圓的對稱性等價性研究及分類標(biāo)準(zhǔn)探索

湖北省赤壁市第一初級中學(xué)(437300) 李道生

湖北省赤壁市實驗中學(xué)(437300) 葉應(yīng)忠 吳海林

圓是軸對稱圖形,過圓心的任何一條直線都是它的對稱軸.因此,圓的軸對稱性超越一切平面圖形,達到了平面圖形軸對稱性的最高境界,即軸對稱到不能再軸對稱了.

圓不僅是中心對稱圖形,而且獨具旋轉(zhuǎn)不變性(繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與原圖形重合).因此,圓的中心對稱性無與倫比,達到了平面圖形中心對稱性的最高境界,中心對稱到不能再中心對稱了.

總之,不論是圓的軸對稱性還是圓的旋轉(zhuǎn)不變性,都具有舉世無雙、獨一無二、登峰造極的特點.

因此,圓的兩大對稱性的對稱程度不存在誰強誰弱,而是平起平坐、不分上下,于是猜想這兩大對稱性應(yīng)是等價關(guān)系(以美起真),其猜想的思維過程如下:

若曲線C為圓,則過定點O(即圓心)的任—條直線皆為曲線C(即圓)的對稱軸;反之,由圓的軸對稱性的獨一無二性,我們猜想:若過某定點O的任一直線,皆為某一條封閉曲線C的對稱軸,則曲線C為圓.

于是有:過某定點O的任—直線,皆為某一條封閉曲線C的對稱軸?曲線C為圓.

若曲線C為圓,則曲線C繞某定點O(即圓心)旋轉(zhuǎn)任意角度皆與本身重合;反之,由圓的旋轉(zhuǎn)不變性的獨一無二性,我們猜想:若曲線C繞某定點O旋轉(zhuǎn)任意角度皆與本身重合,則曲線C為圓.

于是有:曲線C為圓?曲線C繞某定點O旋轉(zhuǎn)任意角度皆與本身重合.

綜合有:過某定點O的任—直線,皆為某一條封閉曲線C的對稱軸(軸對稱性)?曲線C為圓?曲線C繞定點O旋轉(zhuǎn)任意角度皆與本身重合(旋轉(zhuǎn)不變性).因此:圓的軸對稱性?圓的旋轉(zhuǎn)不變性.

由此,我們作出如下預(yù)測:

預(yù)測1“圓的軸對稱性與圓的旋轉(zhuǎn)不變性是等價的”.即圓的兩種最高境界的對稱性,內(nèi)部是和諧統(tǒng)一的,是圓的同一本質(zhì)的兩種不同表現(xiàn)形式.

因此,作為反映圓的軸對稱性的垂徑定理與作為反映圓的旋轉(zhuǎn)不變性的圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系定理應(yīng)具有等價關(guān)系,應(yīng)可互相證明,即:

預(yù)測2垂徑定理?圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系定理

事實確實如此,我們既可由垂徑定理推出關(guān)系定理(“圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系定理”,簡稱為“關(guān)系定理”),也可由關(guān)系定理推出垂徑定理(注意,我們是不利用“圓的定義”的前提下,兩個定理的互推).

1、垂徑定理→圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系定理

如圖1,已知∠A′OB′=∠AOB,OE⊥AB,垂足為D,E在⊙O上,OE′⊥A′B′,垂足為D′,E′在⊙O上,求證:弧AB=弧A′B′,AB=A′B′,OD=OD′.

圖1

證明因為,OE⊥AB,垂足為D,E在⊙O上;OE′⊥A′B′,垂足為D′,E′在⊙O上.所以,AD=DB,A′D′=D′B′(垂徑定理),所以,OA=OB,OA′=OB′(線段垂直平分線的性質(zhì)).連接A′B,過圓心O作FH⊥A′B交⊙O于F、H兩點,垂足為G.則A′G=GB,弧A′F= 弧FB(垂徑定理),故△A′OG～=△BOG,∠A′OG=∠BOG,OA′=OB,從而,OA=OB=OA′=OB′.又 ∠AOB= ∠A′OB′,所以,△AOB～=△A′OB′,AB=A′B′,OD=OD′. 因為,∠A′OG= ∠BOG,∠A′OB′=∠AOB,所以,∠HOB′= ∠HOA.連接B′A,因為,OB′=OA(已證),所以,OH⊥AB′(等腰三角形三線合一),所以,弧B′H=弧AH(垂徑定理).因為,FH為⊙O的直徑,所以,弧FB+ 弧BA+ 弧AH= 弧FA′+ 弧A′B′+ 弧B′H(圓的軸對稱性,實質(zhì)是垂徑定理).因為,弧FB=弧FA′,弧AH= 弧B′H(已證),所以,弧AB= 弧A′B′.

2、圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系定理→垂徑定理

圖2

如圖2,已知,AB為⊙O的弦,直徑EF⊥AB于D,交⊙O于點E、F,求證:AD=DB,弧AF=弧FB,弧AE=弧BE.

