淺析輪換對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用

宋麗雅

長(zhǎng)治學(xué)院師范分院 山西 長(zhǎng)治 046000

1 輪換對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用的意義

在定積分的計(jì)算中,我們常利用積分區(qū)間的對(duì)稱性,結(jié)合被積函數(shù)的奇偶性,可以極大地簡(jiǎn)化計(jì)算的過(guò)程.那么,在重積分的計(jì)算中,類似地,我們可以利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性使計(jì)算更為簡(jiǎn)便.相應(yīng)地,我們還可以發(fā)現(xiàn),在曲線積分中也有這樣的結(jié)果。

在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,我們不難發(fā)現(xiàn),積分區(qū)域的高度對(duì)稱性實(shí)際上表明了變量X、Y、Z之間的某種可相互替代性,這便是輪換性.一般來(lái)說(shuō),先使用輪換性簡(jiǎn)化被積函數(shù)或使其形式易于化簡(jiǎn),之后再利用對(duì)稱性來(lái)解決問(wèn)題,可以極大地減小我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中的工作量.,提高解題效率,因此進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)其的研究非常有必要。

2 輪換對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用

2.1 二重積分的輪換對(duì)稱性

平面區(qū)域D,具有輪換對(duì)稱性,即若點(diǎn)(x,y)∈D,則(y,x)∈D.在平面直角坐標(biāo)系中,區(qū)域D具有輪換對(duì)稱性,直觀表現(xiàn)為區(qū)域D關(guān)于直線y＝x對(duì)稱。

例1設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),且f(x)＞0,平面區(qū)域D:a≤x≤b,a≤y≤b,證明:

例2設(shè)D:x2＋y2≤1,f(x,y)在D上連續(xù),求cos2y)dxdy.所以

2.2 三重積分的輪換對(duì)稱性

空間區(qū)域Ω,具有輪換對(duì)稱性,即若點(diǎn)(x,y,z)∈Ω,則(y,z,x)∈Ω,且(z,x,y)∈Ω.在空間直角坐標(biāo)系中,Ω具有輪換對(duì)稱性,直觀表現(xiàn)為Ω對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的相對(duì)位置是等同的。如Ω1:x2＋y2＋z2≤1和Ω2:(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≤2均具有輪換對(duì)稱性。

2.3 曲線積分的對(duì)稱性

設(shè)f(x,y)在曲線L上連續(xù),其中L為平面上可求長(zhǎng)度的曲線段,當(dāng)積分弧段關(guān)于x軸對(duì)稱,記L＝L1∪L1,且L1、L1關(guān)于x軸對(duì)稱,

如果f(x,－y)＝－f(x,y),則

類似也有積分弧段關(guān)于y軸對(duì)稱的結(jié)論.但積分弧段關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或輪換對(duì)稱性的問(wèn)題,以及類似結(jié)論在空間第一類曲線積分運(yùn)算中也經(jīng)常出現(xiàn),我們有以下結(jié)論:

(1)設(shè)f(x,y)在曲線L上連續(xù),當(dāng)積分弧段關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,記L＝L1∪L2,且L1、L2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

如果f(－x,－y)＝－f(x,y),則∫Lf(x,y)ds＝0;如果f(－x,－y)＝f(x,y),則

(2)設(shè)f(x,y)在曲線上連續(xù),當(dāng)積分弧段關(guān)于坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性,則

(3)設(shè)ff(x,y,Z)在空間曲線Γ上連續(xù),其中Γ為空間上可求長(zhǎng)度的曲線段,當(dāng)積分弧段Γ關(guān)于y Oz坐標(biāo)面對(duì)稱,記Γ1,Γ2分別為Γ在y Oz坐標(biāo)面的前半部分(x＞0)和后半部分(x＜0),

如果f(－x,y,z)＝－f(x,y,z),

類似也有積分弧段Γ關(guān)于zOx、x Oy坐標(biāo)面對(duì)稱的結(jié)論.

2.4 曲面積分的對(duì)稱性

設(shè)函數(shù)f(x,y,z)為有界光滑或分片光滑曲面∑上的連續(xù)函數(shù),∑關(guān)于坐標(biāo)面x＝0對(duì)稱,如果f(－x,y,z)＝－f(x,y,z),則

如果f(－x,y,z)＝f(x,y,z),則

(其中∑1＝(x,y,z)∈∑x≥{0}).

如∑關(guān)于坐標(biāo)面y＝0,z＝0對(duì)稱,有類似的結(jié)論.而如果∑對(duì)坐標(biāo)x,y,z具有輪換對(duì)稱性,則

以上是第一類曲面積分,這些結(jié)論我們一般都比較熟悉,而對(duì)于第二類曲面積分,我們先給出以下定義:

定義2 指定了曲面的側(cè)的曲面稱為有向曲面,根據(jù)曲面上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦的正負(fù),我們定義了曲面的前側(cè)(cosα＞0),后側(cè)(cosα＜0),右側(cè)(cosβ＞0),左側(cè)(cosβ＜0),上側(cè)(cosγ＞0),下側(cè)(cosγ＜0)等.

總之,在定積分的計(jì)算中,我們常利用積分區(qū)間的對(duì)稱性,結(jié)合被積函數(shù)的奇偶性,可以極大地簡(jiǎn)化計(jì)算的過(guò)程,因此進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)其的研究非常有必要。