定理驗(yàn)證

首先給出本文主要理論依據(jù)Gaines和Mawhin的推廣延拓定理及相關(guān)知識：

定義2[12]令X和Z是兩個(gè)實(shí)Banach空間，L：DomL?X→Z為一個(gè)線性算子，N：X→Z為一個(gè)連續(xù)映射。若下述條件成立:

(1)lmL是Z的閉集；

(2) dimKerL=codimlmL<+∞

則稱L為具有零指標(biāo)的Fredholm算子。

定義3[12-13](Gaines-Mawhin延拓定理)設(shè)X和Z是實(shí)Banach空間，L是具有零指標(biāo)的Fredholm算子，Q：Z→Z為連續(xù)投影算子，Ω是X中的有界開集。則Lx=QN*(X,λ)+y與Lx=QN*(X,λ)+λ(I-Q)N*(x,λ)+y對每一個(gè)λ∈[0,1]對應(yīng)的解集都相同，特別地，若λ=0，后者的每一個(gè)解都是前者的解。且滿足下面條件：

(1)Lx≠λN*(x,λ)+y對于每一個(gè)x∈DomL∩?Ω和λ∈[0,1]均成立；

(2)ΠN*(X,0)≠0和任意x∈L-1{y}∩?Ω；

(3)d[ΠN*(.,0)|L-1{y},Ω∩L-1{y},0]≠0

(1) 對任意λ∈(0,1)，方程Lx=λNx的解滿足x??Ω；

(2) 對任意x∈KerL∩?Ω，QNx≠0；

(3) Brouwer度deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0，

定理1在假設(shè)條件(H1)～(H2)下，Leslie比率依賴捕食-食餌模型(1)至少存在一個(gè)正ω周期解的充分必要條件(H3)成立。

證明令xi(t)=expyi(t)，且i={1,2}，則模型(1)變?yōu)椋?/p>

(2)

必要條件若(y1(t),y2(t))T∈X，式(2)的正ω周期解為式(2)在初始條件yi(ω)下對t在[0,ω]上積分，其中t≠tk,k={1,2,…,q}，得：

和

由此假設(shè)(H3)成立。

充分條件首先令 ：

X={x(t)=x1(t),x2(t)T|xi(t)∈pcω,i=1,2}

其模為：

再令：

其中：

是常向量，k=1,2,…,q。

定義L:DomL?X→Y

其中：

DomL={y(t)=(y1,y2)T∈X|y′pcω}=

{y(t)=(y1,y2)T∈X|y(t)∈pc}

另一方面，記：

并分別定義兩個(gè)投影算子P和Q：

P:X→X,Q:Y→Y

易得：

KerQ

都是Y中的閉幕集，及dimKerL=codimlmL=2，因此L是指標(biāo)為0的Fredholm[16]映射，進(jìn)一步可得L的廣義逆算子：

KP:lmL→KerP∩DomL

因此有：

QN(y(t))=

及

KP(I-Q)N(y(t))=

由Lebesque[17]控制收斂，得算子QN和KP(I-Q)N都連續(xù)。由于算子

為便于計(jì)算，構(gòu)造了適當(dāng)?shù)挠薪玳_集，對應(yīng)于算子方程Ly=λNy,λ∈(0,1)，有

(3)

式中：fi(t)(i=1,2)的定義同式(2)，假設(shè)對λ∈(0，1)，y(t)=(y1(t),y2(t))T∈X是系統(tǒng)(3)的一個(gè)解，在[0,ω]上積分式(3)，得：

(4)

則：

(5)

由(3)和(5)得：

(6)

類似可得：

(7)

由于y=(y1(t),y2(t))T∈X，存在ξi,ηi∈[0,ω]，i={1,2}，使得

(8)

由式(5)與式(8)可得：

故

(9)

由式(6)和引理1得：

(10)

特別地，有y1(η1)≤C1。

另一方面，由式(3)、式(5)和式(10)可得：

(11)

則有

(12)

由引理1和式(7)、式(12)可得：

(13)

又由式(10)和式(13)得：

同理，有

其中：

很明顯，條件(H1)、(H2)與λ無關(guān)。

取H=max{H1,H2}+c，其中c是一充分大的正常數(shù)，使得：

(14)

使得Ω滿足定理1的條件(H1)、(H2)。

及

計(jì)算可得：

Deg(JQN|KerL∩?Ω)

下面對系統(tǒng)(1)的全局吸引性進(jìn)行論證。

定理2假設(shè)條件(H1),(H2),(H3)及以下條件(H4)均成立。

(H4)存在正常數(shù)si,ωi=1,2及ρ，使得

式中：

(15)

式中：

的定義同定理1，則系統(tǒng)(1)存在唯一的全局吸引的正ω周期解。

證明假設(shè)系統(tǒng)(1)存在唯一的全局吸引的正ω周期解(x1(t),x2(t))，令(y1(t),y2(t))是系統(tǒng)(1)的另外一個(gè)解，考慮以下的Lyapunov 泛函：

(16)

直接計(jì)算W(t)對t(t≠tk)在系統(tǒng)(1)上的右上導(dǎo)數(shù)D+W(t)，有

D+W(t)≤

s1a(t)|x1(t)-y1(t)|-s1f(t)sgn{x2(t)-y2(t)}×

其中，ρ同式(15)的定義。

另一方面，對t=tk有

(18)

由式(17)和式(18)得

D+W(t)≤0,ΔW(tk)≤0

?t≥T0，在[T0,t]上積分式(17)，得

則

(19)

式中i=1,2。則由引理[18]得：

(20)

則系統(tǒng)(1)的全局吸引性成立得證。

2 例證

考慮系統(tǒng)

(21)

則易驗(yàn)證定理1和定理2的條件(H1)～(H4)，滿足系統(tǒng)(21)有一個(gè)全局吸引的正周期解。

3 結(jié)束語

本文通過一類具脈沖比率依賴Leslie模型的周期解存在性的充分必要條件和其正周期解的全局吸引性研究，得出了Leslie比率依賴捕食-食餌模型系統(tǒng)的可行性。在生物方法防治蟲害中，可以根據(jù)一類具脈沖Leslie比率依賴捕食-食餌模型，提供病蟲害發(fā)生頻率及最優(yōu)病蟲害防治周期理論依據(jù)，這在國民生產(chǎn)中具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。