抽屜原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運用

王妍

【摘要】抽屜原理也被稱作狄利克雷原理或者被稱作鴿巢原理.研究抽屜原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運用是非常必要的.運用抽屜原理解題的關(guān)鍵在于怎樣根據(jù)題意構(gòu)造出抽屜模型和怎樣找出符合題目條件的分類方法，只要做好這兩點，就能通過簡單的方法很快地解決問題.

【關(guān)鍵詞】抽屜原理；抽屜原理與中學(xué)數(shù)學(xué)；抽屜原理的運用

抽屜原理也稱作鴿巢原理，它是組合數(shù)學(xué)的一個最基本原理，最早是由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805—1855）明確地提出來的.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，抽屜原理的應(yīng)用是非常普遍并且靈活多變的，在解決一些看上去很復(fù)雜，使人無處下手，卻是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)問題時非常好用.

一、抽屜原理的三種形式

抽屜原理1 如果我們把n+k（k≥1）個元素放入到n個抽屜中去，那么我們得到的結(jié)論為：至少存在一個抽屜中含有兩個或者兩個以上的元素.

證明 我們可以利用反證法.假設(shè)每個抽屜至多只能放入一個元素，那么n個抽屜至多放入n個元素，而并不是像題設(shè)中的那樣能放入n+k（k≥1）個.這就和題設(shè)有了沖突，所以假設(shè)是不可能成立的，所以原命題成立.

抽屜原理2 如果我們把mn+k（k≥1）個元素放入到n個抽屜當(dāng)中去，那么我們得到的結(jié)論就是：至少有那么一個抽屜中會含有m+1個或m+1個以上的元素.

證明 我們利用反證法去解決問題.假設(shè)每個抽屜當(dāng)中至多放入了m個元素，那么我們就可以知道n個抽屜當(dāng)中至多放入了mn個元素.而不是題設(shè)中的mn+k（k≥1）個元素.這就和題設(shè)有了沖突，所以假設(shè)是不成立，即原命題成立.

抽屜原理3 如果我們把無限多個元素放入到有限多個抽屜當(dāng)中去呢，那么我們就會知道：至少有一個抽屜中會含有無限多個元素.

證明 我們利用反證的方法.將無限多個元素放入到有限個抽屜當(dāng)中去；假設(shè)這有限個抽屜當(dāng)中的元素是有限多個的，那么我們就會知道：將有限多個有限元素相加起來，所得的元素的個數(shù)必定是有限數(shù)的.這就和題設(shè)有了沖突，所以假設(shè)不成立，即原命題成立.

二、抽屜原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）直接構(gòu)造抽屜

例1 證明：367個人中至少有兩個人的生日相同.

分析 平年是365天，閏年是366天.因題中未說明是平年還是閏年，我們可以將一年視為366天.人的生日是一年中的某一天，已知有367人，要說明至少有兩個人的生日相同，就必須構(gòu)造少于367個人的抽屜.因此，可以把每一天看作抽屜，而把367人的生日看作元素.

證明 將一年中的367天視為367個抽屜，368個人的生日看作368（367+1）個元素，把368個人的生日放入367個抽屜，根據(jù)抽屜原理1，我們就可以輕易地知道：至少有兩人的生日是相同.

（二）分組構(gòu)造抽屜

如果題目中有明顯的取出或放入元素，但需要構(gòu)造抽屜，可根據(jù)問題中的信息進(jìn)行分組構(gòu)造抽屜.

例1 從正整數(shù)1，2，3，4一直到200中，任取101個數(shù)，求證：一定存在兩個數(shù)；其中一個是另一個的整數(shù)倍.

分析 問題是要求兩個數(shù)中的一個是另一個的整數(shù)倍，一個自然的想法是從數(shù)的質(zhì)因數(shù)表示形式進(jìn)行分組，每組中任意兩個數(shù)都存在整數(shù)倍的關(guān)系.我們把這樣的兩個數(shù)放到我們構(gòu)建的100個抽屜當(dāng)中去.

證明 如下構(gòu)造100個抽屜，其中每個抽屜里，任意兩個數(shù)都滿足一個是另一個的整數(shù)倍：

第1個抽屜：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26，1×27；

第2個抽屜：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，3×26；

第3個抽屜：5，5×2，5×22，5×23，5×24，5×25；

第4個抽屜：7，7×2，7×22，7×24；

……

第49個抽屜：99，99×2；

第50個抽屜：101；

……

第99個抽屜：197；

第100個抽屜：199.

那么我們就可以根據(jù)抽屜原理1得出結(jié)論：隨意取出101個數(shù)中，必然會有兩個數(shù)同屬于一個抽屜，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的整數(shù)倍.

所以結(jié)論就是不超過18.

（三）按剩余類構(gòu)造抽屜

我們知道，把所有整數(shù)按照除以某個正整數(shù)m的余數(shù)分為m類，叫作m的剩余類，用[0]，[1][2]，…，[m-1]表示.每一類含有無窮多個數(shù)，例如，[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，…，每一個整數(shù)必包含在而且僅包含在上述一類中.在研究與整數(shù)有關(guān)的問題時，常常用某數(shù)（如，倍數(shù)）的剩余類作為抽屜.

例3 證明：任意取出5個整數(shù)，必定會有3個數(shù)做和是3的整數(shù)倍.

分析 這里提到的3的倍數(shù)，用3的剩余類構(gòu)造抽屜，任意取出的5個整數(shù)便是元素.

證明 以3的剩余類[0]，[1]，[2]構(gòu)造三個抽屜，任意取出的5個整數(shù)放入3個抽屜有以下情況：

（1）如果有5個整數(shù)放入了大小完全相同的同一個抽屜，即這5個數(shù)被3除余數(shù)相同，那么其中任意3個數(shù)的和都能被3整除；

（2）如果5個整數(shù)放入其中的大小完全相同的兩個抽屜，即被3除余數(shù)只屬于其中的兩類，因為5=2×2+1，根據(jù)抽屜原理2，總有3個整數(shù)在同一類，即它們被3除余數(shù)相同，那么這3個數(shù)的和也能被3整除；

（3）如果5個整數(shù)分布在大小與規(guī)格完全相同的3個抽屜里，即3個抽屜不空，那么從3個剩余類[0]，[1]，[2]中各取一個數(shù)，這3個數(shù)的和也能被3整除.

所以任意5個整數(shù)當(dāng)中，必定會有3個數(shù)做和是3的整數(shù)倍.

【參考文獻(xiàn)】

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