扁平思維洞悉立體幾何

梁曉盟

獨白：數(shù)學(xué)是神秘的，但又是最直率的。初次面對一道數(shù)學(xué)題，或許毫無頭緒，但是當(dāng)我們把它抽絲剝繭，分化組合的時候，就會發(fā)現(xiàn)“柳暗花明又一村”。正是這種神秘和直率，讓我對數(shù)學(xué)有執(zhí)著的熱愛。

愛好：讀書、羽毛球

就讀高校&專業(yè)：北京大學(xué)/歷史學(xué)

經(jīng)常有同學(xué)說“我的空間想象能力差，所以立體幾何題做不好”我是不贊同這種觀點的一方面，空間想象能力可以通過解題培養(yǎng)；另一方面，單純強調(diào)空間想象能力是片面的立體幾何題的求解是綜合能力的體現(xiàn)，同時也是有方法可循的。

想象的駿馬

良好的空間想象能力對立體幾何的學(xué)習(xí)確實有很大的幫助，因此在平時解題時，我們要有意識地加以培養(yǎng).如平時多做一些與三視圖相關(guān)的練習(xí)，畫不同幾何體的直觀圖，研究平面截幾何體所得的截面圖形形狀，以及計算截得的幾何體的體積和表面積等問題.這些都對空間想象能力的培養(yǎng)有很大幫助.

心中有形，人圖合一

立體幾何問題的求解方法很重要，熟練掌握常見模型對提升解題速度和準(zhǔn)確率都有很大幫助.以與球有關(guān)的組合體為例，常見的求解方法有兩種：一是剖面圖，重點考查平面截球的兩條性質(zhì)，如（1）球心和截面的圓心連線與截面垂直；（2）球的半徑（R），截面圓的半徑（r）以及球心到截面的距離（d）滿足關(guān)系式R²=r²+d²；二是補體，轉(zhuǎn)化為與常見幾何體有關(guān)的問題，

我曾遇到過這樣一道題：如圖1，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為多少？

模型難求？自己來修

在面對不規(guī)則模型正面（直接）求解沒有頭緒時，割補法可以幫助我們打開思路，如圖2，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為多少？

3D？我選2D！

立體的模型有時可以把條件轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)，空間問題平面化能讓題目看起來更直觀.例如解決有關(guān)球的組合體問題經(jīng)常借助過球心和截面圓心連線的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來研究，例如：某幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體外接球的體積為多少？

化繁為簡，四兩撥千斤

在立體幾何證明題中，經(jīng)常涉及線面轉(zhuǎn)化.看到待證明的結(jié)論，切勿盲目下筆，先理清思路找到解題方向，這樣推理鏈才容易進(jìn)行，

有效的推理鏈包括兩個方面：其一是“上游命題”，即要證明一個結(jié)論常用到的理論依據(jù)，例如要證明線線平行，我們可以聯(lián)想到平行公理、線面平行的定義等；其二則是“下游命題”，即可以由已知條件得到有價值的信息.例如當(dāng)題干中出現(xiàn)面面垂直時，聯(lián)想到面面垂直的性質(zhì)定理，將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直.注重平時積累和有針對性地探究結(jié)論間的聯(lián)系，是建立和增進(jìn)推理鏈的基本方法.