巧用面積法求線段的和差

任蕾

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形中的“主角”，垂直是兩直線特殊的位置關(guān)系，當(dāng)它們遇到一起，會(huì)“碰撞”出什么“火花”呢？

【例】如圖1，在△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上的一點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，那么PD+PE與CF相等嗎？

乍一看，PD、PE、CF，這三條線段好像并無關(guān)系，怎么辦？別慌，先想想題目中的條件能給我們什么幫助：垂直——三條關(guān)鍵線段都跟垂直有關(guān)系：垂直又意味著什么呢？對(duì)！垂直意味著高，就能求得面積！

顯然，以FC為高，AB為底，可以表示△ABC的面積：S△ABC=[12]AB·FC.

PD、PE可以看作哪個(gè)三角形的高呢？嘗試連接AP，出現(xiàn)△ABP和△APC，它們的面積可以分別表示為：S△ABP=[12]AB·PD，S△APC=[12]AC·PE.

記住——看見垂直想面積！FC、PD、PE分別出現(xiàn)在三個(gè)關(guān)系式中.可是，它們之間如何聯(lián)系起來？顯然，△ABP與△APC共同組成了△ABC，有等量關(guān)系：S△ABP+S△APC= S△ABC .

記住——面積加減尋等量.因此，[12]AB·PD+[12]AC·PE=[12]AB·CF.這一步還不能解決問題，別忘了條件AB=AC.那么，等式變成了：[12]AB·DP+[12]AB·PE=[12]AB·CF，化簡后得PD+PE=CF.本質(zhì)上是對(duì)△ABC的面積分別從局部和整體“算兩次”將問題解決！

總之，看見垂直想面積，面積加減尋等量.我們用這兩句口訣，做幾個(gè)類似的嘗試吧.

變式1.如圖3，若P點(diǎn)在線段BC的延長線上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，你能嘗試畫出圖形并找出PD、PE與CF之間的關(guān)系嗎？

顯然，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC的延長線上，如圖4，根據(jù)S△ABP-S△ACP=S△ABC及AB=AC可得PD-PE=CF.

變式2.如果條件改為直線BC，其他條件均不變，PD、PE與CF之間的關(guān)系又將是什么呢？

變式3.如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)（如圖5），已知等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊距離分別為d1、d2、d3，等邊△ABC的高為h.你能求出d1、d2、d3與h之間的關(guān)系嗎？

變式4.如果把變式3中的點(diǎn)P改成等邊三角形外任意一點(diǎn)（如圖6），其他條件都不變，你能求出d1、d2、d3與h之間的關(guān)系嗎？

在幾何問題中巧妙運(yùn)用“面積法”，把線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系來解決問題是常用的思路，聰明的你學(xué)會(huì)了嗎？

參考答案：

變式2.當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，同例題；當(dāng)點(diǎn)P在線段BC延長線上時(shí)，同變式1；當(dāng)點(diǎn)P在線段CB延長線上時(shí)，PE-PD =CF.

變式3.h=d1+d2+d3 .

變式4.h=d1+d2-d3 .

（作者單位：江蘇省無錫市蠡園中學(xué)）