高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)方法淺析

楊 磊

貴州六盤水師范學(xué)院

高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)以及它們之間的交叉內(nèi)容所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科。主要內(nèi)容包括函數(shù)與極限、微積分、空間解析幾何、常微分方程、無窮級數(shù)。高等數(shù)學(xué)是高校一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，作為一門基礎(chǔ)科學(xué)，高等數(shù)學(xué)有其固有的特點，這就是高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性。抽象性和計算性是數(shù)學(xué)最基本、最顯著的特點，有了高度抽象和統(tǒng)一，我們才能深入地揭示其本質(zhì)規(guī)律，才能使之得到更廣泛的應(yīng)用。嚴(yán)密的邏輯性是指在數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中，無論是概念和表述，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規(guī)則，遵循思維的規(guī)律。所以說，數(shù)學(xué)就是一種思想方法，學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思維訓(xùn)練的過程。人類社會的進步，與數(shù)學(xué)這門科學(xué)的廣泛應(yīng)用是分不開的。尤其是進入了新時代，大數(shù)據(jù)和電子信息使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域更加拓寬，數(shù)學(xué)成為科技發(fā)展的強大動力。

高等數(shù)學(xué)這門課程不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力，還能培養(yǎng)其綜合分析能力。課程中教學(xué)難度比較大，該門課程有著較大的綜合性和應(yīng)用性。在進行高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不能單純的只進行理論教學(xué)，而應(yīng)該結(jié)合案例進行現(xiàn)實性的案例分析，通過把理論知識融合到實際案例中，才能真正對這些高等數(shù)學(xué)知識進行融會貫通，取得好的教學(xué)效果。

教師應(yīng)該積極引導(dǎo)、指導(dǎo)學(xué)生案例分析，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性和主動性，培養(yǎng)其分析問題和解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，從而提高教師的教學(xué)能力和教學(xué)水平。

一、高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)的意義

案例教學(xué)是一種以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)方法，教師在教學(xué)中扮演著設(shè)計者和激勵者的角色，鼓勵學(xué)生積極參與討論。高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)是教師在實際課堂教學(xué)過程中，將生活中的數(shù)學(xué)實際例子引入課堂來實施教學(xué)，利用具體的數(shù)學(xué)問題進行數(shù)學(xué)建模。因此，選取案例一定要接近實際生活，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

隨著新時代高等教育的發(fā)展，現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重在培養(yǎng)高技能性的數(shù)學(xué)人才，教學(xué)的核心注重提高學(xué)生的實際問題處理及創(chuàng)新能力。高等學(xué)校高等數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，其最終的目標(biāo)就是要培養(yǎng)大學(xué)生對于數(shù)學(xué)的具體實踐意識、動手能力以及具有開創(chuàng)性的應(yīng)用能力。在新時期對于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生提出新理念和要求的情況下，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中引進案例教學(xué)這一方式，完全突破了傳統(tǒng)的那種重在理論教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，取而代之的是以數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用能力為核心、尊重學(xué)生自主討論的數(shù)學(xué)教學(xué)理念。與此同時，案例教學(xué)的內(nèi)容一般來自于實踐生活中、工業(yè)以及其他行業(yè)中的具體問題，在老師的引導(dǎo)和溝通下，充分尊重學(xué)生自我思考的主觀能動性，要求高校學(xué)生在一定的時間內(nèi)通過討論、分析、總結(jié)的方式對案例進行挖掘，這種師生平等溝通、共同解決問題的過程完全打破了傳統(tǒng)的講授的教學(xué)方式，通過在高等數(shù)學(xué)中進行案例教學(xué)不僅促進了師生之間的交流，而且對于整個數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高也有著很大的促進作用。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中使用案例教學(xué)方法，彌補了我們教師傳統(tǒng)教學(xué)方法的不足，把數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理放在實際例子中來講解，使其真實化具體化。讓學(xué)生在這種實際案例的引導(dǎo)下，在解決實際問題中認(rèn)識數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)原理。案例教學(xué)方法還能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力與綜合分析能力，使得學(xué)生能夠把學(xué)習(xí)的知識很好地與實際生活緊密結(jié)合。另外，案例教學(xué)法也可以提高教師的創(chuàng)新精神。教師通過案例教學(xué)得到的知識是內(nèi)化了的知識，并且可以在很大程度上整合教育教學(xué)中那些“不確定性”的知識?？梢詭椭處熇斫饨虒W(xué)中所出現(xiàn)的兩難問題，掌握對教學(xué)進行分析和反思的方式。大大縮短了教學(xué)情境與實際生活情境的差距，案例的運用也可以促使教師必須很好地掌握數(shù)學(xué)理論知識。

