一類非線性時滯系統(tǒng)的狀態(tài)反饋跟蹤控制

關(guān)涌濤，賈永鋒

(1.安陽師范學(xué)院 軟件學(xué)院，河南 安陽 455000；2.安陽市中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，河南 安陽 455000)

0 引言

控制系統(tǒng)中，時滯常表現(xiàn)為信號傳遞的延時等，這種不確定性會對整個控制系統(tǒng)的性能造成不利影響[1]。對線性系統(tǒng)控制，常常采用線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequalities, LMI)[2-3]來處理系統(tǒng)中的時滯，但這種方法難以應(yīng)用到非線性系統(tǒng)中來。近年來，非線性系統(tǒng)時滯問題的處理常借助構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函處理，并取得了一些重要的成果[4-9]。

模糊邏輯系統(tǒng)也常常被應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的控制問題中[10-12]。初期，模糊邏輯控制(FLC)被發(fā)展為一種模型無關(guān)的控制器，盡管在許多工業(yè)應(yīng)用中獲得了巨大的成功，但由于缺乏嚴格的系統(tǒng)化的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計準則而受到很多質(zhì)疑。接著，模糊邏輯系統(tǒng)被證明為一種良好的非線性逼近器[10]，繼而也被越來越多的被應(yīng)用于基于模型的自適應(yīng)控制中，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制性能都可以得到嚴格的證明。與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(NN)相比，F(xiàn)LS由于可以建立IF-THEN規(guī)則而可以同時利用數(shù)值信息和專家信息，因而具有更快的收斂速度。文獻[11-13]針對未知非線性系統(tǒng)，利于FLS逼近其中的不確定項，并根據(jù)Lyapunov理論建立了穩(wěn)定的控制器。上述文獻雖然針對非線性時滯系統(tǒng)控制問題進行了研究，但就筆者所知，針對含有完全未知時滯的系統(tǒng)展開討論的結(jié)果并不多見。

本文研究了一類含有完全未知時滯的非線性系統(tǒng)的溫度控制問題。模糊逼近器處理含有未知時滯的非線性函數(shù)，放松了對非線性時滯函數(shù)的要求；利用參考信號代換未知時滯，避免了對未知時滯信號的微分，從而使控制器是不依賴于時滯的。此外，本文還對未知的Lipschitz常數(shù)采用了自適應(yīng)的方法處理。上述代換產(chǎn)生的辨識誤差和代換誤差則在自適應(yīng)Backstepping設(shè)計過程中采用自適應(yīng)邊界技術(shù)處理。

1 問題描述

考慮以下SISO非線性時滯系統(tǒng)

控制目標：設(shè)計無記憶自適應(yīng)模糊控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致最終有界，同時跟蹤誤差能夠收斂到原點附近的小鄰域內(nèi)，即

(2)

其中ω>0為一常數(shù)且可以為任意小。

假設(shè)1[14]：目標軌線yr(t)及其前n階導(dǎo)數(shù)已知，且在區(qū)間t∈(-∞,∞)上一致有界。

2 模糊辨識

考慮如下模糊推理規(guī)則

R(t):IFx1isF1land…andxnisFnlTHENyisGl

(3)

其中x=[x1,…,xn]T∈X=X1×…×Xn?Rn和y∈Y?R分別是模糊邏輯系統(tǒng)的輸入輸出，F(xiàn)il和Gl分別是定義在語言變量Xi和Y上的模糊子集，l=1,2,…,M指M條規(guī)則中的第l條。當上述規(guī)則表示的FLS采用單點模糊化、乘積運算的模糊蘊涵、重心法解模糊和高斯函數(shù)的隸屬函數(shù)時，可以表示為[5]

(4)

(5)

(6)

FLS滿足如下Lipschitz條件[11]，其中的l為Lipschitz常數(shù)：

|y(xl|θ)-y(x2|θ)|=|ξ(x1)Tθ-ξ(x2)Tθ|≤‖x1-x2‖l

(7)

