基于排名的變量型主成分分析法在學(xué)生綜合成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)中的應(yīng)用

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(佳木斯大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

學(xué)生的綜合素質(zhì)的培養(yǎng)是國(guó)家未來(lái)人才培養(yǎng)的重要基礎(chǔ)，學(xué)生的課程學(xué)習(xí)成績(jī)是學(xué)生綜合素質(zhì)的一個(gè)最直觀(guān)的反映，也是學(xué)校教學(xué)效果的重要反映。通過(guò)對(duì)課程成績(jī)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)和排名，同時(shí)不但能夠了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)所處的層次，而且是教育管理工作中各種評(píng)教重要依據(jù)，是教育教學(xué)效果評(píng)價(jià)的重要內(nèi)容。

綜合評(píng)價(jià)方法大體分兩類(lèi)，不同之處主要體現(xiàn)在指標(biāo)體系的權(quán)重確定方法上。一種方式是主觀(guān)賦權(quán)法，如綜合指數(shù)法，層次分析法、專(zhuān)家評(píng)審法等。其中層次分析法在學(xué)生成績(jī)的綜合評(píng)價(jià)中應(yīng)用較多。另一種方式是客觀(guān)賦權(quán)法，如主成分分析法，因子分析法，灰色關(guān)聯(lián)法等。近幾年來(lái)，主成分分析法常常用于成績(jī)的綜合評(píng)價(jià)上，均方差法主要用來(lái)確定評(píng)價(jià)指標(biāo)體的權(quán)重[5]，秩和比綜合評(píng)價(jià)法主要用于醫(yī)療衛(wèi)生等領(lǐng)域當(dāng)中的多指標(biāo)評(píng)價(jià)問(wèn)題[6]。

在對(duì)學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)時(shí)，各科總成績(jī)的高低仍然是目前所采用的主要因素。基于原始數(shù)據(jù)，利用變量型主成分分析法探索各指標(biāo)的權(quán)重，并從學(xué)生成績(jī)排名的角度出發(fā)，重新探究學(xué)生的綜合成績(jī)，希望對(duì)學(xué)生的能力有一個(gè)更加全面的評(píng)價(jià)。

1 相關(guān)原理介紹

1.1 主成分綜合評(píng)價(jià)法

1.2 基于變量的主成分分析法

對(duì)于同樣的n名學(xué)生，p門(mén)課程，這里用X1,X2,…,Xp表示樣本觀(guān)測(cè)值即不同學(xué)生各門(mén)課程的成績(jī)，也就是說(shuō)，此時(shí)的n名學(xué)生作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，而各門(mén)課程作為樣本。首先，利用主成分分析法，根據(jù)累積貢獻(xiàn)率確定主成分的個(gè)數(shù)。其次，對(duì)主成分的內(nèi)在含義進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?。接下?lái)，計(jì)算各個(gè)樣本(課程)的主成分得分，分?jǐn)?shù)的高低反映了各門(mén)課程的重要性程度，然后對(duì)主成分得分進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)換為各門(mén)課程的權(quán)重。最后，在各門(mén)課程權(quán)重的基礎(chǔ)上，重新計(jì)算學(xué)生的綜合成績(jī)，并與原始成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)比較。

2 模型建立與求解

2.1 基于排名的主成分分析法

數(shù)據(jù)來(lái)源為某中學(xué)學(xué)生成績(jī)，課程門(mén)數(shù)9門(mén)，學(xué)生人數(shù)1383人，部分?jǐn)?shù)據(jù)見(jiàn)表1：

表1 學(xué)生成績(jī)部分?jǐn)?shù)據(jù)

基于排名的主成分分析法具體算法步驟如下：

圖1 原始成績(jī)與主成分綜合成績(jī)的回歸關(guān)系

(i)數(shù)據(jù)的導(dǎo)入與標(biāo)準(zhǔn)化

(ii)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)表計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣，并求出對(duì)應(yīng)的特征值和特征向量；

