頁巖儲(chǔ)層不同滲流形式下的流-固耦合數(shù)值模型

李 帥

(西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院， 西安 710065)

地質(zhì)勘探結(jié)果顯示，我國(guó)具有豐富的頁巖油氣地質(zhì)儲(chǔ)量和可采儲(chǔ)量。頁巖儲(chǔ)層的孔隙度和滲透率較低，一般需要進(jìn)行水力壓裂而獲得貫通的裂縫網(wǎng)絡(luò)，才具有工業(yè)產(chǎn)能。對(duì)低滲透、超低滲透儲(chǔ)層，須考慮流-固耦合問題?？紫读黧w滲流的規(guī)律不同，巖石的形變就不同，從而會(huì)使巖石的力學(xué)性質(zhì)發(fā)生改變，而儲(chǔ)層巖石的這種改變又會(huì)影響流體的滲流場(chǎng)。儲(chǔ)層巖石和流體的這種相互作用，對(duì)油氣井的生產(chǎn)影響巨大?，F(xiàn)以頁巖油藏為例，研究建立儲(chǔ)層不同滲流形式下的流-固耦合數(shù)值模型。

1 頁巖儲(chǔ)層的流-固耦合模型

儲(chǔ)層的流-固耦合描述的是流體和固體之間的相互作用關(guān)系?？紤]到頁巖儲(chǔ)層的巖石力學(xué)特征和流體滲流特征的復(fù)雜性，特做如下假設(shè)。

(1) 儲(chǔ)層巖石為均質(zhì)、等厚、可壓縮的；

(2) 巖石的變形滿足Terzaghi有效應(yīng)力準(zhǔn)則；

(3) 儲(chǔ)層變形為彈性力學(xué)中的小變形問題，巖石為線彈性材料；

(4) 儲(chǔ)層巖石和流體之間不發(fā)生物理化學(xué)反應(yīng)，也無組分之間的交換；

(5) 流體在儲(chǔ)層之間的滲流為達(dá)西滲流；

(6) 巖石的變形會(huì)對(duì)流體滲流場(chǎng)產(chǎn)生影響，流體的滲流會(huì)導(dǎo)致儲(chǔ)層的變形和位移；

(7) 不考慮鉆井液與井壁之間的水化、蠕變等作用，儲(chǔ)層巖石為脆性巖石。

建立如圖1所示的極坐標(biāo)系。

圖1 頁巖儲(chǔ)層鉆井示意圖

將頁巖儲(chǔ)層視為彈性無限大地層，則任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處的變形和位移都可以用平衡方程、幾何方程、物理方程來描述。

(1) 幾何方程

(1)

式中：εr、εθ、εz、εv—— 分別為研究點(diǎn)距離原點(diǎn)r處的徑向應(yīng)變、周向應(yīng)變、垂向應(yīng)變、總應(yīng)變；

r—— 研究點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，m；

u、w—— 分別為質(zhì)點(diǎn)徑向位移、垂向位移，m。

(2) 物理方程

(2)

式中：σr、σθ、σz—— 分別為距離原點(diǎn)r處的徑向應(yīng)力、周向應(yīng)力、垂向應(yīng)力，MPa；

λ—— 拉梅常數(shù)；

G—— 剪切模量，MPa；

a—— Biot常數(shù)；

p—— 孔隙壓力，MPa。

(3) 平衡方程

(3)

將式(2)帶入式(3)，再將式(1)帶入，得到位移形式的平衡方程：

(4)

式中：μ—— 流體黏度，Pa·s。

頁巖儲(chǔ)層流體的滲流模型用達(dá)西定律來描述，其表達(dá)式為：

(5)

式中：k—— 儲(chǔ)層滲透率，μm2；

K=k/μ。

井眼周圍儲(chǔ)層流量的表達(dá)式為：

(6)

式中：q—— 油井產(chǎn)量，m3/s；

h—— 儲(chǔ)層厚度，m。

在極坐標(biāo)系中，孔隙流體的質(zhì)量守恒方程(連續(xù)性方程)為：

(7)

式中：ρ—— 流體密度，kg/m3；

φ—— 孔隙度。

將式(6)代入式(7)，得到井眼周圍儲(chǔ)層的滲流數(shù)學(xué)模型：

(8)