不等式(7)在自適應(yīng)控制器的設(shè)計過程中起到了非常重要的作用。

引理1 (一致逼近定理)[10]：對于在緊集X?Rn中的任意實值連續(xù)函數(shù)f(x)和任意ε>0，存在一個由(5)定義的y(x|θ)，使得d∞(f,y)=supx∈X|f(x)-y(x|θ)|<ε。

根據(jù)引理1，在緊集Xi?R上，(1)式中的hi(y(t-τi))可由以下有qi條規(guī)則的FLS逼近

hi(y(t-τi))=ξi(y(t-τi))Tθi+εi(y(t-τi))

(8)

其中ξhi=[ξhi,1,…,ξhi,qi]T為(5)式定義的模糊基函數(shù)向量，θi∈Rqi的定義見式(5)，εi為逼近誤差。將上式(8)代入(1)式，得

其中

θ=[θ1T,…,θnT]T

εi=εi(y(t-τi))

假設(shè)2[10]：在緊集Xi?R,i=1,…,n上，模糊辨識誤差小于某一未知常數(shù)ψ1≥0：

|εi|≤ψ1

(10)

由于采用了模糊逼近，本文僅要求系統(tǒng)(1)中的非線性時滯函數(shù)連續(xù)，這樣便放松了文獻[8-9]對非線性時滯函數(shù)的要求。然而完全未知的時滯τi仍然存在于(9)式的矩陣函數(shù)φi中。眾所周知，在應(yīng)用Backstepping的思想對式(9)進行控制器的設(shè)計過程中，需要對φi求導(dǎo)，因此φi中的未知時滯便構(gòu)成了控制器設(shè)計的主要障礙。為了解決這個問題，本文采用時滯代換的方法處理未知時滯。將時滯信號y(t-τi)用yr(t)來代換，那么式(9)變成

其中，ei=[φi(y(t-τi))-φi(yr(t))]Tθ為時滯代換誤差。比較(1)和(9)式，(11)式中所用的技巧只是加減了一項φi(yr(t))Tθ，但正是這種技巧避免了對未知時滯信號的微分，從而可以使無記憶控制器的設(shè)計成為可能。

在得到(11)式之后，無記憶控制器設(shè)計的主要障礙轉(zhuǎn)化為對時滯代換誤差ei的處理。設(shè)pi=[φi(y(t-τi))-φi(yr(t-τi))]Tθ，ωi=[φi(yr(t-τi))-φi(yr(t))]Tθ，那么有ei=pi+ωi，這樣時滯代換誤差被分成兩項。根據(jù)(7)式，pi和ωi滿足下述不等式

對于上式(12)中的第二個不等式，根據(jù)假設(shè)1，可知|yr(t-τi)-yr(t)|有界，又因bi為常數(shù)，因此可得ωi有界。取Ψ2為大于或等于max{sup(|ω1|),…,sup(|ωn|)}的常數(shù)，則有

|ωi|≤Ψ2

結(jié)合上式，定義誤差vi=εi+ωi，并令Ψ=Ψ1+Ψ2，則有

|υi|=|εi+ωi|≤|εi|+|ωi|≤Ψ1+Ψ2=Ψ

(13)

這里需要說明的是，由于函數(shù)hi不滿足所示的Lipschitz條件，因此不能直接對其進行上面的時滯代換，因此需要先進行FLS逼近。不等式將在下式中用于處理誤差項。將yr(t)簡記為yr，系統(tǒng)可進一步寫為

雖然含有不確定的項υi和pi，(14)式已經(jīng)可以利用Backstepping思想進行控制器的設(shè)計。不定項υi和pi將在下一節(jié)基于Backstepping 思想設(shè)計控制器的過程中，利用自適應(yīng)邊界技術(shù)以及在穩(wěn)定性分析中通過構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函的方法予以消除。

3 自適應(yīng)控制器設(shè)計

首先定義系統(tǒng)誤差向量z=[z1,…,zn]T和坐標變換

其中αi-1為待選的穩(wěn)定化函數(shù)。

Step1：從(15)式，有

(16)

