基于圖論方法的耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

柴文慧

(山西管理職業(yè)學院，山西 臨汾 041051)

引言

科學與工程設(shè)計應用中存在非常多的復雜網(wǎng)絡(luò)，環(huán)境噪聲的干擾是影響網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的重要因素，常見的噪聲包括電報噪聲、白噪聲等。用隨機微分方程描述的耦合系統(tǒng)來表示隨機環(huán)境下的加權(quán)復雜網(wǎng)絡(luò)，將其稱為網(wǎng)絡(luò)上的隨機耦合系統(tǒng)，分析噪聲和耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系，能夠進一步豐富復雜網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)理論，拓展隨機微分方程理論的應用范圍，同時有助于人們認識復雜網(wǎng)絡(luò)，為后續(xù)更加深入的理論研究提供支撐。

1 基本理論及概念

1.1 圖論概念

圖論概念是應用數(shù)學中非常重要的一部分，曾有多位數(shù)學家獨立建立過圖論方法。圖由頂點和邊組成，是表示物件與物件之間的關(guān)系的方法。在其他的術(shù)語中，圖也被稱作網(wǎng)絡(luò)，頂點被稱作結(jié)點，邊被稱作鏈接。圖的數(shù)學表示為：G=(V,E)，其中V表示的是頂點集合，E表示的是邊集，圖的一條邊連接兩個頂點，可以認為是頂點相連[1]。

無向圖：在G=(V,E)中，如果對于任意的頂點存在a,b∈V，當(a,b)∈E，必有(b,a)∈E。

有向圖：在G=(V,E)中，如果對于任意的結(jié)點存在a,b∈V，當(a,b)∈E，(b,a)∈E不一定成立，那么將其稱為有向圖。

圖1 圖的頂點、無向圖、有向圖

可以利用序列表示結(jié)點之間的路徑，路徑上邊的數(shù)目減去1即為路徑的長度，如果一條路徑除了其起點和終點相同外，其他的結(jié)點都是不同的，那么可以將其稱為簡單路徑。

1.2 預備知識

耦合振子在工程領(lǐng)域中占據(jù)非常重要的地位，是一種應用廣泛的耦合系統(tǒng)。在耦合系統(tǒng)應用過程中，隨處可見的噪聲干擾，可以利用圖論方法和隨機微分方程理論相結(jié)合的方式研究不同噪聲干擾時耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

引理1：假設(shè)存在n≥2，那么下式成立：

Tk表示的是圖G=(V,A)中以頂點為根生成樹狀結(jié)構(gòu)的集合，w(Γ)表示的是Γ的權(quán)重。

引理2：假設(shè)存在n≥2，那么下式成立：

上式中，F(xiàn)kh(xk,xh)表示的是任意的一個函數(shù)，表示的是圖G=(V，A)中所有單圈圖的集合，W(Q)表示的是權(quán)重，CQ是圖的有向圈。

2 基于圖論的帶時交延遲隨機耦合振子的穩(wěn)定性分析

在實際的網(wǎng)絡(luò)模型中，必須充分考慮網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)變量的變化率，所以此處重點分析中立型微分方程，它在金融市場分析、自動化控制、種群生態(tài)學等多個領(lǐng)域都有非常廣泛的應用[3]。在下列模型中，同時考慮中立型時滯和耦合時滯，用圖論分析方法和Lyapunov穩(wěn)定性理論相結(jié)合的方式討論耦合振子穩(wěn)定性[4]。

2.1 模型的建立

頂點系統(tǒng)的振子方程可以表示為式2-1：

(2-1)

四個振子共同構(gòu)成的耦合振子網(wǎng)絡(luò)可以表示為圖2：

圖2 耦合振子系統(tǒng)示意圖

假設(shè)耦合振子系統(tǒng)中共有n個振子，可以用式2-2表示耦合振子：

(2-2)

此處考慮到振子的時變延遲，轉(zhuǎn)變后的中立型耦合振子網(wǎng)絡(luò)可以表示為式2-3：

(2-3)

(2-4)

令yk(t)=dxk(t)/dt+ηxk(t),η>0，式(2-4)可以進一步改寫為：

(2-5)

為了簡化式子2-5，特設(shè)定：

Xk(t)=(xk(t),yk(t))T

Φk(Xk(t-ωk(t)))=(0,φk(xk(t-ωk(t))))T

Fk(Xk(t))=(yk(t)-ηxk(t)),((-η2-1+ηfk(xk(t))xk(t)+(η-fk(xk(t)))yk(t))T

Gk(Xk(t),Xk(t-ωk(t)))=(0,gk(xk(t)),xk((t-ωk(t))))T

式子2-5可以簡化的表示成為式2-6：

d[Xk(t)-Φk(Xk(t-ωk(t)))]

(2-6)

2.2 Lyapunov-型穩(wěn)定性定理

結(jié)合圖論與Lyapunov穩(wěn)定性理論[5,6]，對式(2-6)中的矩指數(shù)穩(wěn)定性進行研究。首先做出如下假設(shè)：

假設(shè)1：時變延遲τk(t)和ωk(t)(1≤k≤n)滿足下列各項條件

假設(shè)2：φk(0)=0，并且存在一個常數(shù)K，K∈(0,1)，滿足

|φk(x)-φk(y)|≤K|x-y|,x,y∈，1≤k≤n

(2-7)

耦合系統(tǒng)(2-6)的初值條件可以表示為下式：

(2-8)

由文獻[7,8]可知：假設(shè)Φk,Fk,Gk,Hkh滿足固定的條件，那么耦合系統(tǒng)(2-6)的初值問題存在唯一的解。

那么，可以認為耦合系統(tǒng)(2-6)的平凡解是滿足p階矩指數(shù)穩(wěn)定條件的。

假設(shè)(CI)對于任意的值k,h(1≤k,h≤n)，存在常數(shù)μk,ξk,αk,βk,γhk,p≥2存在函數(shù)

μk|Xk|p≤Vk(Xk)≤ξk|Xk|p

(2-9)

(2-10)

(2-11)

(2-12)

E‖φ‖p≤b0,a.s.

對于所有大于b0的整數(shù)b，σb=inf(t≥0:|X(t)≥b|)。

由此可以推導出：

(2-13)

(2-14)

令b,σb→∞，那么可以推導出：

+2p-1Kpeδωeδ(t-ω(t))E[|X(t-ω(t))|p]

(2-15)

所以，對于任意存在的T>0，下列式子成立：

T→+∞，那么由此可以推導得出：

所以：

也就是說，式(2-6)的平方解為p階矩指數(shù)穩(wěn)定的。證畢。

3 總結(jié)

利用圖論方法分析時變延遲中立類型隨機耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先用有向圖描述模型，在建立模型時考慮時滯和噪聲干擾，然后利用圖論方法，Lyapunov和穩(wěn)定性定理相結(jié)合，得出耦合系統(tǒng)具有矩指數(shù)穩(wěn)定性，并給出一個數(shù)值算例，驗證系統(tǒng)穩(wěn)定性。