基于考研的高等代數(shù)教學(xué)模式研究

李小朝

（黃淮學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 駐馬店 463000）

近年來(lái)隨著社會(huì)的發(fā)展和對(duì)高層次人才的需求，考研成為高校一個(gè)熱點(diǎn)話題.高考發(fā)揮失常，考研可以彌補(bǔ)高考的缺憾，滿足對(duì)著名高校的向往.就業(yè)壓力太大，考研可以提升層次，提高競(jìng)爭(zhēng)力.更有許多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，心中有著許多疑問(wèn)需要解決，考研成了必然選擇.考研可以看作高品質(zhì)的就業(yè)，更是實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值和拓展上升空間的必由之路.高等代數(shù)是高校數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課之一，是后續(xù)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，也是考研必考科目.一些作者從不同角度對(duì)高等代數(shù)的考研進(jìn)行教學(xué)研究.本文以黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)為例，探討基于考研的高等代數(shù)教學(xué)模式的改革研究，所用教材為北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》第四版.

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2004年開始招生，至今已畢業(yè)十屆，有許多學(xué)生考上研究生，考取學(xué)校有上海交通大學(xué)、華東師范大學(xué)、重慶大學(xué)等著名高校和普通院校.但是前兩年考取研究生無(wú)論是學(xué)生數(shù)量，還是質(zhì)量都有下滑的趨勢(shì)，究其原因大概有以下幾個(gè)方面.其一，作為地方普通高校，生源質(zhì)量一般，學(xué)生成績(jī)不是太好.其二，數(shù)學(xué)專業(yè)的高考一志愿率偏低，部分學(xué)生是調(diào)劑到數(shù)學(xué)專業(yè)的，對(duì)數(shù)學(xué)缺乏興趣.其三，由于學(xué)校應(yīng)用型的辦學(xué)定位，理論課的課時(shí)壓縮，使得高等代數(shù)等考研課程沒(méi)有足夠的課時(shí)保障.其四，由于理論性較強(qiáng)，一些重要的專業(yè)課，如近世代數(shù)、泛函分析等課程沒(méi)有開設(shè)，學(xué)生初試與復(fù)試缺乏競(jìng)爭(zhēng)力.鑒于諸多原因數(shù)學(xué)專業(yè)考上研究生的學(xué)生不太理想，學(xué)風(fēng)有待提高.為了扭轉(zhuǎn)這種被動(dòng)局面，為學(xué)生考研提高更好的條件和保障，我們已經(jīng)在教學(xué)指導(dǎo)思想、教學(xué)實(shí)施過(guò)程和教學(xué)評(píng)價(jià)等方面進(jìn)行改革.

1 教學(xué)指導(dǎo)思想以考研為中心

1.1 提早動(dòng)員，增強(qiáng)學(xué)生考研信心

由于很多學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不好，加上數(shù)學(xué)理論偏強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一定的畏難情緒.有的學(xué)生進(jìn)入大學(xué)放松了對(duì)自己的嚴(yán)格要求，認(rèn)為可以輕松一下，享受大學(xué)的美好生活了.這些導(dǎo)致一些同學(xué)大一大二沒(méi)有準(zhǔn)備考研，高等代數(shù)等學(xué)的不扎實(shí)，進(jìn)入大三大四再想考研，已經(jīng)非常被動(dòng).因此，我們從大一的入學(xué)教育，就開展考研的第一次動(dòng)員，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到考研的重要性.進(jìn)入大學(xué)不是終點(diǎn)，而是新的起點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)未來(lái)充滿憧憬和向往.在學(xué)習(xí)方法上給學(xué)生更多指導(dǎo)，以考研成功的學(xué)生作為榜樣進(jìn)行宣傳，讓學(xué)生感到考研并非遙不可及，經(jīng)過(guò)努力，成功就在眼前.