證明連接OA、OB,作∠AOB的平分線OF′交⊙O于F′,交AB于D′,連接AF′,BF′,作OG⊥AF′于G,OH⊥F′B于H,設(shè)OF′的反向延長線交⊙O于E′,則弧AF′= 弧F′B,AF′=F′B,OG=OH(關(guān)系定理),又∠AOE′= ∠BOE′(平角定義),所以,弧AE′=弧BE′(關(guān)系定理).在 Rt△OGF′與 Rt△OHF′中,因為,OG=OH,OF′為公共邊,所以,Rt△OGF′～=Rt△OHF′,所以,∠OF′G=OF′H,又AF′=BF′(已證),D′F′為公共邊,所以,△AF′D′～=△BF′D′,所以,AD′=BD′,∠AD′F′= ∠BD′F′=90°,即OF′為AB的垂直平分線,所以,OA=OB,所以,OD與OD′重合(等腰三角形三線合一),從而,F與F′重合,E與E′重合.故EF與E′F′重合,因為,AD′=BD′,弧AF′= 弧F′B,弧AE′=弧BE′(已證),所以,AD=BD,弧AF=弧FB,弧AE=弧BE(F與F′重合,E與E′重合所致).

具體嘗試,驗證猜想,發(fā)現(xiàn)果真如此時,其帶給我們思維的愉悅造成心靈的震憾將無以復(fù)加.如若只死記套用,絢麗多姿的圓將失去其奪目的光彩.

可見,圓的軸對稱性與中心對稱性達到極致后實現(xiàn)了統(tǒng)一,至此,還從未見過那位老師考慮過圓的兩類對稱性(及其代表性定理)之間的等價關(guān)系,更談不上有心用圓的軸對稱性圓的旋轉(zhuǎn)不變性.而是按傳統(tǒng)慣常的認(rèn)識,認(rèn)為圓的性質(zhì)分為兩大類,—類反映圓的軸對稱性(由圓的軸對稱性或垂徑定理進行證明);一類反映圓的旋轉(zhuǎn)不變性(由圓的旋轉(zhuǎn)不變性或關(guān)系定理進行證明).圓就是通過兩大對稱性來發(fā)號施令、引領(lǐng)眾生,據(jù)此編制知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖如下:

根據(jù)上面研究的圓的軸對稱性與圓的旋轉(zhuǎn)不變性的等價關(guān)系的預(yù)測,再來分析如上編織的圓的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖,就會產(chǎn)生如下疑問:圓的任一性質(zhì)若可由軸對稱性推出,則也可由旋轉(zhuǎn)不變性推出,反之亦然.那么,圓的性質(zhì)若可看作反映圓的軸對稱性,則也可看作反映圓的旋轉(zhuǎn)不變性.因此,劃歸軸對稱之列的性質(zhì)也可劃歸旋轉(zhuǎn)不變性之列,反之亦然.即圓的兩類對稱性質(zhì)是統(tǒng)一的,并沒有絕對的分界線.

那么,上面圓的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖劃歸的依據(jù)是什么?我們常說某性質(zhì)反映圓的軸對稱性,某性質(zhì)反映圓的旋轉(zhuǎn)不變性是什么原因?是根據(jù)證明該性質(zhì)時使用的軸對稱性或是旋轉(zhuǎn)不變性為依據(jù)來劃分的嗎?如此看,根據(jù)圓的軸對稱性與圓的旋轉(zhuǎn)不變性的等價性,用圓的軸對稱性證明的性質(zhì)也可用圓的旋轉(zhuǎn)不變性來證明,那么,劃歸軸對稱性之列的性質(zhì)也可劃歸到旋轉(zhuǎn)不變性之列中去,反之亦然.究竟劃歸的依據(jù)是什么?

我們認(rèn)為,劃分標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)是如下兩個方面:一是根據(jù)性質(zhì)的證明是采用的圓的軸對稱性或是圓的旋轉(zhuǎn)不變性來劃分(注意,證明選擇圓的軸對稱性或是圓的旋轉(zhuǎn)不變性,要以自然簡單為準(zhǔn)),二是根據(jù)與性質(zhì)相關(guān)的幾何圖形的形態(tài)呈軸對稱性還是旋旋轉(zhuǎn)不變性特征來劃分.

總之,是根據(jù)圖形的外形特征及性質(zhì)之間的相互演變關(guān)系來劃分的.如此分類處理,有利于對圓的性質(zhì)的直觀性認(rèn)識,有利于繪制條理清晰的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖,反映圓的性質(zhì)的內(nèi)在對稱性及外在結(jié)構(gòu)對稱性的關(guān)系.

如“圓的兩條平行弦所夾的弧相等”,其外形特征給人一副軸對稱的形象(見下圖3),所以劃分為軸對稱性之列更貼切些(另外,從證明方法上看,用“垂徑定理”證明比用“關(guān)系定理”證明更自然簡單,也更符合圖形的結(jié)構(gòu)特征).

