整合到意義教學(xué)中，理解余數(shù)大小“不再多余”

余麗娜

[摘 要]除法是四則運算中的難點，因為其算理和豎式書寫格式與其他運算截然不同，因此，學(xué)生接受起來就比較困難，再加上余數(shù)的出現(xiàn)，更是增加了學(xué)生的理解難度。余數(shù)就是剩余的不夠整份的數(shù)，學(xué)生很難理解其比除數(shù)小的緣由。為了突破這個教學(xué)難點，教師嘗試將余數(shù)小于除數(shù)的規(guī)律的教學(xué)放到豎式教學(xué)之前，重點落在除法意義和豎式書寫上，將余數(shù)大小的規(guī)律融入情境，整合到意義的理解上。

[關(guān)鍵詞]余數(shù)；除數(shù)；帶余除法；意義；大小

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）32-0016-02

“有余數(shù)的除法”安排在北師大版教材二年級下冊，例1是關(guān)于表內(nèi)除法的豎式，例2是揭示帶余除法的意義，例3是總結(jié)歸納余數(shù)小于除數(shù)的定律。教學(xué)例2和例3后均安排了“做一做”，此部分內(nèi)容被劃分為一課時。細(xì)細(xì)分析，這樣劃分課時尚欠妥當(dāng)。因為學(xué)生在列豎式時就會碰到余數(shù)大于除數(shù)的問題，如果沒有學(xué)習(xí)例3，說理就會不充分。如果將余數(shù)規(guī)律前置，又會造成落實不到位。那么，是否可以將余數(shù)小于除數(shù)的規(guī)律的教學(xué)放到豎式教學(xué)之前？本文將對此做深入的探討。

—、余數(shù)難學(xué)的緣由

學(xué)生對帶余除法的橫式格式并不陌生，被除數(shù)、除數(shù)、商的意義都未變，可直接從整除除法算式中遷移過來，而余數(shù)是新生事物，于是教學(xué)重點落在余數(shù)的意義上。余數(shù)是一個新概念，有著特定的內(nèi)涵和外延，概念的內(nèi)涵是本質(zhì)特性。對于三年級的小學(xué)生來說，余數(shù)的內(nèi)涵可表征為平均分后剩下的零頭；外延是指概念所指代的所有元素。如，若除數(shù)為5，余數(shù)則有可能為1、2、3、4；若除數(shù)為7，余數(shù)則有可能為1、2、3、4、5、6……簡言之，余數(shù)要比除數(shù)小。

除法豎式是全新的算式樣態(tài)，易受加減豎式的負(fù)面影響。能否用演繹推理法，重新解讀帶余除法的豎式呢？

（1）除法豎式的形式為何呈現(xiàn)階梯式？如果沒有余數(shù)存在，除法豎式就和加減乘法一樣。除法豎式的階梯形，完全是為了處理余數(shù)的循環(huán)運算，它不但展示了商數(shù)和除數(shù)的積，又設(shè)計出空白處書寫余數(shù)，更能體現(xiàn)余數(shù)的地位和價值。

（2）如果先學(xué)表內(nèi)的整除除法豎式，學(xué)生就只是根據(jù)乘法口訣一步到位得出商數(shù)，“商[×]除數(shù)”求積這一步的思考過程容易被架空。先學(xué)帶余除法，則可避免這種情況。

（3）余數(shù)比除數(shù)小的根本原因需要追溯到余數(shù)的意義。教材在闡述此規(guī)律時，只是單一地舉出除數(shù)都是5的例子，就馬上得出結(jié)論，例證不夠豐富，說服力不夠強(qiáng)，對于“除數(shù)是4、6、9時，余數(shù)可能是哪些數(shù)？”這個問題，有些學(xué)生就會拿余數(shù)和商數(shù)進(jìn)行比較，誤認(rèn)為余數(shù)比商小就行。

教材中三個例題所涉及的三個知識點不是孤立的，應(yīng)該聯(lián)系起來。橫式和豎式都能展現(xiàn)帶余除法的意義，學(xué)習(xí)余數(shù)大小限制的規(guī)律應(yīng)該安排在充分認(rèn)知帶余除法意義之后。

從課的容量來考慮，應(yīng)跳過豎式學(xué)習(xí)，直接進(jìn)入帶余除法的內(nèi)容。

基于以上理論，我做了教學(xué)改進(jìn)：重點落在除法意義和豎式書寫上，將余數(shù)大小的規(guī)律融入情境，整合到意義的理解上。

二、整合資源，在意義中體現(xiàn)大小差異

習(xí)題1：光頭強(qiáng)在林場里砍伐了15棵樟樹，每輛卡車裝載5棵，可以裝載幾卡車？你是怎么想的？15、5和3分別屬于算式中的什么數(shù)？（復(fù)習(xí)除法算式和各要素意義）