二、高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)的實施

在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)法進行教學(xué)過程中，不僅需要師生之間的良好配合，而且必須對案例教學(xué)的全過程進行有計劃的規(guī)劃，在不同實施階段進行相應(yīng)的教學(xué)工作。應(yīng)在講授知識內(nèi)容前引入，通過案例加深印象，使學(xué)生更好地理解相關(guān)的知識。通過案例將主要內(nèi)容進行深化，使學(xué)生更好地吸收講授內(nèi)容。我們可以通過案例引導(dǎo)學(xué)生把定義、定理向深層次進行拓展。提前把案例材料發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生閱讀案例材料，查閱資料和讀物，搜集必要的信息，積極思索，形成案例中問題的原因分析和解決方案。

1.案例教學(xué)的準(zhǔn)備。

包括教師案例準(zhǔn)備與學(xué)生課前準(zhǔn)備。教師以學(xué)生具備的數(shù)學(xué)經(jīng)驗與理論知識為基礎(chǔ)，做好數(shù)學(xué)建模案例準(zhǔn)備。使用案例教學(xué)方法時，首先將案例教學(xué)的結(jié)構(gòu)及對學(xué)生的要求明確提出，指導(dǎo)學(xué)生建立小組。其次，教師提供的案例所涉及的數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)該是學(xué)生所具備的。教學(xué)案例的選擇應(yīng)該緊扣教學(xué)目標(biāo)以及尊重學(xué)生知識接受水平的情況下，最終找到具有可行性和應(yīng)用性的案例進行數(shù)學(xué)教學(xué)。要聯(lián)系現(xiàn)階段這些學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)知識、應(yīng)用能力、知識構(gòu)造以及教學(xué)目標(biāo)對教學(xué)案例進行選擇和設(shè)計。通常情況下，理論性知識都是比較抽象的，這些知識、概念或理念脫離特定情境，以一種符號或其他方式表現(xiàn)出來。因此在使用案例教學(xué)法時，應(yīng)該注意授課的內(nèi)容與方法，應(yīng)該重點強調(diào)數(shù)學(xué)理論內(nèi)容的框架，計算部分可以用計算機代替。例如，在講授極限課程時，應(yīng)該重點強調(diào)極限來源以及應(yīng)用，不強調(diào)極限的計算方法。

教師為案例教學(xué)做準(zhǔn)備，學(xué)生也要做一些準(zhǔn)備，案例教學(xué)過程中需要同學(xué)們進行小組討論，所以首先要學(xué)生進行分組，并且教師可以把課堂上要討論的案例先分發(fā)給小組，從而讓學(xué)生對案例有一定的認(rèn)識，最終提高上課的效率。 學(xué)生根據(jù)自己的知識和經(jīng)驗，對案例中某種情境提出自己的設(shè)想或者假設(shè)，也可以提出自己的行動計劃或者確定案例中的問題，這些活動、假設(shè)、建議等都屬于“準(zhǔn)備”。教師應(yīng)該在學(xué)生準(zhǔn)備階段給予其相關(guān)理論指導(dǎo)，為學(xué)生提供一些理論依據(jù)。學(xué)生準(zhǔn)備過程中，應(yīng)該首先閱讀案例，對案例內(nèi)容有一個大體了解，然后分析案例，將案例的關(guān)鍵問題確定，尋找分析這種案例的一般性方法，將案例系統(tǒng)中的主次關(guān)系分析清楚，找出自己分析的邏輯依據(jù)，確定要采取的分析類型和方法。

2．案例教學(xué)的實施。

在高等數(shù)學(xué)課堂案例教學(xué)的實施過程中，應(yīng)該通過選取簡短而典型的案例進行教學(xué)，在課堂開始初期主要通過教師的講解、分析和引導(dǎo)。然后，適當(dāng)?shù)匾肱c課堂知識相關(guān)的簡單“數(shù)學(xué)模型案例”。 例如在講定積分的定義的時候，我們可以先從如何求由連續(xù)曲線圍成的曲邊梯形的面積入手。如何用定積分求經(jīng)濟問題，如何用定積分求解物理中的變力做功問題，液體壓力問題等等。

高等數(shù)學(xué)中的案例教學(xué)實施過程：一是問題提出。在引進某個概念的時候，先從簡單的例子入手，這樣提出的概念，接受很自然，對概念理解也相對深刻。二是問題分析。簡單地說問題分析就是解決問題的思維過程，通過問題分析找出問題所在，并確定問題發(fā)生原因。把問題分解為各個比較小的問題，然后制訂研究這些問題的先后程序。例如如何求曲邊梯形的面積沒有現(xiàn)成的公式可用，這是一個未知的問題，如何把這樣的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，是問題分析的關(guān)鍵。我們知道，矩形的面積是底乘以高，而曲邊梯形與矩形的區(qū)別在于高的變化。如果我們把底分成一些小區(qū)間，得到一些小曲邊梯形，可以近似看成小矩形，從而算出面積近似值。分割越細(xì)，則近似值與真實值越接近，從而可以通過極限求出曲邊梯形的面積。三是問題解決。根據(jù)問題，進行簡化。分析完問題后，引進相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后求解數(shù)學(xué)模型，這樣就解決了數(shù)學(xué)實際問題。四是問題結(jié)論。教師要進行及時的整理，針對討論的問題、探索的問題和解決的問題總結(jié)，最終形成系統(tǒng)的教學(xué)案例資料。

