一種具有幾何非線性的斜置式慣容隔振器動(dòng)態(tài)特性研究

王 勇， 汪若塵， 孟浩東

(1.江蘇大學(xué) 汽車(chē)工程研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2.常州工學(xué)院 機(jī)械與車(chē)輛工程學(xué)院，江蘇 常州 213002)

Smith[7]于2002年首次發(fā)明了慣容器，慣容器是一種被動(dòng)的機(jī)械裝置，具有兩個(gè)相對(duì)自由運(yùn)動(dòng)的端點(diǎn)，作用于兩端點(diǎn)的力與兩端點(diǎn)的加速度成一定比例，該比例值，稱為“慣質(zhì)系數(shù)”(單位為kg)。作為一種新型的機(jī)械裝置，慣容器廣泛運(yùn)用于汽車(chē)懸架[8-10]、軌道車(chē)輛懸架[11]、建筑減振[12]、動(dòng)力吸振系統(tǒng)[13]和隔振系統(tǒng)中，研究表明采用慣容器后，這些裝置具有更好的減振或隔振性能。Chen等[14]研究了慣容器對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率的影響，表明慣容器能減小系統(tǒng)的固有頻率。Hu等[15]分析了幾種慣容隔振器的動(dòng)態(tài)特性，在這些隔振器中，慣容器與彈簧或阻尼器處于并聯(lián)或串聯(lián)，研究表明與線性隔振器相比，并聯(lián)式或串聯(lián)式慣容隔振器可以有更好的隔振性能。

與幾何非線性彈簧裝置和幾何非線性阻尼器裝置類似，本文研究采用幾何非線性慣容器裝置的隔振器的動(dòng)態(tài)性能，主要目的是分析此幾何非線性對(duì)斜置式慣容隔振器動(dòng)態(tài)性能的影響，研究此隔振器是否比線性隔振器具有更好的隔振性能。隔振器的隔振性能用動(dòng)態(tài)位移峰值、傳遞率峰值和隔振頻帶[16]來(lái)評(píng)價(jià)。本文首先分析考慮幾何非線性的斜置式慣容隔振器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，運(yùn)用諧波平衡法求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。之后研究斜置式慣容隔振器的隔振性能，并與線性隔振器進(jìn)行對(duì)比分析。

圖1 采用幾何非線性彈簧裝置和幾何非線性阻尼器裝置的非線性隔振器
Fig.1 Nonlinear vibration isolator with geometric nonlinear spring and geometric nonlinear damper

1 斜置式慣容隔振器動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

斜置式慣容隔振器如圖2所示，圖中的彈簧變形調(diào)節(jié)裝置使承載質(zhì)量m在靜態(tài)平衡位置處平衡，且使慣容器處于水平位置，這種結(jié)構(gòu)能適應(yīng)承載質(zhì)量m的質(zhì)量變化。彈簧剛度為k；慣容器慣質(zhì)系數(shù)為b；設(shè)系統(tǒng)阻尼為線粘性阻尼，阻尼系數(shù)為c；慣容器的長(zhǎng)度為l；x為承載質(zhì)量m從靜態(tài)平衡位置開(kāi)始時(shí)的位移；外界激勵(lì)為簡(jiǎn)諧力激勵(lì)f=fecos(ωt)。

圖2 斜置式慣容隔振器Fig.2 Inclined inerter-based vibration isolator

慣容器在承載質(zhì)量m的運(yùn)動(dòng)方向即垂直方向上的力為

(1)

運(yùn)用式(1)，斜置式慣容隔振器在簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

式(2)表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)。將式(2)無(wú)量綱化，可得

(3a)

(3b)

式(3a)表示對(duì)參數(shù)T求導(dǎo)，xs為斜置式慣容隔振器的靜態(tài)位移；注意到mg=kxs；激勵(lì)力幅值fe也可用承載重量無(wú)量綱化，即Fe=fe/(mg)。

將式(1)無(wú)量綱化，可得

(4)

則慣容器在承載質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方向上的無(wú)量綱力Fb隨著慣質(zhì)比δ的增加而增大，隨著長(zhǎng)度比L的增加而減小。定義力Fb中的非線性項(xiàng)

(5)

當(dāng)系統(tǒng)位移量X較小時(shí)，可將式(5)在X=0處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)以近似處理，可得

(6)

