人群激勵下人行橋非線性橫向參數(shù)振動研究

陳 舟, 顏全勝, 鄧德員, 陳玉驥, 賈布裕, 余曉琳

(1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 交通與土木建筑學(xué)院，廣東 佛山 528000；2.三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院,湖北 宜昌 443002；3.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣州 510640；4.中建鋼構(gòu)有限公司，廣州 510000)

為了達(dá)到造型優(yōu)美的目的，人行橋的跨度越來越大，結(jié)構(gòu)亦日漸輕柔，如倫敦千禧橋的主跨達(dá)到144 m，四川綿陽橋S型人行橋主跨達(dá)到200 m，人行橋發(fā)生大幅振動甚至災(zāi)害的現(xiàn)象時有發(fā)生，且往往會出現(xiàn)非線性振動特性。因此有必要對此現(xiàn)象進(jìn)行研究，目前人行橋的振動主要集中在線性振動[1-3]，對非線性振動的研究較少，Nakamura等[4]考慮行人在大幅搖擺情況下停止或者放慢步伐的情況，基于人—橋相互作用，提出了模態(tài)共振激勵力非線性變化，袁旭斌[5]考慮同步人群的自激作用與未同步的人群的強(qiáng)迫振動，假定同步概率與振幅成非線性關(guān)系，建立了人致振動的非線性模型。Blekherman[6]將倫敦千禧橋考慮成雙線擺， 研究了其內(nèi)共振現(xiàn)象。上述人致橋梁振動的研究中沒有考慮幾何非線性因素。

眾多學(xué)者基于強(qiáng)迫振動研究了人致橋梁、樓蓋的振動[7-10]，如：宋志剛與葉歡基于社會力模型研究了人行橋側(cè)向振動的臨界人數(shù)，宋志剛與張堯基于社會力模型和行人與橋梁側(cè)向相互作用機(jī)理研究了人行橋的動力響應(yīng)放大系數(shù)。王益鶴等[11]結(jié)合結(jié)構(gòu)動力學(xué)、生物力學(xué)提出新型雙足模型，基于能量原理研究了人群行走下梁的振動響應(yīng)。

由于大跨異型的人行橋的固有頻率較低，而行人步頻的橫向一階分量的范圍為0.8～1.2 Hz，強(qiáng)迫振動不能夠解釋基頻低于此范圍的人行橋出現(xiàn)大幅振動的現(xiàn)象，而在參數(shù)振動中，當(dāng)激勵頻率為結(jié)構(gòu)基頻的倍數(shù)時，可激起結(jié)構(gòu)的大幅振動。李鳳明等[12]針對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動主動控制采用壓電材料，研究了參數(shù)激勵下非線性壓電梁的振動穩(wěn)定性及幅頻曲線特性。但是，目前關(guān)于行人作用下人行橋的非線性參數(shù)振動的研究未見報道。

本文針對低頻人行橋的一階橫向大幅振動，基于已測數(shù)據(jù)，對動載系數(shù)與速度的關(guān)系進(jìn)行擬合，建立了基于力與速度之間關(guān)系的非線性橫向參數(shù)振動模型，以倫敦千禧橋?yàn)槔?，用Galerkin方法和多尺度法，對人致人行橋參數(shù)振動引起的大幅橫向振動進(jìn)行了理論研究和數(shù)值分析。

1 動力方程

對于梁結(jié)構(gòu)，取距離梁端x處的微段，假設(shè)橫截面變形前后都垂直于梁的軸線，本文考慮人行橋上分布的行人對橋梁自重的影響，運(yùn)用彈性力學(xué)對圖1中的簡支梁進(jìn)行受力分析，引入基本假設(shè)，變形前垂直于梁軸線的橫截面在變形后垂直于變形的軸線，因此，該點(diǎn)的縱向位移

(1)

則該點(diǎn)的正應(yīng)變

(2)

所以，在線彈性范圍內(nèi)，梁在橫截面上的正應(yīng)力

σ(x,z,t)=Eε(x,z,t)

(3)

忽略梁的橫向運(yùn)動對縱向運(yùn)動的影響和梁的縱向慣性，根據(jù)位移法得到距離左端x處一微段質(zhì)心橫向運(yùn)動的平衡方程為

(4)

