Gronwall不等式的教學(xué)探討

章毛峰??

摘 要：Gronwall不等式是數(shù)學(xué)中的重要不等式之一，它在數(shù)學(xué)、控制理論等領(lǐng)域有很多應(yīng)用。為了幫助學(xué)生理解并應(yīng)用此不等式，本文給出三種條件變形的此不等式的簡(jiǎn)潔證明，并給出了應(yīng)用例子。

關(guān)鍵詞：Gronwall不等式；Lipschitz條件；BellmanGronwall不等式

一、 背景介紹

Gronwall不等式是英國(guó)數(shù)學(xué)家Gronwall于1919年提出的，Bellman進(jìn)行了推廣，之后很多學(xué)者對(duì)此不等式進(jìn)行研究。其各種形式的推廣，豐富了不等式內(nèi)容。Gronwall不等式在控制理論、常微分方程和積分方程性質(zhì)等領(lǐng)域有很多應(yīng)用。此不等式的證明極少見(jiàn)諸教材，而有些雖有證明，卻相當(dāng)粗糙、不嚴(yán)密。為了幫助學(xué)生理解Gronwall不等式，提高教學(xué)效果，本文將給出理論證明及應(yīng)用例子。

二、 定理1（Gronwall不等式）

設(shè)a是非負(fù)常數(shù)，u（·）和v（·）都是區(qū)間[t0，T]上的連續(xù)且非負(fù)函數(shù)，若有以下不等式成立u（t）≤a+∫tt0v（s）u（s）ds，t∈[t0，T]，

則u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。 （1）

證明：先令a>0，w（t）=a+∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，

則w（t）>0，w（t）≥u（t），w′（t）=v（t）u（t）≤w（t）v（t），

w′（t）w（t）≤v（t）， （2）

不等式兩邊積分得，則w（t）≤aexp∫tt0v（s）dsu（t）≤w（t）≤aexp∫tt0v（s）ds。

若a=0，可用ε>0代替a，則有不等式u（t）≤εexp∫tt0v（s）ds成立，于是我們可得u（t）≤0，（1）亦成立。證畢。

若定理1中的條件范圍擴(kuò)大，a為常數(shù)，u（·）和v（·）的取值區(qū)間改為[t0，+∞），u（·）非負(fù)這個(gè)條件也去掉，上述定理1是否仍成立？我們有以下定理2。由于條件的改變，定理1中證明過(guò)程中的（2）式不成立，上述證明方法不再適用，下面給出另一種證法。

三、 定理2（Gronwall不等式）

設(shè)a是常數(shù)，u（·）和v（·）都是區(qū)間[t0，+∞）上的實(shí)函數(shù)，v（t）≥0，且滿足不等式u（t）≤a+∫tt0v（s）u（s）ds，則以下不等式成立u（t）≤aexp∫tt0v（s）ds，t∈[t0，T]。

證明：令w（t）=a+∫tt0v（s）u（s）ds，t≥t0，

上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)得dw（t）dt=v（t）u（t）≤v（t）w（t），t≥t0，

則d[e-∫tt0v（s）dsw（t）]dt=e-∫tt0v（s）dsdw（t）dt-v（t）w（t）≤0。

兩邊從t0到t積分，并利用分部積分公式可得e-∫tt0v（s）dsw（t）-w（t0）≤0，

所以我們有u（t）≤w（t）≤ae∫tt0v（s）ds。證畢。

若定理1中的條件改變，常數(shù)a變?yōu)楹瘮?shù)，v（·）變?yōu)榉秦?fù)常數(shù)，結(jié)論是否仍成立？由于條件的改變，定理1的證明方法亦不再適用，下面給出另一種證法。

四、 定理3（BellmanGronwall不等式）

設(shè)f（·）是區(qū)間[a，b]上的非負(fù)可積函數(shù)，β為非負(fù)常數(shù)，且滿足不等式f（t）≤g（t）+β∫taf（s）ds，t∈[a，b]，則以下不等式成立f（t）≤g（t）+β∫tag（s）eβ（t-s）ds。

特別地，當(dāng)g（t）=C（C為常數(shù)），則f（t）≤Ceβ（t-a）。

證明：令z（t）=β∫taf（s）ds，則有z′（t）=βf（t）≤βg（t）+βz（t），整理得z′（t）-βz（t）≤βg（t），

則ddt[e-βtz（t）]=e-βt（z′（t）-βz（t））≤βg（t）e-βt，

不等式兩邊在區(qū)間[a，t]積分得e-βtz（t）≤β∫tag（s）e-βsds，

所以z（t）≤β∫tag（s）eβ（t-s）ds，

故f（t）≤g（t）+β∫tag（s）eβ（t-s）ds。證畢。

五、 Gronwall不等式的應(yīng)用

例（方程解的唯一性） 設(shè)α（t），ψ（t）是積分方程y=y0+∫xx0f（x，y）dx，x0≤x≤x0+h上的連續(xù)解，其中 f（x，y）滿足Lipschitz條件，L>0是Lipschitz常數(shù)，則α（t）=ψ（t）。

證明：由題意設(shè)α（t），ψ（t）是方程的連續(xù)解，

∴ψ（t）-α（t）=∫tt0f（ξ，ψ（ξ））dξ-∫tt0f（ξ，α（ξ））dξ，

則|ψ（t）-α（t）|≤∫tt0|f（ξ，ψ（ξ））-f（ξ，α（ξ））|dξ≤L∫tt0ψ（t）-α（t），

由Gronwall不等式，∴|ψ（ξ）-α（ζ）|≤0exp∫tt0Ldζ=0，

∴α（t）=ψ（t），命題得證。

六、 結(jié)束語(yǔ)

Gronwall不等式在控制論及方程理論中應(yīng)用很多，特別是能夠簡(jiǎn)化方程解的唯一性證明。利用該定理證明各類方程解的唯一性，思路清晰，學(xué)生易于理解，過(guò)程也比較簡(jiǎn)單。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

章毛峰，中教一級(jí)，安徽省六安市，安徽省六安市金安區(qū)興隆路清水河學(xué)校。