習(xí)題2：光頭強(qiáng)后來又砍伐了19棵松樹，每輛卡車裝載5棵，可以裝載幾輛卡車？圈一圈，并用算式表示。（用圈畫的形式，將生活經(jīng)驗調(diào)用到數(shù)學(xué)算術(shù)上）

思考：為什么不把最后4棵松樹也圈一圈？最后4棵如何反映到算式里？

學(xué)生的方法：[5×3+4=19]，[19÷5=3……4]，等等。

師（引導(dǎo)學(xué)生著重研究除法）：這個除法算式與以前學(xué)過的整除除法略有不同。

【評析：第一次對比：有余數(shù)和沒有余數(shù)。討論如何表示和處置剩下的4棵松樹，一是為了揭示余數(shù)的意義；二是得出如何在算式中演示。通過討論，突破原有的認(rèn)知局限，突出余數(shù)的內(nèi)涵：平均分剩下的不夠分一份的零頭，必然要比一整份的數(shù)目小。】

練習(xí)：19棵松樹，每車裝載3棵，可以裝載幾卡車？還剩下幾棵樹？請先圈畫再列式。

師：說說圈畫的結(jié)果。剛才最后剩下4棵不夠一份，為什么現(xiàn)在4棵又能分了？

【評析：這是第二次對比。通過對比剩下的棵數(shù)，引發(fā)學(xué)生的好奇心，從而得出“余數(shù)夠不夠分一份，要看具體除數(shù)是多少，也就是一份的數(shù)額”?！?/p>

師：余數(shù)是怎么產(chǎn)生的？

【評析：改變除數(shù)，集中討論“余下4棵”能不能再圈的問題，在對比中突出余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生知曉余數(shù)的產(chǎn)生過程?！?/p>

師（出示圖1）：帶余除法也有豎式。你能結(jié)合圈畫過程說說其中每個數(shù)的意義嗎？

【評析：為了在算法中滲透算理，先讓學(xué)生自行探討豎式的意義，結(jié)合圈畫理解每個數(shù)的意義，從而達(dá)到理解余數(shù)的目的?！?/p>

三、練習(xí)鞏固，內(nèi)化余數(shù)的大小定律

習(xí)題1：先圈畫，再寫出橫式和豎式。

（1）12塊巧克力，每人分5塊，可以分給幾個人？還剩幾塊？

（2）12塊巧克力，每人分4塊，可以分給幾個人？

師（重點分析第（2）題）：分配之后有剩余嗎？豎式中兩次出現(xiàn)數(shù)字12，兩個12意義一樣嗎？余數(shù)為什么是0？這其實就代表整除。

【評析：第（1）題是為鞏固帶余除法的運算，第（2）題則是通過帶余除法揭示整除的本質(zhì)。這樣，把整除整合到帶余除法里，重點辨析豎式中2個12的含義和區(qū)別，以及余數(shù)是0的特殊情形，就能說明整除是一類特殊的帶余除法的事實?！?/p>

習(xí)題2：請你猜測圖中的小動物各代表數(shù)字幾。

師（重點解說第（2）題）：這題有多種填數(shù)方案。我把大家的方案展示如下，請指出錯誤的豎式。

師：觀察框內(nèi)的兩個豎式，請你通過畫圖的方式說說為什么錯了。

【評析：把豎式轉(zhuǎn)換成圖形，并指出錯誤，既是梳理和總結(jié)知識，又是對新知的應(yīng)用，為總結(jié)規(guī)律提供了豐富的實證，詮釋了余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系?！?/p>

綜上所述，要想在有限的時間內(nèi)用科學(xué)合理的課時量完成帶余除法的教學(xué)，并讓學(xué)生深刻理解余數(shù)要比除數(shù)小的原理，教師必須調(diào)整教學(xué)順序，整合教學(xué)資源，這樣才能取得事半功倍的效果。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 蘇菲芷.小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)課自省“四步曲”——以“用有余數(shù)的除法解決問題練習(xí)課”為例[J].吉首大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2016，37（S1）：226-228.

[2] 藺秀平.小學(xué)數(shù)學(xué)“有余數(shù)除法”的教學(xué)分析[J].中國校外教育，2015（19）：103.

（責(zé)編 童 夏）