式中:u(x,t)為縱向位移;w(x,t)為橫向位移;ρs為人行橋的主梁單位長度的質(zhì)量;mp為橋上每延米行人質(zhì)量;μ為縱橫向阻尼系數(shù);fl為橫向單位長度上行人作用力。式(4)是考慮人行橋的幾何非線性效應(yīng)后橫向參數(shù)振動方程。

圖1 縱橫向作用下梁的受力圖Fig.1 Force diagram of beam under lateral excitation

根據(jù)Dallard等[13-14]針對倫敦千禧橋的試驗(yàn)所測得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到動載系數(shù)與速度的關(guān)系如圖2，由圖2可以看出動載系數(shù)與速度成線性關(guān)系，同時由于行人的橫向運(yùn)動為諧波運(yùn)動，因此

(5)

圖2 動載系數(shù)與速度的關(guān)系Fig.2 Relationship between dynamic load coefficient and velocity

由于倫敦千禧橋的現(xiàn)場試驗(yàn)表明：當(dāng)行人數(shù)量增加到一定程度時，不僅激發(fā)了二階頻率的振動，同時也激發(fā)了0.48 Hz的一階頻率橫向振動失穩(wěn)，且一階模態(tài)的響應(yīng)起主要作用，而以往的強(qiáng)迫振動模型都不能解釋千禧橋一階橫向振動這一現(xiàn)象，本文為了解釋千禧橋一階模態(tài)出現(xiàn)大幅橫向振動的現(xiàn)象，因此只考慮一階模態(tài)，設(shè)其一階振型函數(shù)為φ(x)=sin(πx/L)，方程的解可以寫為

(6)

式中：q(t)為第1階振型的廣義坐標(biāo)，將式(5)、式(6)代入式(1)，利用Galerkin方法將其離散，得到考慮人群對橋梁質(zhì)量影響的單模態(tài)的振動微分方程式(7)

β1cos(ωpt)q(t)+β2q3(t)-F0cos(ωpt)=0

(7)

2 多尺度攝動分析

用多尺度[15]法對式(7)進(jìn)行求解，由于行人激勵頻率不在ω0附近，因此對阻尼項(xiàng)、參數(shù)激勵項(xiàng)及非線性項(xiàng)引入無量綱小參數(shù)，那么式(7)可以改寫為

εβ1cos(ωpt)q(t)+εβ2q3(t)-εF0cos(ωpt)=0

(8)

式(8)的一次近似解

q(t)=u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)

(9)

將式(9)代入式(8)，令方程兩邊小參數(shù)ε的系數(shù)相等，可以得到以下線性偏微分方程

(10)

(11)

設(shè)式(10)的解為

(12)

把式(12)代入式(11)得到

(13)

式中:cc為前面表達(dá)式的共軛復(fù)數(shù)，由式(13)可知：當(dāng)ωp≈2ω0系統(tǒng)存在參數(shù)共振，ωp≈ω0系統(tǒng)是強(qiáng)迫振動，下面就ωp≈2ω0進(jìn)行參數(shù)振動分析。引入新的激勵頻率調(diào)諧參數(shù)ωp=2ω0+εσ，將其代入式(13)可以得到消除永年項(xiàng)的條件

(14)

令A(yù)(T1)=a1(T1)/2ejγ1(T1)，將其代入式(14),比較其實(shí)部和虛部，并令φ1=σT1-2γ1，得到

(15)

(16)

令D1a1=0，D1φ1=0得到：平凡解為a1=0，非平凡解可以從幅頻方程式(15)、式(16)中得到

(17)

為了研究式(17)在非平凡解的穩(wěn)定性，令

an=an0+Δa，φn=φn0+Δφ

(18)

式中：Δa,Δφ微小撓動量。將式(18)代入式(15)、式(16)進(jìn)行線性化處理得到

(19)

(20)

考慮式(19)、式(20)，消除sinφn0,cosφn0得到特征方程

λ2+ν1λ+χ1=0

(21)

由于ν1=ζ1>0,所以，χ1>0時，非平凡解是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。

3 算例分析

以倫敦千禧橋中跨橋?yàn)槔M(jìn)行人行橋橫向非線性參數(shù)振動分析，計(jì)算時所取的參數(shù)：人行橋單位長度的質(zhì)量ms=2 000 kg/m，單個行人的平均質(zhì)量mps=70 kg，根據(jù)《法國指南》的研究結(jié)果[16],等效同步系數(shù)λ=0.3，αl0=0.04,αlv=0.7, 縱向動載系數(shù)αh1=0.04,基頻fs0=0.48 Hz，跨徑L=144 m，其等效抗彎剛度EI=8.038 3×1010N·m2，等效截面面積A=0.254 8 m2，等效抗壓剛度EA=5.350 3×1010N·m2，阻尼比分別取0.005,0.007.0.010,0.015,0.020,0.030。