H(X)的精確表達(dá)式與近似表達(dá)式對(duì)比曲線如圖3所示。當(dāng)系統(tǒng)位移量較小時(shí)，H(X)的精確表達(dá)式與近似表達(dá)式誤差較小，表明運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式來(lái)近似處理H(X)是有效可行的，很明顯高階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式能更好地模擬精確表達(dá)式，且隨著長(zhǎng)度比的增加，泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式能很好模擬精確表達(dá)式的位移范圍增大。當(dāng)系統(tǒng)位移量增加時(shí)，H(X)的精確表達(dá)式與近似表達(dá)式的誤差逐漸增大，當(dāng)系統(tǒng)位移量增加到一定值時(shí)，H(X)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式會(huì)小于0，而實(shí)際H(X)的精確表達(dá)式是一個(gè)正值，此時(shí)表明泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式不能再用來(lái)模擬精確表達(dá)式。

本文考慮較小的系統(tǒng)位移量，H(X)用四階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式來(lái)近似處理，則式(3a)可表示為

(7)

圖3 H(X)精確表達(dá)式與近似表達(dá)式對(duì)比曲線Fig.3 Comparison between exact and approximate expressions of H(X)

運(yùn)用諧波平衡法求解式(7)，假設(shè)解的形式如X=Xmcos(ΩT+Φ)，忽略高次諧波項(xiàng)的影響，可得斜置式慣容隔振器的幅頻及相頻特性關(guān)系

(8a)

(8b)

(8c)

當(dāng)激勵(lì)力幅值Fe取不同值時(shí)，斜置式慣容隔振器幅頻及相頻特性曲線如圖4所示。隨著激勵(lì)力幅值的增加，系統(tǒng)幅頻特性曲線有四種不同的形式：線性、軟特性、漸軟漸硬特性和硬特性。當(dāng)激勵(lì)力幅值比較小時(shí)，系統(tǒng)幅頻特性曲線與線性簡(jiǎn)諧激勵(lì)系統(tǒng)類似，為線性特性曲線，即對(duì)于每一個(gè)激勵(lì)頻率Ω有唯一對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)位移Xm；當(dāng)激勵(lì)力幅值增加時(shí)，系統(tǒng)幅頻特性曲線向左側(cè)彎曲，表現(xiàn)出軟特性，與軟達(dá)芬系統(tǒng)類似，當(dāng)激勵(lì)頻率從低頻向高頻掃頻或從高頻向低頻掃頻時(shí)，會(huì)發(fā)生一次跳躍現(xiàn)象；當(dāng)激勵(lì)力幅值繼續(xù)增加時(shí)，系統(tǒng)幅頻特性曲線先向左側(cè)彎曲，表現(xiàn)出軟特性，再向右側(cè)彎曲，表現(xiàn)出硬特性，當(dāng)對(duì)激勵(lì)頻率進(jìn)行掃頻時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生兩次跳躍現(xiàn)象；當(dāng)激勵(lì)力幅值增加到較大值時(shí)，系統(tǒng)幅頻特性曲線向右側(cè)彎曲，表現(xiàn)出硬特性，與硬達(dá)芬系統(tǒng)類似，當(dāng)對(duì)激勵(lì)頻率進(jìn)行掃頻時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生一次跳躍現(xiàn)象。

需要注意的是圖4所示的斜置式慣容隔振器幅頻特性曲線是根據(jù)式(7)得到的，與式(3a)代表的原始的振動(dòng)系統(tǒng)不同，式(7)代表的是用四階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式近似處理的振動(dòng)系統(tǒng)。從圖4中可看出，當(dāng)激勵(lì)力幅值取值較大時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)位移較大，而當(dāng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)位移增加時(shí)，H(X)的精確表達(dá)式與近似表達(dá)式的誤差逐漸增大，H(X)的近似表達(dá)式很難用來(lái)模擬其精確表達(dá)式，表明圖4所示的激勵(lì)力幅值較大下的近似振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線可能不能代表原始振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線。因此需要驗(yàn)證式(7)代表的近似振動(dòng)系統(tǒng)的有效性以及運(yùn)用諧波平衡法求得的解析解的精確性。

曲線1-Fe=0.01；曲線2-Fe=0.05；曲線3-Fe=0.1；曲線4-Fe=0.15；曲線5-Fe=0.2；曲線6-Fe=0.4

系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的解析解與數(shù)值解對(duì)比如圖5所示，數(shù)值1和數(shù)值2通過(guò)四階定步長(zhǎng)的龍格庫(kù)塔法對(duì)近似振動(dòng)系統(tǒng)(式(7))和原始振動(dòng)系統(tǒng)(式(3a))進(jìn)行數(shù)值積分求解得到。