1.2 增加學(xué)時(shí)，提高考研基本保障

課時(shí)是課程學(xué)習(xí)的基本保障，而專業(yè)課的學(xué)習(xí)是進(jìn)一步研究的基礎(chǔ).在學(xué)校的總體要求框架內(nèi)，修訂人才培養(yǎng)方案，適當(dāng)增加考研課程的課時(shí)，必要的專業(yè)課程都開設(shè)出來(lái)，為學(xué)生考研打下基礎(chǔ).在信陽(yáng)一所兄弟院校的考研經(jīng)驗(yàn)交流中，我有很大感觸.在被問(wèn)到有些理論比較難學(xué)生聽不明白，是不是能一筆帶過(guò)時(shí)，該校的一名老教授，也是領(lǐng)導(dǎo)擲地有聲地說(shuō)：該讓學(xué)生明白的，必須讓他明白，時(shí)間不夠可以補(bǔ)課，可以利用晚自習(xí)給學(xué)生輔導(dǎo)，上習(xí)題課.又問(wèn)到是不是有些課程理論性太強(qiáng)，能不能少開或者不開時(shí)，該教授語(yǔ)重心長(zhǎng)地說(shuō)：我們都知道數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個(gè)積累的過(guò)程，沒(méi)有學(xué)過(guò)那么多內(nèi)容，就沒(méi)有進(jìn)一步研究的基礎(chǔ).他又說(shuō)：該開設(shè)的課程，一門也不能少，否則即使初試通過(guò)，進(jìn)入復(fù)試，還是不會(huì)被錄取的.這些經(jīng)驗(yàn)之談，是我們?cè)诟叩却鷶?shù)教學(xué)中需要貫徹的思想，我們也在往這方面努力.指導(dǎo)思想決定實(shí)施過(guò)程，所以我院也在全力為學(xué)生考研營(yíng)造更好氛圍.

1.3 建設(shè)精品課程，豐富教學(xué)資源

作為高等代數(shù)的教師，我們已經(jīng)在建設(shè)高等代數(shù)校級(jí)精品課程，給學(xué)生廣闊的學(xué)習(xí)空間.建設(shè)教學(xué)資源庫(kù)，有高等代數(shù)的學(xué)習(xí)方法、授課課件、授課教案、習(xí)題庫(kù)、部分教學(xué)視頻、考研真題等，讓學(xué)生可以自主學(xué)習(xí)，隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)資源.同時(shí)我們還加強(qiáng)與兄弟院校的聯(lián)系，分享好的教學(xué)方法與教學(xué)手段，共享教學(xué)資源等，給學(xué)生廣闊的視野和豐富的資源.

2 高等代數(shù)的教學(xué)過(guò)程實(shí)施

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)在大一下學(xué)期和大二上學(xué)期開設(shè)，大一下學(xué)期每周四學(xué)時(shí)，講授前四章，即多項(xiàng)式、行列式、線性方程組和矩陣；大二下學(xué)期每周六學(xué)時(shí)，講授后六章，即二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐幾里得空間和雙線性函數(shù).作為考研必考課程，注重每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講解，即使選學(xué)內(nèi)容也是如此.

2.1 高等代數(shù)知識(shí)點(diǎn)的講解

一個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，比如行列式，需要知道其產(chǎn)生的背景，也就是解方程組的需要，根據(jù)行列式可以確定特殊線性方程組的解，見克拉默法則.n級(jí)行列式的定義可以表示為