(iii)計(jì)算累積貢獻(xiàn)率，選取主成分；

(iv)將標(biāo)準(zhǔn)化原始數(shù)據(jù)帶入，計(jì)算學(xué)生成績(jī)排名的主成分綜合得分；

(v)根據(jù)得分進(jìn)行排序并與原始排名進(jìn)行比較。

應(yīng)用Spss結(jié)合MATLAB軟件得到結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 相關(guān)特征值以及方差貢獻(xiàn)率

表2是根據(jù)累積貢獻(xiàn)達(dá)到80%以上選取的主成分，即提供了原始數(shù)據(jù)指標(biāo)81.3%的信息，同時(shí)可以使原始指標(biāo)的數(shù)量由9個(gè)下降到3個(gè)。相應(yīng)的主成分因子載荷矩陣見(jiàn)表3。

表3 主成分因子載荷矩陣及特征向量矩陣

從表3可以看出，第一主成分對(duì)理數(shù)、生物、化學(xué)、物理幾個(gè)分?jǐn)?shù)解釋的比較充分，第二主成分對(duì)語(yǔ)文、英語(yǔ)、政治、歷史、地理幾個(gè)分?jǐn)?shù)解釋的比較充分，已經(jīng)包含了所有的科目。因此，第一、第二主成分的表達(dá)式為：

Z1=0.042x1+0.091x2+0.330x3+0.440x4+

0.450x5+0.449x6-0.343x7-0.260x8-0.314x9

Z2=0.410x1+0.443x2+0.324x3+0.169x4+

0.147x5+0.118x6+0.364x7+0.424x8+0.392x9由此可以得到學(xué)生各科排名的主成分綜合成績(jī)。接下來(lái)將排名主成分綜合成績(jī)與原始成績(jī)、基于分?jǐn)?shù)的主成分綜合成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)比較，具體結(jié)果見(jiàn)表4。

表4原始成績(jī)與排名主成分、分?jǐn)?shù)主成分成績(jī)的相關(guān)性

相關(guān)性原始成績(jī)分?jǐn)?shù)主成分排名主成分原始成績(jī)10.9160.899分?jǐn)?shù)主成分0.91610.994排名主成分0.8990.9941

從結(jié)果來(lái)看，三者具有很強(qiáng)的正相關(guān)性。

此外，利用線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行回歸分析見(jiàn)表5及圖1.

表5 主成分成績(jī)與原始成績(jī)排名的線(xiàn)性回歸分析

從結(jié)果來(lái)看，回歸曲線(xiàn)的R2值為0.808，F(xiàn)值接近6000，二者的線(xiàn)性回歸關(guān)系顯著。

2.2 基于主成分分析法的指標(biāo)權(quán)重

目前，主成分分析法在綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題中的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在文中2.1所研究的綜合成績(jī)的分析上面，即相當(dāng)于“樣本評(píng)價(jià)”。其實(shí)，對(duì)于各個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，也是可以進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的，甚至可以給出各個(gè)指標(biāo)的“排名”，并由此確定各個(gè)指標(biāo)的權(quán)重。

對(duì)導(dǎo)入的原始成績(jī)數(shù)據(jù)做一個(gè)轉(zhuǎn)置，利用同樣的算法得到結(jié)果見(jiàn)表6：

表6 各科主成分得分及權(quán)重

進(jìn)一步考察該結(jié)果與原始排名的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，結(jié)果見(jiàn)表7：

表7主成分權(quán)重綜合成績(jī)與原始成績(jī)排名的線(xiàn)性回歸分析

方程模型匯總R2Fdf1df2Sig.參數(shù)估計(jì)值常數(shù)b1線(xiàn)性.996317429.64811381.0001.500.998

從結(jié)果看，主成分權(quán)重下的綜合成績(jī)與原始成績(jī)的相關(guān)性非常強(qiáng)，R2值達(dá)到了0.996。

2.3 綜合評(píng)價(jià)結(jié)果分析

2.3.1 基于排名的主成分結(jié)果分析

從前面的結(jié)果來(lái)看，主成分權(quán)重的綜合成績(jī)以及排名的主成分綜合成績(jī)，與原始成績(jī)排名的正相關(guān)性是比較顯著的，但三者之間還是有明顯差異的，那么這種差異反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況,可參照前5個(gè)學(xué)生樣本數(shù)據(jù)見(jiàn)表8。

