一類特殊矩陣的特征值

烏仁其其格

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[1]設(shè)A是n階方陣，若存在數(shù)λ和n維非零向量x，使關(guān)系式Ax=λx成立，則稱數(shù)λ是方陣A的特征值，非零向量x稱為A的屬于特征值λ的特征向量.

定義 1.2[1]的特征多項(xiàng)式，它是以為λ未知數(shù)的一元n次多項(xiàng)式，也記為 f(λ).稱 |λE-A|=0 為 A 的特征方程.

定理 1.1[1]設(shè) n 階方陣 A 的特征值為 λ1,λ2,λ3,…,λn，則：

2 主要結(jié)論

定理2.1 反對(duì)角矩陣

證明 用數(shù)學(xué)歸納法，

λ2=c2，解得 λ1=c，λ2=-c

假設(shè) n=2k-2，時(shí)

得 λ1=c，(k-1 衙） λ2=-c(k-1 重)成立.

得，λ1=c，（k重）λ2=-c,（k重）成立.

定理2.2反對(duì)角矩陣

證明用數(shù)學(xué)歸納法，

(λ-c)(λ2-c)=0，解得 λ1=c,(2 重) λ2=-c

假設(shè) n=2k-1，時(shí)

從 |λE-A|=0，得(λ-c)k(λ+c)k-1=0，

得 λ1=c,(k重) λ2=-c(k-1重)成立.

則A的特征方程為|λE-A|=0

A的特征多項(xiàng)式為：

解(λ-c)(λ+c)(λ-c)k(λ+c)k-1=0 得，

得，λ1=c，（k+1重）λ2=-c,（k重）成立.

推論2.1反對(duì)角矩陣

推論2.2反對(duì)角矩陣和1(k+1重).

定理2.3設(shè)n階方陣

證明由定理1.1[1]和定理2.1可知顯然成立.

定理2.4設(shè)n階方陣

證明由定理1.1[1]和定理2.1可知顯然成立.