從聯(lián)系的角度看三角恒等變換

朱勝?gòu)?qiáng)

學(xué)習(xí)三角恒等變換這一章時(shí)，讓不少同學(xué)心生畏懼的可能要數(shù)眾多的三角公式了.學(xué)習(xí)公式需要記住公式、理解公式，更要能夠有效地應(yīng)用公式解決問(wèn)題，要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，一個(gè)有效的辦法是從聯(lián)系的角度來(lái)看待三角恒等變換公式.

一、公式網(wǎng)絡(luò)圖

本章所有公式都有一個(gè)共同的源頭，也就是兩角差的余弦公式：

該公式的證明有多種方法，但要數(shù)向量法來(lái)得最為簡(jiǎn)潔，為引入這一方法，教材的處理可謂下了大功夫，在原本有著緊密聯(lián)系的兩章“三角函數(shù)”與“三角恒等變換”之間，插入了“平面向量”一章，其目的正是為了發(fā)揮向量工具在證明三角恒等式中的作用.

從兩角差的余弦公式出發(fā)，可以推出兩角和的余弦、兩角和差的正弦、正切、倍角公式等，這些都是解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到的公式.當(dāng)然，也有一些公式如半角公式、萬(wàn)能代換公式、積化和差公式、和差化積公式等，也是十分重要的三角恒等變換公式，只是教材為了控制難度，對(duì)這些公式的應(yīng)用未作過(guò)多的要求，下面我們來(lái)看看各組公式間的聯(lián)系.把握了公式間的聯(lián)系，認(rèn)清每個(gè)公式的來(lái)龍去脈，也就不用擔(dān)心公式會(huì)忘了.

二、公式是建立聯(lián)系的工具

說(shuō)到三角恒等變換公式很容易想到繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題，這些當(dāng)然不是學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的重點(diǎn)所在，有了公式，便有了轉(zhuǎn)化的途徑，可以建立不同對(duì)象間的聯(lián)系，

以函數(shù)為例.我們知道，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，對(duì)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容起著統(tǒng)領(lǐng)作用.函數(shù)的學(xué)習(xí)并不因研究完幾個(gè)具體函數(shù)而結(jié)束，還會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)中不斷深化，事實(shí)上，三角恒等式也為我們提供了建立函數(shù)間聯(lián)系的機(jī)會(huì).

三、從差異背后找聯(lián)系

三角恒等變換公式——恒等，是指變化前后數(shù)量的本質(zhì)保持不變；變換，則是指變化前后的形式的改變.發(fā)生改變，也就是形式上有了差異.在用公式時(shí)，這種差異往往是建立聯(lián)系的出發(fā)點(diǎn)，是選用公式的依據(jù).

一般說(shuō)來(lái)，三角函數(shù)式恒等變形前后可能發(fā)生三種差異，一是角的差異；二是函數(shù)名的差異；三是運(yùn)算形式的差異，角的差異則是其中最主要的差異，當(dāng)角的差異消除了，所有三角函數(shù)都有同樣的角，只要運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式便可以完成接下來(lái)的變化.當(dāng)函數(shù)名的差異又消失了，消除最終的差異也就變得輕而易舉了，

當(dāng)函數(shù)名的差異清除了，運(yùn)算形式也很自然地變得一致了.

當(dāng)然，也可以從另一角度來(lái)思考，將x轉(zhuǎn)化為2x.這可以使我們體會(huì)到，差異之間，是由公式為紐帶聯(lián)系著的，每個(gè)公式在消除差異方面都有各自的功能特點(diǎn)，將這一點(diǎn)認(rèn)識(shí)清楚了，公式的運(yùn)用也就變得得心應(yīng)手，

公式就是建立聯(lián)系的工具，學(xué)習(xí)公式，深入理解公式，靈活應(yīng)用公式都離不開(kāi)聯(lián)系的觀點(diǎn).何止是三角恒等變換公式，其他公式不也同樣如此嗎？