例談對數(shù)學歸納法局限性的認識誤區(qū)

摘 要：數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的一種重要方法，在各級各類考試中有廣泛應用。對某些與正整數(shù)有關的命題常采用下面的方法來證明它們的正確性：當n取第一個值n0時，命題成立；假設當n=k（k∈N*且k≥n0）時命題成立，證明當n=k+1時，命題也成立，這種方法叫做數(shù)學歸納法。用數(shù)學歸納法證明一個命題的基本結構是“兩個步驟，一個結論”.

關鍵詞：數(shù)學歸納法；使用不當；加強命題

數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的一種重要方法，在各級各類考試中有廣泛應用。使用數(shù)學歸納法證題必須要有兩個步驟，一是作為歸納的基礎，二是歸納遞推，即對某些與正整數(shù)有關的命題常采用下面的方法來證明它們的正確性：①當n取第一個值n0時，命題成立；②假設當n=k（k∈N*且k≥n0）時命題成立，證明當n=k+1時，命題也成立，這種方法叫做數(shù)學歸納法。用數(shù)學歸納法證明一個命題的基本結構是“兩個步驟，一個結論”。這種方法粗看起來好像是一種萬能的，只要是與正整數(shù)有關的命題都能證明，但實際操作起來并非易事，學生經常犯以下錯誤，有的不重視第一步的驗證，有的對n的第一個值不仔細研究誤認為是1；有的只是形式上用數(shù)學歸納法進行了照葫蘆畫瓢式的書寫，其實由于沒有使用歸納假設或根本不會變形使用歸納假設，而繞開最關鍵的步驟，致使形式上好像進行了證明，其實并沒有證明，造成錯誤，因此，證明時①和②這兩個步驟缺一不可，步驟①是步驟②的基礎，步驟②是遞推的依據(jù)。關鍵是第二步：怎樣由假設n=k成立，推證出n=k+1時，命題成立，以及如何根據(jù)題目條件，再創(chuàng)造條件，巧妙使用歸納假設是證明的難點。

數(shù)學歸納法雖然自有其局限性，但學生往往由于對以上情況的理解不透，把握不準，功力不夠，使用不當，在應用數(shù)學歸納法時常常感覺數(shù)學歸納法好像很容易但又常常出錯，有時又覺得對有些與正整數(shù)有關的題目數(shù)學歸納法是失效的，而陷入迷茫，甚至感到走入絕境而不知所措的誤區(qū)，致使對數(shù)學歸納法本身產生懷疑?，F(xiàn)筆者用例題加以說明，供同行參考，愿與同行探究.

參考文獻：

[1]羅增儒.數(shù)學解題引論[M].陜西師范大學出版社，2016.

[2]藍云波.例談數(shù)學歸納法的創(chuàng)新應用[J].數(shù)學通訊，2016（6）.

作者簡介：朱榮（1964.02—）男，漢族，籍貫：甘肅康樂，學歷：本科，職稱：中學高級教師，研究方向：教育教學。