圖5 斜置式慣容隔振器動(dòng)態(tài)響應(yīng)解析解與數(shù)值解對(duì)比(δ=2，L=2，ζ=0.05)Fig.5 Comparison between analytical results and numerical results of the dynamic response for the inclined inerter-based vibration isolator with δ=2, L=2 and ζ=0.05

從圖5(a)～圖5(c)中可看出，當(dāng)激勵(lì)力幅值較小時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)位移相對(duì)較小，從圖3(c)中可看出，在這個(gè)動(dòng)態(tài)位移范圍內(nèi)，H(X)的精確表達(dá)式與近似表達(dá)式的誤差較小。在整個(gè)頻帶內(nèi)，兩種數(shù)值解比較一致，表明式(7)代表的近似振動(dòng)系統(tǒng)是有效可行的；兩種數(shù)值解與解析解也比較一致，說(shuō)明運(yùn)用諧波平衡法求解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)也是可行的。

從圖5(d)～圖5(f)中可看出，當(dāng)激勵(lì)力幅值較大時(shí)，系統(tǒng)在共振頻帶內(nèi)的動(dòng)態(tài)位移相對(duì)較大，從圖3(c)中可看出，在這個(gè)動(dòng)態(tài)位移范圍內(nèi)，H(X)的精確表達(dá)式與近似表達(dá)式的誤差較大。在共振頻帶內(nèi)，兩種數(shù)值解以及數(shù)值解與解析解的誤差都較大，表明式(7)代表的近似振動(dòng)系統(tǒng)不能再精確模擬原始振動(dòng)系統(tǒng)，運(yùn)用諧波平衡法求得的動(dòng)態(tài)響應(yīng)精確性也有所下降。當(dāng)激勵(lì)力幅值較大時(shí)，近似振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線會(huì)呈現(xiàn)軟特性，漸軟漸硬特性和硬特性，而用數(shù)值解求得的原始振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線呈現(xiàn)軟特性，進(jìn)一步表明了激勵(lì)力幅值較大下的近似振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線不能代表原始振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線，因此本文在分析斜置式慣容隔振器的隔振性能時(shí)只考慮激勵(lì)力幅值較小時(shí)的情況。

2 斜置式慣容隔振器隔振性能分析

斜置式慣容隔振器的隔振性能用動(dòng)態(tài)位移峰值XmP，傳遞率峰值TFP和隔振頻帶Ωi這三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)。將系統(tǒng)的幅頻特性方程式(8b)寫(xiě)成關(guān)于頻率的方程

P2Ω4+P1Ω2+P0=0

(9a)

(9b)

則可得

(10)

(11)

通過(guò)數(shù)值求解可求得動(dòng)態(tài)位移峰值，將動(dòng)態(tài)位移峰值代入式(10)可確定其所對(duì)應(yīng)的頻率，斜置式慣容隔振器的動(dòng)態(tài)位移峰值在圖4中用圓圈表示。可以證明動(dòng)態(tài)位移峰值隨著激勵(lì)力幅值的增加而增大，隨著阻尼比的增加而減小，本文不再詳細(xì)論述，只討論慣質(zhì)比和長(zhǎng)度比對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)位移峰值的影響。

斜置式慣容隔振器的隔振性能需與線性隔振器進(jìn)行比較。簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下線性隔振器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為

(12)

將式(12)對(duì)頻率進(jìn)行求導(dǎo)，可確定動(dòng)態(tài)位移峰值以及其所對(duì)應(yīng)的頻率

(13)

當(dāng)慣質(zhì)比取不同值時(shí)，斜置式慣容隔振器動(dòng)態(tài)位移峰值隨長(zhǎng)度比變化趨勢(shì)如圖6所示，并與線性隔振器的動(dòng)態(tài)位移峰值進(jìn)行對(duì)比分析。鑒于慣容器的實(shí)際長(zhǎng)度，長(zhǎng)度比的取值范圍為1～5，較小的長(zhǎng)度比不符合實(shí)際工程情況。斜置式慣容隔振器的動(dòng)態(tài)位移峰值隨著慣質(zhì)比的增加而增大；在選擇的長(zhǎng)度比范圍內(nèi)，當(dāng)慣質(zhì)比較小時(shí)，動(dòng)態(tài)位移峰值隨著長(zhǎng)度比的增加而減小，而當(dāng)慣質(zhì)比較大時(shí)，動(dòng)態(tài)位移峰值隨著長(zhǎng)度比的增加先增大后減??；當(dāng)長(zhǎng)度比較大時(shí)，動(dòng)態(tài)位移峰值接近線性隔振器的動(dòng)態(tài)位移峰值。與線性隔振器相比，斜置式慣容隔振器的動(dòng)態(tài)位移峰值較大。