2.2 高等代數(shù)前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系

單獨(dú)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)還是比較容易的，高等代數(shù)作為一個(gè)整體，做到前后知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通是更重要的.比如第四章矩陣的教學(xué)，不但要把矩陣本身的性質(zhì)講授清楚，還要讓學(xué)生明白矩陣和行列式運(yùn)算性質(zhì)的異同，理解矩陣和方程組解的關(guān)系.比如講解線性空間這一章，其抽象的概念讓一些學(xué)生無(wú)所適從，抓不到研究對(duì)象.其實(shí)線性空間概念來(lái)源于具體研究對(duì)象，它是許多不同研究對(duì)象比如多項(xiàng)式、矩陣、維向量等的公共性質(zhì)抽象統(tǒng)一，把這些不同研究對(duì)象都涵蓋進(jìn)去.事實(shí)上多項(xiàng)式P、n維向量、矩陣等都構(gòu)成具體的線性空間——多項(xiàng)式空間P[x]、P[x]n，向量空間Pn和矩陣空間Pm×n等.所以學(xué)習(xí)線性空間的其他概念和性質(zhì)，都以這些具體空間為例子，來(lái)理解抽象的概念，作為進(jìn)一步研究的基礎(chǔ).同時(shí)多項(xiàng)式、n維向量、矩陣等表面上看這些沒(méi)有關(guān)系的研究對(duì)象，可以統(tǒng)一歸結(jié)到線性空間的范疇研究[6].還有歐幾里得空間的學(xué)習(xí)，歐幾里得空間其實(shí)就是實(shí)數(shù)域上具有內(nèi)積運(yùn)算的線性空間.這樣就能以點(diǎn)帶面，通過(guò)線性空間的教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)高等代數(shù)中很多研究對(duì)象進(jìn)行更深入的理解.

2.3 高等代數(shù)的習(xí)題講解與輔導(dǎo)

作業(yè)是對(duì)所學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)、鞏固和升華，是學(xué)好數(shù)學(xué)必不可少的過(guò)程.每次布置完作業(yè)后，要求學(xué)生按時(shí)獨(dú)立完成，并且認(rèn)真批改.但是有些習(xí)題由于課本上沒(méi)有相關(guān)的例題，學(xué)生會(huì)感到?jīng)]有思路，無(wú)從下手，這些需要給學(xué)生適當(dāng)?shù)奶崾荆寣W(xué)生再做.多項(xiàng)式、線性方程組、矩陣等章的一些計(jì)算題計(jì)算量較大，比較復(fù)雜，需要讓學(xué)生加強(qiáng)練習(xí)，提高計(jì)算能力.而高等代數(shù)習(xí)題的難點(diǎn)不是計(jì)算題，而是證明題，因?yàn)樽C明題需要對(duì)基本概念性質(zhì)的熟悉掌握，清晰的思路，嚴(yán)密的邏輯推理.因此高等代數(shù)證明題的講解至關(guān)重要，需要講清楚相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，分析出解題思路，告訴學(xué)生從何處入手進(jìn)行證明.一些典型的習(xí)題結(jié)論，可以作為定理，在其他題的證明中可以直接應(yīng)用.當(dāng)然還有一些高校的考研真題，就是課后習(xí)題的變形或者推廣.課后習(xí)題如果都會(huì)做，簡(jiǎn)單的考研題就可以較好完成.

2.4 高等代數(shù)的考核與評(píng)價(jià)

高等代數(shù)一般采用期末閉卷考試，形成終結(jié)性的評(píng)價(jià)方式，但這種評(píng)價(jià)方式忽略了學(xué)習(xí)過(guò)程的管理考核.方穎玨等研究了過(guò)程性評(píng)價(jià)的高等代數(shù)評(píng)價(jià)方式，給出多種形式的綜合性評(píng)價(jià).高等代數(shù)的學(xué)習(xí)要注重教學(xué)過(guò)程的管理，比如上課考勤、課堂提問(wèn)、加強(qiáng)教學(xué)過(guò)程中的師生互動(dòng)、布置作業(yè)、批改作業(yè)等，但是對(duì)于高等代數(shù)考研的要求，這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.例如上課有的學(xué)生盡管也在聽講，但是注意力不集中或者跟不上老師的思路；布置的作業(yè)有的同學(xué)只會(huì)機(jī)械的模仿，稍微與例題不同或者沒(méi)有相關(guān)習(xí)題則無(wú)從下手，甚至有抄襲的情況等，這些情況直接反映為教學(xué)效果不好，達(dá)成度不高.因此基于考研的需要，高等代數(shù)的考核以學(xué)會(huì)為根本，加強(qiáng)練習(xí).每節(jié)內(nèi)容講過(guò)后，布置一道相關(guān)內(nèi)容的習(xí)題，讓學(xué)生課堂上練習(xí)，隨時(shí)檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)解決.每一章講完后，進(jìn)行階段測(cè)驗(yàn)，還是以基礎(chǔ)題型為主，檢查整章知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握情況.最后是期末考試，在命題上在考查基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，加入一部分綜合性的和一題多解的題型，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.把課堂測(cè)驗(yàn)情況和每章階段測(cè)驗(yàn)情況結(jié)合，給出平時(shí)成績(jī)，再結(jié)合期末考試成績(jī)，按照一定比例，折合出高等代數(shù)的學(xué)期成績(jī).

