王妍
【摘要】抽屜原理也被稱作狄利克雷原理或者被稱作鴿巢原理.研究抽屜原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運用是非常必要的.運用抽屜原理解題的關(guān)鍵在于怎樣根據(jù)題意構(gòu)造出抽屜模型和怎樣找出符合題目條件的分類方法,只要做好這兩點,就能通過簡單的方法很快地解決問題.
【關(guān)鍵詞】抽屜原理;抽屜原理與中學(xué)數(shù)學(xué);抽屜原理的運用
抽屜原理也稱作鴿巢原理,它是組合數(shù)學(xué)的一個最基本原理,最早是由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet,1805—1855)明確地提出來的.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,抽屜原理的應(yīng)用是非常普遍并且靈活多變的,在解決一些看上去很復(fù)雜,使人無處下手,卻是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)問題時非常好用.
一、抽屜原理的三種形式
抽屜原理1 如果我們把n+k(k≥1)個元素放入到n個抽屜中去,那么我們得到的結(jié)論為:至少存在一個抽屜中含有兩個或者兩個以上的元素.
證明 我們可以利用反證法.假設(shè)每個抽屜至多只能放入一個元素,那么n個抽屜至多放入n個元素,而并不是像題設(shè)中的那樣能放入n+k(k≥1)個.這就和題設(shè)有了沖突,所以假設(shè)是不可能成立的,所以原命題成立.
抽屜原理2 如果我們把mn+k(k≥1)個元素放入到n個抽屜當(dāng)中去,那么我們得到的結(jié)論就是:至少有那么一個抽屜中會含有m+1個或m+1個以上的元素.
證明 我們利用反證法去解決問題.假設(shè)每個抽屜當(dāng)中至多放入了m個元素,那么我們就可以知道n個抽屜當(dāng)中至多放入了mn個元素.而不是題設(shè)中的mn+k(k≥1)個元素.這就和題設(shè)有了沖突,所以假設(shè)是不成立,即原命題成立.
抽屜原理3 如果我們把無限多個元素放入到有限多個抽屜當(dāng)中去呢,那么我們就會知道:至少有一個抽屜中會含有無限多個元素.
證明 我們利用反證的方法.將無限多個元素放入到有限個抽屜當(dāng)中去;假設(shè)這有限個抽屜當(dāng)中的元素是有限多個的,那么我們就會知道:將有限多個有限元素相加起來,所得的元素的個數(shù)必定是有限數(shù)的.這就和題設(shè)有了沖突,所以假設(shè)不成立,即原命題成立.
二、抽屜原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
(一)直接構(gòu)造抽屜
例1 證明:367個人中至少有兩個人的生日相同.
分析 平年是365天,閏年是366天.因題中未說明是平年還是閏年,我們可以將一年視為366天.人的生日是一年中的某一天,已知有367人,要說明至少有兩個人的生日相同,就必須構(gòu)造少于367個人的抽屜.因此,可以把每一天看作抽屜,而把367人的生日看作元素.
證明 將一年中的367天視為367個抽屜,368個人的生日看作368(367+1)個元素,把368個人的生日放入367個抽屜,根據(jù)抽屜原理1,我們就可以輕易地知道:至少有兩人的生日是相同.
(二)分組構(gòu)造抽屜
如果題目中有明顯的取出或放入元素,但需要構(gòu)造抽屜,可根據(jù)問題中的信息進(jìn)行分組構(gòu)造抽屜.
例1 從正整數(shù)1,2,3,4一直到200中,任取101個數(shù),求證:一定存在兩個數(shù);其中一個是另一個的整數(shù)倍.
分析 問題是要求兩個數(shù)中的一個是另一個的整數(shù)倍,一個自然的想法是從數(shù)的質(zhì)因數(shù)表示形式進(jìn)行分組,每組中任意兩個數(shù)都存在整數(shù)倍的關(guān)系.我們把這樣的兩個數(shù)放到我們構(gòu)建的100個抽屜當(dāng)中去.
證明 如下構(gòu)造100個抽屜,其中每個抽屜里,任意兩個數(shù)都滿足一個是另一個的整數(shù)倍:
第1個抽屜:1,1×2,1×22,1×23,1×24,1×25,1×26,1×27;
第2個抽屜:3,3×2,3×22,3×23,3×24,3×25,3×26;
第3個抽屜:5,5×2,5×22,5×23,5×24,5×25;
第4個抽屜:7,7×2,7×22,7×24;
……
第49個抽屜:99,99×2;
第50個抽屜:101;
……
第99個抽屜:197;
第100個抽屜:199.
那么我們就可以根據(jù)抽屜原理1得出結(jié)論:隨意取出101個數(shù)中,必然會有兩個數(shù)同屬于一個抽屜,其中一個數(shù)是另一個數(shù)的整數(shù)倍.
所以結(jié)論就是不超過18.
(三)按剩余類構(gòu)造抽屜
我們知道,把所有整數(shù)按照除以某個正整數(shù)m的余數(shù)分為m類,叫作m的剩余類,用[0],[1][2],…,[m-1]表示.每一類含有無窮多個數(shù),例如,[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1,…,每一個整數(shù)必包含在而且僅包含在上述一類中.在研究與整數(shù)有關(guān)的問題時,常常用某數(shù)(如,倍數(shù))的剩余類作為抽屜.
例3 證明:任意取出5個整數(shù),必定會有3個數(shù)做和是3的整數(shù)倍.
分析 這里提到的3的倍數(shù),用3的剩余類構(gòu)造抽屜,任意取出的5個整數(shù)便是元素.
證明 以3的剩余類[0],[1],[2]構(gòu)造三個抽屜,任意取出的5個整數(shù)放入3個抽屜有以下情況:
(1)如果有5個整數(shù)放入了大小完全相同的同一個抽屜,即這5個數(shù)被3除余數(shù)相同,那么其中任意3個數(shù)的和都能被3整除;
(2)如果5個整數(shù)放入其中的大小完全相同的兩個抽屜,即被3除余數(shù)只屬于其中的兩類,因為5=2×2+1,根據(jù)抽屜原理2,總有3個整數(shù)在同一類,即它們被3除余數(shù)相同,那么這3個數(shù)的和也能被3整除;
(3)如果5個整數(shù)分布在大小與規(guī)格完全相同的3個抽屜里,即3個抽屜不空,那么從3個剩余類[0],[1],[2]中各取一個數(shù),這3個數(shù)的和也能被3整除.
所以任意5個整數(shù)當(dāng)中,必定會有3個數(shù)做和是3的整數(shù)倍.
【參考文獻(xiàn)】
[1]趙晶.抽屜原理及其應(yīng)用[J].科學(xué)論壇,2008(3):42.
[2]陳景林,閻滿富.組合數(shù)學(xué)與圖論[M].北京:中國鐵道出版社,2000.
[3]肖美英.抽屜原理及其應(yīng)用[J].晉中學(xué)院學(xué)報,2002(3):203-204.
[4]徐建輝.例談如何構(gòu)造“抽屜”[J].荊楚學(xué)刊,2005(5):90-91.