式(4)和式(8)構(gòu)成儲(chǔ)層的流-固耦合方程組。

式(4)反映了儲(chǔ)層孔隙壓力與研究質(zhì)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，式(8)反映的是孔隙壓力變化對(duì)儲(chǔ)層孔隙度的影響。對(duì)于儲(chǔ)層平面某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其位移的變化表現(xiàn)為體積的膨脹或收縮，即質(zhì)點(diǎn)的位移與該點(diǎn)所造成的孔隙度的變化存在數(shù)值關(guān)系。所以，由式(4)和式(8)組成的方程組，反映了在滲流過程中流體運(yùn)動(dòng)與介質(zhì)變形的相互耦合作用，是一組充分耦合的方程組。

頁巖變形的根本原因，是其骨架受到的有效應(yīng)力發(fā)生了變化。根據(jù)Terzaghi有效應(yīng)力原理，巖石骨架所受應(yīng)力以式(9)表達(dá)。

ps=pv-app

(9)

式中：ps—— 巖石骨架所受應(yīng)力，MPa；

pv—— 巖石所受垂向應(yīng)力，MPa；

pp—— 巖石孔隙壓力，MPa。

儲(chǔ)層中質(zhì)點(diǎn)的位移，可以理解為是質(zhì)點(diǎn)的形變量ε。由于假設(shè)巖石本身是線彈性體，則有：

(10)

式中：E—— 彈性模量，MPa。

因此，當(dāng)知道儲(chǔ)層孔隙壓力變化規(guī)律及相應(yīng)的定邊界條件和初始條件，便可建立封閉的頁巖儲(chǔ)層流-固耦合方程[1-3]。

2 不同滲流模型下的流-固耦合模型

(1) 半無限大地層井底壓力為定值的不穩(wěn)定滲流

對(duì)于平面一維半無限大帶狀頁巖儲(chǔ)層，由滲流力學(xué)知，其滲流的孔隙壓力表達(dá)式如式(11)。

(11)

式(11)(10)(8)(4)和相應(yīng)的定邊界條件及初始條件，就構(gòu)成封閉的一維不穩(wěn)定滲流的流-固耦合模型。

(2) 無限大地層中彈性流體向一口井不穩(wěn)定滲流

頁巖儲(chǔ)層，在近井地帶的流動(dòng)是徑向流。由滲流力學(xué)知，其孔隙壓力表達(dá)式為：

(12)

式(12)(10)(8)(4)和相應(yīng)的定邊界條件及相應(yīng)的初始條件，就構(gòu)成封閉的平面不穩(wěn)定滲流的流-固耦合模型。

(3) 球形不穩(wěn)定滲流

在頁巖儲(chǔ)層的鉆井過程中，剛鉆遇儲(chǔ)層時(shí)，整個(gè)近井地帶的流動(dòng)為球形流，其孔隙壓力表達(dá)式為：

(13)

式(13)(10)(8)(4)和相應(yīng)的定邊界條件及相應(yīng)的初始條件，就構(gòu)成封閉球形不穩(wěn)定滲流的流-固耦合模型。

上述3種滲流方式下的孔隙壓力分布計(jì)算模型是最基本的。對(duì)于在復(fù)雜井網(wǎng)下的頁巖儲(chǔ)層，可以根據(jù)壓降疊加原理和勢(shì)的疊加原理，求得任意一點(diǎn)的孔隙壓力數(shù)學(xué)模型[4]。

3 儲(chǔ)層的流-固耦合計(jì)算步驟

儲(chǔ)層的滲流模式不同，孔隙壓力變化規(guī)律不同。根據(jù)流-固耦合的數(shù)值模型可知，孔隙壓力的變化會(huì)使儲(chǔ)層巖石骨架發(fā)生形變，而這種形變會(huì)導(dǎo)致巖石應(yīng)力分布發(fā)生變化。由此總結(jié)儲(chǔ)層流-固耦合的計(jì)算步驟，如圖2所示。

4 結(jié) 語

頁巖儲(chǔ)層的流-固耦合模型對(duì)探究孔隙壓力變化和巖石形變之間的相互作用關(guān)系具有重要意義。本次研究根據(jù)彈性力學(xué)的基本假設(shè)，利用幾何方程、物理方程、平衡方程及有效應(yīng)力準(zhǔn)則，得到了頁巖儲(chǔ)層的流-固耦合模型；根據(jù)滲流模型的不同，得到了基本滲流模型下的流-固耦合滲流模型。

圖2 流-固耦合計(jì)算模型