沿(14)式對z1求導(dǎo)，得

(17)

其中w1=φ1(x1),ζ1=υ1,P1=p1

選擇的第一個穩(wěn)定化函數(shù)是

(18)

Stepi(i= 2,…,n): 從(15)式，有

xi+1=zi+1+αi+yr(i)

(20)

i可以取n是因為，如果做以下定義，則最后一步i=n將包含在(20)式中[14]

αn=g(x)u-yr(n),zn+1=0

(21)

沿(14)式對zi求導(dǎo)，得

(22)

其中

調(diào)節(jié)函數(shù)選擇為

穩(wěn)定化函數(shù)選擇為

(24)

σj2=0

參數(shù)自適應(yīng)律選擇為

控制律u可根據(jù)(21)式計算如下，其中的an由(24)式確定

(26)

由于(24)式中的an已經(jīng)和輸出時滯y(t-τi)完全無關(guān)，因此(26)式表示的控制律u和輸出時滯y(t-τi)完全無關(guān)，因此本文得到的控制器(26)是完全不依賴于時滯的，即無記憶的。

4 主要結(jié)果

根據(jù)上文，可得閉環(huán)系統(tǒng)如下

(27)

利用|η|≤ηtanh(η/r)+κr，κ=0.2785中的辨識誤差ζi可以處理如下[6]

(28)

由式(12)可得

pi≤|y(t-τi)-yr(t-τi)|bi=|z1(t-τi)|bi

(29)

利用Young不等式(29)，(27)不等式中的時滯項pi可以處理如下

(30)

定理2：在假設(shè)1-2的條件下，系統(tǒng)(1)，控制律(26)和參數(shù)自適應(yīng)律(25)組成的閉環(huán)系統(tǒng)具有以下特點：

2) 跟蹤誤差滿足

(31)

證明：定義Lyapunov-Krasovskii泛函如下

V=V1+V2

(32)

其中，V1和V2的定義如下

對V1和V2求導(dǎo)，可得

-τj)+L+nψκr

(34)

(35)

2) 根據(jù)(34)式，有

由(36)式可以證明式(31)成立。從(31)式可以看出，通過調(diào)節(jié)設(shè)計參數(shù)r,l和ci，可以使跟蹤誤差能夠收斂到原點附近的一個任意小的鄰域內(nèi)。

5 仿真研究

考慮以下未知非線性時滯系統(tǒng)

(37)

其中，未知時滯τ1=5，τ2=2；控制器的設(shè)計目標是跟蹤參考信號(sin(t)+sin(0.5t))/2。在設(shè)計過程中，控制器中并不出現(xiàn)時滯項，因而與時滯τ1、τ2完全無關(guān)。

模糊集的語言值取為：正大(PB)，正小(PS)，零(ZO)，負小(NS)，負大(NB)。對h1、h2，可定義模糊隸屬函數(shù)為μNB=e-10(x+1)2，μNS=e-10(x+0.5)2，μZO=e-10x2，μPS=e-10(x-0.5)2，μPB=e-10(x-1)2，如圖1所示。

圖1 模糊隸屬度函數(shù)

圖2 系統(tǒng)輸出y,參考信號yr

圖3 控制輸入u

圖4 跟蹤誤差

參數(shù)自適應(yīng)律為

仿真結(jié)果如圖2-4，圖中可以看出所設(shè)計的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)很好的控制效果。

6 結(jié)論

本文解決了一類非線性時滯系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊跟蹤控制問題。模糊逼近器和時滯代換技巧的使用，使得所設(shè)計的控制器是不依賴于未知時滯的，這擴大了本文方法的應(yīng)用范圍，便于推廣。如何將本文算法推廣到輸出反饋的系統(tǒng)中，得到不依賴于時滯的自適應(yīng)輸出反饋跟蹤控制器，仍然是一個值得進一步研究的問題。