又如,“同圓半徑相等”是圓的定義的直接反映,圓的兩大對稱性皆是由其推出,那么,“同圓半徑相等”劃分為何種對稱形式中更為合理呢?由于點的旋轉(zhuǎn)不變性反映的就是同圓半徑相等,且“同圓半徑相等”的動態(tài)特征呈旋轉(zhuǎn)狀(見下圖4),因此,“同圓半徑相等”劃為旋轉(zhuǎn)不變性之列是自然而然的事.

再如,由垂徑定理可演變出切線性質(zhì)定理,而垂徑定理反映圓的軸對稱性,由此,我們將切線性質(zhì)定理及推論劃歸于“軸對稱性”之列.

另如,由圓周角定理可演變出弦切角定理,而圓周角定理由同圓半徑相等推出,同圓半徑相等反映圓的旋轉(zhuǎn)不變性,故圓周角定理及弦切角定理劃歸于“旋轉(zhuǎn)不變性”之列.再看圓周角定理的推論“同弧所對的圓周角相等”,也給人一副施轉(zhuǎn)的架式(見下圖5),說明這樣劃歸是合適的(注:弦切角定理證明中利用了切線性質(zhì)定理,因此弦切角定理的劃分,不應(yīng)是單純的劃分在圓的旋轉(zhuǎn)不變性之列中,而應(yīng)放在反映兩類對稱性統(tǒng)一的地方,即圓的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖應(yīng)分三部分.這樣,編織的圓的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖,才更清晰的看出圓的性質(zhì)的演變關(guān)系).

圖3

圖4

圖5

弄清圓的對稱性的分類標(biāo)準(zhǔn),并以此繪制圓的性質(zhì)相互演變關(guān)系圖,有利于掌握圓的性質(zhì)的內(nèi)在規(guī)律性及看清各性質(zhì)之間的來龍去脈.

圓的定義是兩大對稱性的根源,兩大對稱性都是用圓的集合定義進行證明,它們統(tǒng)一于圓的定義中,兩大對稱性是圓的定義的具體形象反映,是圓的本質(zhì)特征的兩種表現(xiàn)形式.

總之,圓的定義是圓的性質(zhì)之源,反映圓的定義的形象特征是圓的兩大對稱性,以此為發(fā)端,強強聯(lián)手(兩類對稱性的極致性)、攜手前行,引出圓的所有性質(zhì)定理.圓的所有性質(zhì)定理依據(jù)其特點可分屬兩大對稱性,而實質(zhì)是統(tǒng)一的,統(tǒng)一于圓的定義中.圓的任意一個性質(zhì)既可以說是反映圓的對稱性,也可以說是反映圓的不變性,實質(zhì)一樣,只是說法不同.

觀察圓的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖,分析圓的性質(zhì)的對稱性特點,就會發(fā)現(xiàn):反映圓的軸對稱性的性質(zhì),主要反映圓的位置關(guān)系(特別是垂直關(guān)系)的對稱性(軸對稱與垂直如影隨形,故軸對稱反映位置的垂直關(guān)系是自然而然了);反映圓的旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì),主要反映幾何量關(guān)系的“變中不變性”(旋轉(zhuǎn)不變性與半徑不變?nèi)缬半S形,故旋轉(zhuǎn)不變性反映幾何量關(guān)系的“變中不變性”是自然而然了).

我們教師,只有認(rèn)識到“圓的軸對稱性與旋轉(zhuǎn)不變性是等價關(guān)系”,正本清源,才胸有成竹,編織出最科學(xué)的反映圓的本質(zhì)特征的圓的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖.

揭示圓的對稱性的等價關(guān)系,才能在教學(xué)中高屋建瓴、高瞻遠(yuǎn)矚,作為教師,應(yīng)該深入剖析教材、鉆研教材,這樣才能設(shè)計出科學(xué)的符合圓的性質(zhì)的本來面目的教學(xué)程序.否則,學(xué)生學(xué)到的一定是一堆模糊不清的性質(zhì)零件,也許通過題海戰(zhàn)術(shù),學(xué)生會解答各類型的幾何問題,但這并不能證明教學(xué)的成功.

(說起圓的對稱性,學(xué)生馬上背出軸對稱性與旋轉(zhuǎn)不變性,老生常談不奇不怪,引不起內(nèi)心激動的反映.我們學(xué)習(xí)知識如能深層次挖掘,挖出新意觸及靈魂產(chǎn)生心靈震憾,進而知識升華,才能被知識內(nèi)在美所感動,知識才能深入骨髓溶于血液.對圓的兩大對稱性,首先要感受軸對稱到極致,超越一切平面圖形,中心對稱到極致,獨具旋轉(zhuǎn)不變性.再想象兩大對稱性皆達頂峰,那對稱程度一定不存在誰強誰弱,而應(yīng)平起平坐.于是猜想這兩大對稱性應(yīng)是等價關(guān)系,可以相互推演,垂徑定理與關(guān)系定理應(yīng)可互相證明.當(dāng)人們具體嘗試驗證,發(fā)現(xiàn)果真如此時,其內(nèi)心的愉悅將無以復(fù)加、嘆為觀止.如若只死記套用,活生生的圓就失去了其巨大的教育價值).