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    淺析公務(wù)員錄用考試中一次同余問(wèn)題的方法與技巧

    2018-11-08 02:34:12李青柏
    數(shù)理化解題研究 2018年28期
    關(guān)鍵詞:公倍數(shù)三位數(shù)除數(shù)

    李青柏

    (云南省昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 657000)

    一、提出問(wèn)題

    在公務(wù)員錄用考試、事業(yè)單位錄用考試、選聘高校畢業(yè)生到村任職等諸多考試中,皆涉及一次同余問(wèn)題.利用“最小公倍數(shù)作周期,余同取余,和同加和,差同減差”算法的數(shù)學(xué)原理是什么?具有普遍實(shí)用性嗎?如何利用該算法解決相關(guān)問(wèn)題?本文就對(duì)這些問(wèn)題作簡(jiǎn)要剖析.

    二、主要結(jié)論

    (1)若a1=a2=…=ak=a,則x≡a(modm);

    (2)a1+m1=a2+m2=…=ak+mk=b,則x≡b(modm);

    (3)m1-a1=m2-a2=…=mk-ak=c,即x≡-c(modm).

    證明(1)設(shè)a1=a2=…=ak=a,于是x≡a(modm1),x≡a(modm2),…,x≡a(modmk).則m1|x-a,m2|x-a,…,mk|x-a;從而[m1,m2,…,mk]|x-a,即m|x-a,故x≡a(modm).

    (2)設(shè)a1+m1=a2+m2=…=ak+mk=b,由x≡a1(modm1),x≡a2(modm2),…,x≡ak(modmk)得,m1|x-a1,m2|x-a2,…,mk|x-ak,則m1|x-a1-m1,m2|x-a2-m2,…,mk|x-ak-mk,即m1|x-b,m2|x-b,…,mk|x-b,從而[m1,m2,…,mk]|x-b,即m|x-b,故x≡b(modm).

    (3)設(shè)m1-a1=m2-a2=…=mk-ak=c,由x≡a1(modm1),x≡a2(modm2),…,x≡ak(modmk)得,m1|x-a1,m2|x-a2,…,mk|x-ak,則m1|x-a1+m1,m2|x-a2+m2,…,mk|x-ak+mk,即m1|x+c,m2|x+c,…,mk|x+c,從而[m1,m2,…,mk]|x+c,即m|x+c,故x≡-c(modm).證畢.

    三、實(shí)例

    例1 (1)一個(gè)兩位數(shù)除以4余1,除以5余1,除以6余1,則該數(shù)為_(kāi)___.

    (2)一個(gè)小于500的三位數(shù)除以5余1,除以6余2,除以8余4,則該數(shù)為_(kāi)___.

    (3)一個(gè)數(shù)除以5余3,除以6余2,除以7余1,則滿足條件的最小正整數(shù)為_(kāi)___.

    解(1)設(shè)該數(shù)為x,余數(shù)都為1,除數(shù)4,5,6的最小公倍數(shù)是60,根據(jù)定理,則x=60n+1,n∈Z.由于x是兩位數(shù),所以,當(dāng)n=1時(shí),x=61滿足條件.

    (2)設(shè)該數(shù)為x,除數(shù)5,6,8的最小公倍數(shù)為120,被除數(shù)與除數(shù)的差相等,即5-1=6-2=8-4=4,根據(jù)定理,則x=120n-4,n∈Z.由于x是小于500的三位數(shù),所以,當(dāng)n=1,2,3,4時(shí),x=116,236,356,476滿足條件.

    (3) 設(shè)該數(shù)為x,除數(shù)5,6,7的最小公倍數(shù)為210,除數(shù)與商的和相等,即5+3=6+2=7+1=8,根據(jù)定理,則x=210n+8,n∈Z.所以,當(dāng)n=0時(shí),x=8滿足條件.

    例2 一筐雞蛋:1個(gè)1個(gè)拿,正好拿完.2個(gè)2個(gè)拿,還剩1個(gè).3個(gè)3個(gè)拿,正好拿完.4個(gè)4個(gè)拿,還剩1個(gè).5個(gè)5個(gè)拿,還差1個(gè).6個(gè)6個(gè)拿,還剩3個(gè).7個(gè)7個(gè)拿,正好拿完.8個(gè)8個(gè)拿,還剩1個(gè).9個(gè)9個(gè)拿,正好拿完.問(wèn)筐里最少有多少雞蛋?

    解設(shè)這筐雞蛋共x個(gè),用同余式組表示為:

    例3 (江西省公務(wù)員考試行測(cè)2009)學(xué)生在操場(chǎng)上列隊(duì)做操,只知人數(shù)在90-110之間.若排成3排則不多不少;排成5排則少2人;排成7排則少4人.則學(xué)生人數(shù)是( ).

    A.102 B.98 C.104 D.108

    解析該數(shù)除以5余3,除以7余3,余數(shù)同為3,且5與7的最小公倍數(shù)為35,則該數(shù)為:35n+3.當(dāng)n=3時(shí),該數(shù)為108.故選答案D.

    “最小公倍數(shù)作周期,余同取余,和同加和,差同減差”具有普遍實(shí)用性.,利用本文的定理有效地化解一次同余式,使得解一次同余式組更加簡(jiǎn)捷.從而有效地回避了孫子定理中要求?;ニ氐那樾?可以歸納,得到:

    1.x除以n1余a,除以n3余a,…,除以ni余a,則x=kn+a,k∈Z,其中n為n1,n2,n3,…,ni的最小公倍數(shù);

    2.x除以n1余a1,除以n2余a2,除以n3余a3,…,除以ni余ai,若a1+n1=a2+n2=n3+a3…=ak+nk=b,則x=kn+a,k∈Z,其中n為n1,n2,n3,…,ni的最小公倍數(shù);

    3.x除以n1余a1,除以n2余a2,除以n3余a3,…,除以ni余ai,若n1-a1=n2-a2=n3-a3…=nk-ak=c,則x=kn-c,k∈Z,其中n為n1,n2,n3,…,ni的最小公倍數(shù).

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