例談旋轉(zhuǎn)法在幾何中的應(yīng)用

湖北省武漢市第二初級中學 寇 峰

【旋轉(zhuǎn)法的概念】在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫作圖形的旋轉(zhuǎn)。

【旋轉(zhuǎn)法的性質(zhì)】對應(yīng)線段、對應(yīng)角的大小不變，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。特別是要注意旋轉(zhuǎn)過程中三角形與整個圖形的特殊位置。

【旋轉(zhuǎn)法的要點】旋轉(zhuǎn)時要注意旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度的大小，即三要素：中心，方向，大小。

【旋轉(zhuǎn)法的應(yīng)用】揭示幾何圖形的性質(zhì)或幾何量之間的內(nèi)在聯(lián)系，把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰直角三角形、等邊三角形及正方形等圖形中(這三種圖形在旋轉(zhuǎn)過程中分別旋轉(zhuǎn)90°、60°和90°)，多與三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定等相結(jié)合。

一、正三角形

思想：在正三角形ABC 中，P 為△ABC 內(nèi)一點，將△ACP 繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，使得AC 與AB 重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖1 中的PA、PB、PC 三條線段集中于圖2 中的一個△P'BP 中，此時△P'AP 也為正三角形。

圖1

圖2

例1 如圖1：設(shè)P 是等邊三角形ABC 內(nèi)的一點，PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB 的度數(shù)是________。

簡解：將△ACP 繞A 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，使得AC 與AB重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，將圖1 中的PA、PB、PC 三條線段集中于圖2 中的一個△P'CP 中，此時△P'AP 也為正三角形。所以有∠APP'=60°，而∠P'PB=90°，從而有∠APB=60°+90°=150°。

二、正方形

思想：在正方形ABCD 中，P 為正方形ABCD 內(nèi)一點，將△PAB繞A 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使得AB 與AD 重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，將圖3 中的PA、PB、PC 三條線段關(guān)系集中于圖4 中的△DEP 中，此時△AEP 為等腰直角三角形。

例2 如圖3：P 是正方形ABCD 內(nèi)一點，點P 到正方形的三個頂點A、B、C 的距離分別為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 的面積。

圖3

圖4

簡解：將△ABP 繞A 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使得AB 與AD重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，得△APE 為等腰直角三角形；又將△CBP 繞C 點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使得CD 與CB 重合。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化，得△CPF 為等腰直角三角形(如圖4）。

由勾股定理的逆定理得，三角形EPF 為直角三角形，且∠FEP=90°。

三、等腰直角三角形

思想：在等腰直角三角形△ABC 中，∠ACB=90°，若P 為△ABC內(nèi)一點（如圖5），將△APC 繞C 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使得AC 與BC 重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，在圖6 中的一個△P'CP 為等腰直角三角形。

例3 如圖5，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=AC，P 為△ABC內(nèi)一點，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠ BPC 的度數(shù)。

圖5

圖6

簡解：將△APC 繞C 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使得AC 與BC 重合。經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化，得△P'CP 為等腰直角三角形，于是有，且°，所以∠BPC=90°+45°=135°。

四、求組合三角形面積類型

例4 （2011 全國初中數(shù)學競賽題）如圖7，正方形ABCD 的邊長為1，點P、Q 分別是其內(nèi)兩點，且∠PAQ=∠PCQ=45°，求S△ABP+S△PCQ+S△QAD的值。

圖7

解：將△ADQ 繞點A 按順時針旋轉(zhuǎn)90°到△ABE 的位置，將△CDQ 繞點C 按逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△BCF 的位置，連接EQ、FQ。

∴AE=AQ，CF=CQ，∠FBC=∠CDQ，∠ABE=∠ADQ。

∵四邊形ABCD 是正方形，

∴∠FBC+∠ABE=∠CDQ+∠ADQ=90°，

∵∠ABC=90°，∴∠FBC+∠ABE+∠ABC=180°，∴B，E，F(xiàn) 三點共線，∴BE=DQ=BF。

又連接EP，F(xiàn)P，∴S△PBF=S△PBE。

∵∠PAQ=∠PCQ=45°，∠1=∠3，∠4=∠6，

∴∠2+∠3=∠5+∠6=45°，

可證：△CFP ≌△CPQ，△AEP ≌△APQ，

∴S△AEP=S△APQ，S△CFP=S△CPQ，

S正方形ABCD=S五邊形AEFCQ，

因 為S△ABP+S△PCQ+S△QAD=×2(S△AEP+S△EBP+ S△CFP)=×2×=，所以S△ABP+S△PCQ+S△QAD=。