3.1 確定臨界條件

(22)

(23)

根據(jù)式(23)畫出ζ2的臨界值與人群行走頻率的關(guān)系圖，如圖3所示。

圖3 不同阻尼比時ζ2lin的一階近似曲線Fig.3 First approximate curve of ζ2lin in different damping ratios

圖3給出了一階近似解在不同阻尼比時，臨界曲線隨激勵頻率變化的趨勢，由圖3可知：在εσ=0時，ζ2取得最小值，且εσ較小的變化即可引起ζ2較大的變化。當(dāng)在εσ=0附近時，阻尼比的影響較大，阻尼比越大ζ2的值越大，當(dāng)εσ遠(yuǎn)離0時，阻尼比的影響漸漸減小，且阻尼比越大，ζ2的臨界值越大，在臨界曲線以下為穩(wěn)定區(qū)域。因此，參數(shù)共振解的物理意義是：只有當(dāng)行人的步頻接近人行橋的頻率的2倍時，才可能激發(fā)出共振，使人行橋出現(xiàn)大幅橫向振動。

3.2 確定臨界人數(shù)

人群在千禧橋上行走滿足穩(wěn)定的條件是

ζ2≤ζ2lim

(24)

假定橋上的行人是均勻分布的，與橋量的質(zhì)量分布規(guī)律基本相同，且有

mpL=Nmps

(25)

式中:N為橋上的人數(shù)，人群對人行橋的阻尼的影響忽略不計(jì)。

由式(23)～式(25)可以得到

(26)

從表1可以看出：雖然本文的動載系數(shù)與速度之間的關(guān)系是千禧橋現(xiàn)場實(shí)測得到的，但本文的方法較Dallard方法預(yù)測更加準(zhǔn)確，可對不同人行橋的臨界人數(shù)進(jìn)行預(yù)測，且計(jì)算簡單方便。

表1 不同人行橋臨界人數(shù)對比Tab.1 Comparison of critical numbers of different footbridges

在人群行走頻率接近0.96 Hz較小范圍內(nèi)，千禧橋會發(fā)生嚴(yán)重的參數(shù)振動和強(qiáng)迫振動?？紤]非線性振動時，當(dāng)振動達(dá)到一定時間，幅值達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，參數(shù)振動為等周期振動，而在線性振動中，參數(shù)振動不再是等周期振動。最大位移為37 mm，最大速度為0.11 m/s，最大加速度為0.33 m/s2。其中速度計(jì)算值與試驗(yàn)值相接近，試驗(yàn)測試的最大速度為0.135 m/s，計(jì)算的位移和加速度幅值分別為12 mm,0.1 m/s2，二者處于同一量值，說明模型具有一定的可信度。

3.4 單位時間內(nèi)上橋人數(shù)的影響

由于人群上橋受到行走目的、地域以及時間的影響，在單位時間內(nèi)上橋的人數(shù)可能不同，而不同的人流量可能會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不同的動力響應(yīng)，本文考慮總數(shù)為250人，每400 s上橋的行人數(shù)分別為30人,50人,70人,90人,110人時，計(jì)算倫敦千禧橋參數(shù)共振時橫向動力響應(yīng)幅值。

從圖4可知：隨著單位時間內(nèi)上橋人數(shù)增加，倫敦千禧橋的動力響應(yīng)幅值減小，這是由于單位時間內(nèi)上橋人數(shù)越少，行人在橋上的時間越長，因此越容易引起參數(shù)共振，當(dāng)達(dá)到每隔400 s上橋50人，結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)幅值變化不大。

圖4 橫向響應(yīng)幅值與上橋人數(shù)的關(guān)系曲線圖(εσ=0)Fig.4 Graph of relation between lateral response amplitude and the crowd on the footbridge(εσ=0)