三、高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)的特點

1．鼓勵獨立思考，具有深刻的啟發(fā)性。

在案例教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、組織討論研究，進行總結(jié)和歸納。通過案例教學(xué)，使學(xué)生大腦興奮，注意力能夠得到及時調(diào)節(jié)，有利于學(xué)生精神維持最佳狀態(tài)。傳統(tǒng)的教學(xué)阻礙了學(xué)生的積極性和主動性，但案例教學(xué)是要學(xué)生自己去思考、去創(chuàng)造，使得教學(xué)活潑生動。而且案例教學(xué)的實施過程，每位學(xué)生都要發(fā)表見解。通過這種經(jīng)驗的交流。一是取長補短、促進交流能力的提高，二是起到一種激勵的效果，從而使學(xué)生積極進取、刻苦學(xué)習(xí)。案例教學(xué)目的在于啟發(fā)學(xué)生獨立自主地去思考、去探索，注重培養(yǎng)學(xué)生獨立思考能力，啟發(fā)學(xué)生建立一套分析問題、解決問題的思維方式。

2．注重客觀真實，提高學(xué)生實踐能力。

案例教學(xué)的最大特點是它的直觀性和真實性。由于教學(xué)內(nèi)容是具體的實例，采用的是形象、直觀、生動的形式，給學(xué)生身臨其境之感，易于學(xué)習(xí)和理解。案例描述的事件都是真實的，由案例的真實性決定了案例教學(xué)的真實性，學(xué)生根據(jù)自己所學(xué)的知識，得出自己的結(jié)論。通過一個或幾個代表性的典型事件，讓學(xué)生在案例的思考、分析、討論和總結(jié)中，建立起一套完整而又嚴(yán)密的邏輯思維方法和思考問題的方式，以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。眾所周知，知識不等于能力，知識應(yīng)該轉(zhuǎn)化為能力?，F(xiàn)在絕大部分學(xué)生只會學(xué)習(xí)書本知識而忽視實際能力的培養(yǎng)，不僅阻礙自身的發(fā)展，今后走入工作崗位難以入手。案例教學(xué)正是為此而生，為此而發(fā)展的。學(xué)生在校期間就能接觸并學(xué)習(xí)到大量的社會實際問題，實現(xiàn)從理論到實踐的轉(zhuǎn)化，提高大學(xué)生的實踐能力。

3．重視雙向交流，加強綜合能力培養(yǎng)。

教師在課堂上不是“獨唱”，而是和大家一起思考討論，學(xué)生在課堂上也不是被動聽課，而是共同探討問題。由于調(diào)動集體的智慧和力量，容易開闊思路，收到良好的效果。傳統(tǒng)的教學(xué)方法是老師講、學(xué)生聽，聽沒聽、聽懂多少。要到最后的考試時才知道，而且學(xué)到的都是一些理論知識。在案例教學(xué)中，學(xué)生拿到案例后，先要進行課前準(zhǔn)備，查閱一些必要的相關(guān)理論知識。無形中加深了學(xué)生對知識的理解，而且是主動進行的。課前準(zhǔn)備好后，學(xué)生還要經(jīng)過縝密地思考，分析問題、提出解決問題的方案，這是綜合能力上的升華。同時，學(xué)生隨時要求教師給以指導(dǎo)，這也促使教師加深思考，根據(jù)不同學(xué)員的不同理解補充新的教學(xué)內(nèi)容。雙向的教學(xué)形式對教師也提出了更高的要求。學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，參與進來、深入案例、體驗案例角色。在教學(xué)過程中存在著老師個體與學(xué)生個體的交往，教師個體與學(xué)生群體、學(xué)生個體與學(xué)生個體、學(xué)生群體與學(xué)生群體交往，也就是師生互動、生生互動。 案例教學(xué)一般的舉例內(nèi)涵豐富，二是案例的分析、解決過程也較為復(fù)雜。學(xué)生不僅需要具備基本的理論知識，而且應(yīng)具有審時度勢、權(quán)衡應(yīng)變、果斷決策之能。案例教學(xué)的實施，需要學(xué)生綜合運用各種知識和靈活的技巧來處理，從而加強了學(xué)生的綜合能力的培養(yǎng)。

高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)采用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)模型解決實際問題。案例教學(xué)法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用充分發(fā)揮了高校學(xué)生的主觀能動性，能夠把現(xiàn)實實際生活與高等數(shù)學(xué)知識有效的結(jié)合，從而提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。案例教學(xué)能夠創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，很好的激發(fā)大學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)大學(xué)生的實踐能力和綜合能力，培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，實現(xiàn)新時代創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的目標(biāo)。