3 高等代數(shù)選講的教學(xué)過(guò)程實(shí)施

高等代數(shù)課程學(xué)習(xí)完之后，基礎(chǔ)的知識(shí)、計(jì)算方法和簡(jiǎn)單證明都基本掌握了，但是與考研的要求還是有一定差距.為了學(xué)生更好的學(xué)習(xí)高等代數(shù)，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)在大三上學(xué)期開設(shè)高等代數(shù)選講課程，每周三學(xué)時(shí).高等代數(shù)選講的教學(xué)模式大概分為三步.

3.1 課本內(nèi)容的復(fù)習(xí)鞏固與歸納

進(jìn)入大三高等代數(shù)選講的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)原本掌握的概念有的忘掉了，許多內(nèi)容變得很生疏.這樣需要對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行有效的復(fù)習(xí)鞏固，當(dāng)然又不同于大一高等代數(shù)的教學(xué).對(duì)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，要站得更高，立足整本教材或者整個(gè)高等代數(shù)來(lái)復(fù)習(xí)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)，分析在整本教材中的作用，講清楚前后知識(shí)點(diǎn)的深層次聯(lián)系.比如向量組極大線性無(wú)關(guān)組的講解，不必再局限于這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，要把線性方程組的基礎(chǔ)解系、線性空間的基等概念放到一起來(lái)復(fù)習(xí)，分析其概念的異同，起的作用都是用盡可能少的向量把所有的向量線性表示出來(lái)，當(dāng)然線性方程組的基礎(chǔ)解系也就是解空間的基.只有基本概念熟練掌握，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的前后關(guān)系分析理解清楚，再結(jié)合適當(dāng)?shù)木毩?xí)，證明題才能有思路并給出證明.

3.2 課后補(bǔ)充題與補(bǔ)充內(nèi)容的講解

高等代數(shù)課后補(bǔ)充題是對(duì)所學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步鞏固，難度較大，并且由于課時(shí)所限，在高等代數(shù)的教學(xué)中沒(méi)有講授，我們?cè)诟叩却鷶?shù)選講的教學(xué)中來(lái)講解這些補(bǔ)充題.這樣學(xué)生對(duì)教材有更深入的理解和把握，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握也更好.在課本知識(shí)點(diǎn)和課后習(xí)題都做完之后，對(duì)高等代數(shù)的理解已經(jīng)達(dá)到新的高度，但是僅僅這些應(yīng)付考研還是不夠，畢竟課本上的習(xí)題和方法思路有限，還需要補(bǔ)充一些題型.通過(guò)自己收集積累的資料，并與兄弟院校聯(lián)系共享資源，在課后給學(xué)生布置一些新題型新方法的習(xí)題，讓學(xué)生做了之后下次課再講解.讓學(xué)生多見識(shí)一些新的題型、新的方法和思路，并理解領(lǐng)悟，才會(huì)對(duì)考研題處理起來(lái)得心應(yīng)手，取得好的成績(jī).