表8提取前十個(gè)學(xué)生樣本數(shù)據(jù)

語(yǔ)文英語(yǔ)理數(shù)生物化學(xué)物理政治歷史地理原始排名排名主成分主成分權(quán)重第一主成分得分第二主成分得分2153259144346361132439182-1.922-3.46743197163457645752809211-2.425-3.25975998202942363882864053173-2.133-2.84027279123271624481369354445-2.242-3.168421562793311186646441085166-1.674-3.573

從前5個(gè)學(xué)生的成績(jī)來(lái)看，第一主成分分?jǐn)?shù)的高低很好的反映了學(xué)生理科成績(jī)的優(yōu)劣。例如原始排名第二的學(xué)生第一主成分的得分最低，從成績(jī)表上也明顯能夠看出該生的理科成績(jī)很突出。此外，總分排名第一的學(xué)生，排名主成分綜合成績(jī)?yōu)榈诎?，與原始成績(jī)第二但排名主成分綜合成績(jī)第一的同學(xué)相比，能夠看出，兩個(gè)學(xué)生文理科排名各有高低，但第一名同學(xué)的理科成績(jī)排名相對(duì)較低，從而導(dǎo)致綜合排名下降。

2.3.2 主成分權(quán)重下的綜合成績(jī)分析

對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，未必在所有的科目上都能取得較好的成績(jī)，即存在所謂的“偏科”現(xiàn)象，在“偏科”學(xué)生的心里，顯然其所偏的科目在其心目中的重要性要更大一些。

主成分分析法作為基于數(shù)據(jù)的客觀(guān)評(píng)價(jià)方法，得到的各個(gè)科目的權(quán)重，反映了該總體(某年級(jí))實(shí)際的“偏科”程度，這對(duì)于全面衡量學(xué)生的綜合能力是很有意義的。從具體計(jì)算結(jié)果看，2.2中得到的主成分權(quán)重綜合評(píng)價(jià)結(jié)果與原始成績(jī)的相關(guān)性很高，同時(shí)結(jié)果的差異也是比較明顯的，原始總成績(jī)高的在主成分權(quán)重綜合成績(jī)中的排名未必高。結(jié)合表1和表8中的數(shù)據(jù)，可以看到原始成績(jī)排名第一的在主成分權(quán)重綜合排名中排第二，說(shuō)明該生在權(quán)重相對(duì)較大的科目中取得了相對(duì)較高的分?jǐn)?shù)。

3 結(jié) 語(yǔ)

學(xué)生綜合素質(zhì)的評(píng)價(jià)，是一個(gè)多因素的復(fù)雜問(wèn)題，分?jǐn)?shù)作為其中一項(xiàng)重要的衡量方式，還是有較強(qiáng)的局限性的。因此，如何充分利用多種有效的成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)方法，對(duì)學(xué)生的綜合成績(jī)進(jìn)行合理的評(píng)價(jià)就顯得十分必要了。采用的評(píng)價(jià)方法能從某個(gè)角度說(shuō)明成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)的內(nèi)在意義，并具有現(xiàn)實(shí)的意義，希望能夠給教育工作者以參考性的意見(jiàn)。

此外，研究對(duì)象是某一年級(jí)的全部學(xué)生，最終的排名是一個(gè)“大排名”，而從實(shí)際情況看，所采集的樣本是來(lái)自于多個(gè)班級(jí)的，而各個(gè)班級(jí)內(nèi)的綜合成績(jī)的研究以及班與班綜合成績(jī)的對(duì)比，也是有待進(jìn)一步研究的。例如，學(xué)生在班級(jí)內(nèi)的排名位置與其在整個(gè)年級(jí)的排名位置所反映的學(xué)生狀態(tài)、某個(gè)班級(jí)在整個(gè)年級(jí)的排名位置所反映的班級(jí)狀態(tài)等問(wèn)題都是很有研究意義的，還有待進(jìn)一步研究。