圖6 不同慣質(zhì)比下，斜置式慣容隔振器動(dòng)態(tài)位移峰值隨長(zhǎng)度比變化趨勢(shì)(ζ=0.05，F(xiàn)e=0.05)Fig.6 Peak dynamic displacement of the inclined inerter-based vibration isolator for different length ratio under different inertance-to-mass ratio with ζ=0.05 and Fe=0.05

經(jīng)斜置式慣容隔振器傳遞到基礎(chǔ)的無(wú)量綱力為

(14)

則斜置式慣容隔振器的力傳遞率為

TFN=

(15)

運(yùn)用式(8b)，式(15)也可寫(xiě)為

TFN=

(16)

將動(dòng)態(tài)位移峰值以及其所對(duì)應(yīng)的頻率代入式(16)，可確定斜置式慣容隔振器的力傳遞率峰值，隔振頻帶也可通過(guò)式(16)確定。

簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下線性隔振器的力傳遞率為

(17)

將式(17)對(duì)頻率進(jìn)行求導(dǎo)，可確定力傳遞率峰值以及其所對(duì)應(yīng)的頻率

(18)

不同激勵(lì)力幅值下，斜置式慣容隔振器力傳遞率，力傳遞率峰值及隔振頻帶如圖7所示。在所考慮的較小的激勵(lì)力幅值范圍內(nèi)，當(dāng)激勵(lì)力幅值增加時(shí)，力傳遞率峰值減小，隔振頻帶變寬。

(a) 力傳遞率(b) 力傳遞率峰值

圖7 不同激勵(lì)力幅值下，斜置式慣容隔振器力傳遞率，力傳遞率峰值及隔振頻帶(δ=2，L=2，ζ=0.05)Fig.7 Force transmissibility, peak force transmissibility and isolation frequency band of the inclined inerter-based vibration isolator for different force amplitude with δ=2, L=2 and ζ=0.05

不同慣質(zhì)比及長(zhǎng)度比下，斜置式慣容隔振器力傳遞率如圖8所示。當(dāng)慣質(zhì)比取不同值時(shí)，斜置式慣容隔振器力傳遞率峰值及隔振頻帶隨長(zhǎng)度比變化趨勢(shì)如圖9所示。當(dāng)慣質(zhì)比增加時(shí)，斜置式慣容隔振器力傳遞率峰值逐漸減小，隔振頻帶逐漸變寬；而當(dāng)長(zhǎng)度比增加時(shí)，力傳遞率峰值逐漸增大，隔振頻帶逐漸變窄。

當(dāng)激勵(lì)頻率趨于無(wú)窮時(shí)，斜置式慣容隔振器的力傳遞率趨于0，與線性隔振器類似。當(dāng)與線性隔振器相比時(shí)，斜置式慣容隔振器的力傳遞率峰值較小，隔振頻帶較寬。

圖8 不同慣質(zhì)比及長(zhǎng)度比下，斜置式慣容隔振器力傳遞率(ζ=0.05，F(xiàn)e=0.05)Fig.8 Force transmissibility of the inclined inerter-based vibration isolator for different inertance-to-mass ratio and length ratio with ζ=0.05 and Fe=0.05

圖9 不同慣質(zhì)比下，斜置式慣容隔振器力傳遞率峰值及隔振頻帶隨長(zhǎng)度比變化趨勢(shì)(ζ=0.05，F(xiàn)e=0.05)Fig.9 Peak force transmissibility and isolation frequency band of the inclined inerter-based vibration isolator for different length ratio under different inertance-to-mass ratio with ζ=0.05 and Fe=0.05

3 結(jié) 論

(1) 斜置式慣容隔振器采用了幾何非線性慣容器裝置，表現(xiàn)在慣容器在承載質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方向上的力是非線性的以及動(dòng)力學(xué)方程中的加速度項(xiàng)是非線性的。

(2) 用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式來(lái)近似模擬斜置式慣容隔振器在承載質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方向上的力，用諧波平衡法求得近似振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，解析解與數(shù)值解的對(duì)比分析表明激勵(lì)力幅值較小下的近似振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能代表原始振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，用諧波平衡法求解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是可行的。

(3) 當(dāng)激勵(lì)力幅值較小時(shí)，與線性隔振器相比，斜置式慣容隔振器的力傳遞率峰值較小，隔振頻帶較寬，高頻傳遞特性類似，而動(dòng)態(tài)位移峰值較大。