3.3 考研真題的講解

高等代數(shù)的考研真題一般都來(lái)源于課本知識(shí)點(diǎn)，但是又高于課本，綜合性較強(qiáng)，題型較為靈活.通過(guò)前期高等代數(shù)的學(xué)習(xí)和輔導(dǎo)，需要做些考研真題來(lái)檢驗(yàn)學(xué)習(xí)的效果，查找不足.由于不同高校高等代數(shù)的考研題不同，命題的側(cè)重點(diǎn)也不同，所以我們針對(duì)知識(shí)點(diǎn)來(lái)講解一些不同學(xué)校的真題，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握，提高解決考研題的能力和信心.教學(xué)中不是以講解某個(gè)考研真題為目的，而是要放眼整個(gè)高等代數(shù)內(nèi)容，講清楚來(lái)龍去脈和相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，尋找解題思路.當(dāng)然也可以針對(duì)某所高校的高等代數(shù)考研真題，分析其命題的規(guī)律和考查的側(cè)重點(diǎn)，提高學(xué)生考研復(fù)習(xí)的效率.

高等代數(shù)選講是考查課，期末命題以綜合性題型和一些高校的考研真題為主，考查學(xué)生實(shí)際處理考研題的能力.

4 后續(xù)考研輔導(dǎo)

在高等代數(shù)選講課程結(jié)束之后，大三下學(xué)期和大四上學(xué)期共一年時(shí)間，沒(méi)有高等代數(shù)的相關(guān)課程.在考前這一年里，學(xué)生高等代數(shù)的學(xué)習(xí)以自學(xué)為主，沒(méi)有老師講解或者詳細(xì)輔導(dǎo).于是我們給學(xué)生推薦錢吉林編寫的《高等代數(shù)題解精粹》，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，把整本書做一遍.有的學(xué)生找老師問(wèn)問(wèn)題或者交流考研信息也不方便，于是我們給考研的學(xué)生建立QQ群和微信群，對(duì)學(xué)生共性的問(wèn)題隨時(shí)網(wǎng)上給以指導(dǎo)，對(duì)個(gè)性的問(wèn)題進(jìn)行單獨(dú)輔導(dǎo)交流.報(bào)考前，指導(dǎo)學(xué)生要根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況結(jié)合高校的命題特點(diǎn)和難度，選擇適合自己的高校，不要盲目地非名校不報(bào).因?yàn)槭堑胤奖究聘咝＃胀▽W(xué)生報(bào)考重點(diǎn)大學(xué)有一定的難度，往年都出現(xiàn)過(guò)離分?jǐn)?shù)線差幾分或者即使過(guò)線但是復(fù)試落榜的情況.在確定學(xué)校后，找往年的真題系統(tǒng)研究，分析命題規(guī)律和出題的側(cè)重點(diǎn)，一般都是有跡可循的，這對(duì)最后高等代數(shù)考研成績(jī)的提高起到畫龍點(diǎn)睛的作用.還可以對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行解答，有的同學(xué)計(jì)算不出來(lái)或者證明沒(méi)思路等，都可以通過(guò)QQ和微信等現(xiàn)代通信工具進(jìn)行輔導(dǎo)交流.

5 結(jié)語(yǔ)

高等代數(shù)課程有一定的抽象性，它是提高學(xué)生計(jì)算能力、抽象思維能力的必要過(guò)程，也是進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ).針對(duì)高等代數(shù)考研，我們進(jìn)行了一些有益的嘗試：提高學(xué)生和老師對(duì)考研重要性的認(rèn)識(shí)；在學(xué)習(xí)方法上給學(xué)生指導(dǎo)；完善豐富教學(xué)資源，給學(xué)生提供條件；增加學(xué)時(shí)，給學(xué)生考研提供保障；開設(shè)必需專業(yè)課，為考研打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)；對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)解答.經(jīng)過(guò)一系列的努力，高等代數(shù)考研情況會(huì)有一定改觀.當(dāng)然影響考研成績(jī)和結(jié)果的因素很多，有許多問(wèn)題需要我們深思，做進(jìn)一步的研究探討.