3.5 橋梁單位長度質(zhì)量對橫向振動的影響

圖5以橋上200人為例，研究了橫向響應(yīng)幅值與橋梁單位長度的質(zhì)量的關(guān)系。當(dāng)結(jié)構(gòu)的單位長度的質(zhì)量增大時，結(jié)構(gòu)的橫向振動響應(yīng)幅值減小，從圖5可知：質(zhì)量較輕的結(jié)構(gòu)，容易引起參數(shù)共振，使結(jié)構(gòu)的橫向響應(yīng)大幅增加。當(dāng)結(jié)構(gòu)單位長度質(zhì)量大于2.2 t，200人在橋上同時行走時不能激起參數(shù)振動，單位長度的質(zhì)量對結(jié)構(gòu)側(cè)向振動響應(yīng)幅值影響不大。

圖5 橫向響應(yīng)幅值與橋梁單位長度質(zhì)量的關(guān)系曲線圖(εσ=0)Fig.5 Graph of relation between lateral response amplitude and mass per unit length of bridge (εσ=0)

橋梁單位長度的質(zhì)量對千禧橋的影響不同于日本的T橋，因?yàn)榍ъ麡虻恼駝又饕菂?shù)振動引起，而日本T橋則是強(qiáng)迫振動引起的共振。因此提高千禧橋的單位長度的質(zhì)量可以有效避免參數(shù)振動。

3.6 橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比對橫向振動的影響

圖6以橋上200人為例，計(jì)算在結(jié)構(gòu)不同阻尼比，千禧橋發(fā)生參數(shù)共振時的橫向位移幅值的變化情況。由圖6可知：當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比較高時，千禧橋的橫向振動響應(yīng)較??；當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼比較低時，千禧橋發(fā)生了參數(shù)振動，振動響應(yīng)急劇增大，當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼比大于0.01，200人同時行走時不能激起參數(shù)振動，阻尼比對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)影響不大。

橋梁的阻尼比對千禧橋的影響不同于日本T橋，因?yàn)榍ъ麡虻恼駝又饕菂?shù)振動引起，而日本T橋則是強(qiáng)迫振動引起的共振。因此提高千禧橋的阻尼比可以有效避免參數(shù)振動。

圖6 橫向響應(yīng)幅值與橋梁阻尼比ζ1的關(guān)系曲線圖Fig.6 Graph of relation between lateral response amplitude and damping ratio of footbridge

圖7為千禧橋在不同阻尼比情況下，跨中位移響應(yīng)的時程曲線，該圖顯示出在經(jīng)過一段時間的參數(shù)共振后，由于幾何非線性的原因，千禧橋的橫向振動漸趨穩(wěn)定，阻尼對振幅的影響較大，阻尼越小，到達(dá)穩(wěn)定振動所需要的時間越短。

圖7 不同阻尼的橫向位移幅值時程圖(w0=0.001,v0=0.001)Fig.7 Lateral displacement amplitude time-histories graph in different damping(initial conditions：w0=0.001,v0=0.001)

4 結(jié) 論

本文考慮行人質(zhì)量對人行橋自重的影響，基于實(shí)測數(shù)據(jù)，建立了基于力與速度之間關(guān)系的非線性橫向參數(shù)振動模型，以倫敦千禧橋?yàn)槔?，對行人引起人行橋參?shù)振動作用下的大幅振動進(jìn)行了理論研究和數(shù)值分析，得到如下結(jié)論：

(1)該模型能夠較好地解釋千禧橋一階模態(tài)發(fā)生橫向大幅振動的原因。給出了千禧橋發(fā)生大幅橫向振動的臨界條件，臨界人數(shù)的理論計(jì)算值與實(shí)測值相接近，由于非線性的存在，響應(yīng)幅值并不是一直增大，這與實(shí)際情況相符，說明建立的理論模型是合理可靠的。

(2)臨界人數(shù)的理論計(jì)算值與現(xiàn)有研究成果進(jìn)行比較，表明本文方法可用于不同人行橋的臨界人數(shù)進(jìn)行預(yù)測，且計(jì)算簡單方便，說明建立的模型是合理的、正確的；行走頻率越接近2倍固有頻率能夠激起大幅振動所需要的行人數(shù)越少，只要輕微的激勵，人行橋也會發(fā)生大幅振動；考慮非線性振動時，當(dāng)行人數(shù)超過臨界人數(shù)時，振動幅值趨于穩(wěn)定的等幅振動，而線性振動時發(fā)散振動的非等幅振動；

(3)隨著單位時間內(nèi)上橋人數(shù)增加，千禧橋的動力響應(yīng)幅值減??；當(dāng)結(jié)構(gòu)的單位長度質(zhì)量、阻尼比增大時，能夠有效避免千禧橋發(fā)生參數(shù)振動。