棱錐外接球問(wèn)題的幾種求解策略

蘇藝偉

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363100)

以三棱錐和四棱錐為載體的外接球問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在各級(jí)各類的考試當(dāng)中.筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出了五種求解策略,能夠解決大部分三棱錐和四棱錐的外接球問(wèn)題,整理如下.

策略1:找出該幾何體的底面,將其水平放置,找出底面的中心(如果底面是三角形則找出外心),則球心和底面的中心連線必須和底面垂直.此法適用于較為簡(jiǎn)單的幾何體外接球問(wèn)題.

例1 已知三棱錐S-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,SC⊥面ABC,若SC=AB=AC=1,∠BAC=120°,則球O的表面積為____.

例2 已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖2,此幾何體的外接球表面積為____.

策略2 在幾何體中如果能夠找到一個(gè)點(diǎn),使得該點(diǎn)到幾何體各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,則該點(diǎn)即為球心,此法同樣適用于解決較為簡(jiǎn)單的幾何體外接球問(wèn)題.

例4 已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖(5),此幾何體的外接球體積為____.

策略3 在該幾何體中找出兩個(gè)面,分別找出這兩個(gè)面的中心,過(guò)這兩個(gè)中心作出兩條垂線分別和對(duì)應(yīng)的面垂直,則這兩條垂線的交點(diǎn)即為球心.

解析如圖7所示,取BC中點(diǎn)P,連接AP,則AP⊥BC.

可知P為直角△CDB的外心,過(guò)點(diǎn)P作面CDB的垂線,設(shè)正△ABC的外心為Q,過(guò)點(diǎn)Q作面ABC的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O.

例6 如圖8所示,在棱形ABCD中,M為AC與BD的交點(diǎn),∠BAD=60°,AB=3.將△CBD沿BD折起到△C1BD的位置.若點(diǎn)A,B,D,C1都在球O的球面上,且球O的表面積為16π,則直線C1M與面ABD所成角的正弦值為____.

解析如圖9所示,可知△C1BD和△ABD是全等的正三角形.

設(shè)正△C1BD的外心為Q,過(guò)點(diǎn)Q作面C1BD的垂線,設(shè)正△ABD的外心為P,過(guò)點(diǎn)P作面ABD的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O.

解析如圖10所示,因?yàn)镾A2+AB2=SB2,所以SA⊥AB.取SB中點(diǎn)P,AB中點(diǎn)D,連接PD,CD.

設(shè)直角△SAB的外心為P,過(guò)點(diǎn)P作面SAB的垂線,設(shè)正△ABC的外心為Q,過(guò)點(diǎn)Q作面ABC的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O.

策略4 記住幾種常用的幾何體外接球模型可以事半功倍,迅速求解.

模型一棱長(zhǎng)都相等的四面體的外接球

棱長(zhǎng)都相等的四面體稱之為正四面體,可以在正方體中找到一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的正四面體,換句話說(shuō)可以將其補(bǔ)形成一個(gè)正方體.此時(shí),正四面體的外接球即為該正方體的外接球,球心為正方體體對(duì)角線的中點(diǎn), 體對(duì)角線等于球的直徑.

模型二三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球

三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐可以補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體,其外接球即為長(zhǎng)方體的外接球.球心為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn),體對(duì)角線等于球的直徑.

例9 已知三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=2,當(dāng)三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大時(shí),其外接球的表面積為____.

此時(shí)PA,PB,PC兩兩垂直.

模型三三組對(duì)棱分別相等的三棱錐的外接球

三組對(duì)棱分別相等的三棱錐可以補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體,其外接球即為長(zhǎng)方體的外接球.球心為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn),體對(duì)角線等于球的直徑.

解析如圖13所示,將該三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體,該三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別為b,c,a.

策略5 建系法.采用建系法求解,可以避開找球心這個(gè)難點(diǎn),其步驟如下.

第一,將幾何體中的幾何要素整理清楚,弄清楚點(diǎn),線,面之間的關(guān)系.

第二,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出落在球面上的各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

第三,設(shè)球心O(x,y,z),利用球心到球面上任意一點(diǎn)的距離都等于半徑這個(gè)等量關(guān)系建立方程組.

第四,解方程組求出球心的坐標(biāo).進(jìn)而算出半徑,從而求出表面積或體積.

此法具有一定的程序性,解題規(guī)范,清晰明了,避免了尋找球心所帶來(lái)的問(wèn)題,效果甚好.

例11 一個(gè)三棱錐的三視圖如圖14,其中俯視圖是等腰直角三角形.則該三棱錐的外接球體積是____.

解析如圖15所示.易知該幾何體為三棱錐P-ABC.其中PC⊥面ABC,AC⊥CB,AC=CB=PC=2.以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2).

設(shè)球心O(x,y,z),則有|OA|=|OB|=|OC|=|OP|=R.

解析如圖16所示.根據(jù)余弦定理易得BC=2.顯然AB2+BC2=AC2,所以AB⊥CB.取AC中點(diǎn)N,連接PN,則PN⊥AC.由面PAC⊥面ABC,面PAC∩面ABC=AC,得PN⊥面ABC.作NT⊥AC,交AB于T.

設(shè)球心O(x,y,z),則有|OA|=|OB|=|OC|=|OP|=R.

由|OA|=|OC|得

由|OA|=|OB|得

由|OA|=|OP|得

故球表面積是18π.

(1)該多面體是三棱錐;(2)面BAD⊥面BCD;(3)面BAC⊥面ACD；(4)該多面體外接球的表面積為5π.

解析如圖18所示,該幾何體為一個(gè)三棱錐B-ACD,點(diǎn)P為BD中點(diǎn),各棱長(zhǎng)度如圖所示.取AC中點(diǎn)E,連接BE,DE,則BE⊥AC,DE⊥AC,故∠BED即為二面角B-AC-D所成的平面角.由于EB2+ED2=BD2,所以

∠BED=90°,故面BAC⊥面ACD.同理可證∠APC=90°,故面BAD⊥面BCD.

圖19

設(shè)球心O(x,y,z),則有|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=R.

由|OA|=|OB|

由|OA|=|OC|

由|OA|=|OD|

故此三棱錐的外接球表面積是5π.