數(shù)量關(guān)系，應(yīng)成為解決問題的“法寶”

黎雙娣

在2001年我國制定《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中，為了使培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力落到實(shí)處，單獨(dú)設(shè)立了解決問題這一目標(biāo)維度，應(yīng)用題不再成為獨(dú)立的教學(xué)內(nèi)容，解決問題的要求被貫穿在四個基本的內(nèi)容領(lǐng)域中。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中這個做法得到延續(xù)，新課程理念下解決問題的教學(xué)，關(guān)鍵是讓學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，明確解題思路。在教學(xué)中，筆者認(rèn)為通過簡化題目、以圖示意、猜想和嘗試等途徑，讓學(xué)生根據(jù)題中的數(shù)學(xué)信息找出數(shù)量關(guān)系，掌握分析數(shù)量關(guān)系的基本方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、讀懂題意，簡化題目，提煉出數(shù)量關(guān)系

“書讀百遍，其義自見?！闭Z文閱讀要求學(xué)生讀出感情、讀出意境，數(shù)學(xué)語言簡練、精辟、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)閱讀雖然不同于語文閱讀，但要讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，感受數(shù)學(xué)語言，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)教學(xué)就離不開“讀”。在解決數(shù)學(xué)問題時，指導(dǎo)學(xué)生細(xì)讀題目，做到讀通、讀懂、讀透，通過“讀”讓學(xué)生通其義，明其理，找出題中的數(shù)量關(guān)系，使復(fù)雜問題簡單化，從而達(dá)到解決問題的目的。

在教學(xué)《百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用》時，學(xué)生遇到了這樣的題目：連州地下河的門票是150元一張，平均每天接待1000名游客。春節(jié)期間舉行門票優(yōu)惠活動，優(yōu)惠后每天的游客增加了50%，收入增加了20%，優(yōu)惠后門票的價格是多少元？學(xué)生面對這道已知信息復(fù)雜的題目無從下筆，找不到解決問題的突破口，筆者先讓學(xué)生齊讀一次題目，引導(dǎo)學(xué)生找出一個基本的數(shù)量關(guān)系式：門票價格×游客人數(shù)=收入。再讓學(xué)生自己細(xì)讀題目，理解題意算出優(yōu)惠后的收入是150×1000×（1+20%）=180000（元），優(yōu)惠后的游客人數(shù)是1000×（1+50%）=1500（人），優(yōu)惠后的門票價格是180000÷1500=120（元）。這時，學(xué)生已經(jīng)讀了兩次題目，仔細(xì)分析題意，找出數(shù)量關(guān)系解決了問題。最后讓學(xué)生再品讀一次題目，發(fā)現(xiàn)優(yōu)惠后的人數(shù)和收入都是在原來的基礎(chǔ)上分別按照一定比例變化，實(shí)際上游客人數(shù)并不影響計算的結(jié)果，因此只需要假設(shè)游客人數(shù)為單位“1”就行，數(shù)量關(guān)系式?jīng)]有變化。假設(shè)優(yōu)惠前的游客人數(shù)是1，則優(yōu)惠后的游客人數(shù)是1×（1+50%）=1.5，優(yōu)惠前的收入是150×1，則優(yōu)惠后的收入是150×1×（1+20%）=180，所以優(yōu)惠后的門票價格是180÷1.5=120（元）。通過齊讀、細(xì)讀、品讀題目的方式，幫助學(xué)生從整體上把握題目的數(shù)量關(guān)系，掌握解題方法，降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生解題的興趣。

二、動手操作，以圖示意，抽象出數(shù)量關(guān)系

蘇霍姆林斯基說：“如果哪個孩子學(xué)會畫應(yīng)用題，可以有根據(jù)地說，他一定能學(xué)會解應(yīng)用題?！倍袛嘁粋€學(xué)生是否理解題意的最佳方法是學(xué)生是否能以圖示意，以圖示意是激發(fā)學(xué)生思維和促進(jìn)學(xué)習(xí)的有效工具。

在執(zhí)教《植樹問題》一課時，筆者嘗試用以圖示意的方法去引導(dǎo)學(xué)生解決問題。出示問題：四（1）班在一條50米的公路一側(cè)植樹，每隔5米種一棵（兩端都種），一共要種多少棵樹苗？學(xué)生很快寫好了答案，紛紛舉手。筆者將不同的答案寫在黑板上：（1）50÷5=10（棵）；（2）50÷5=10（棵）10+2=12（棵）；（3）50÷5=10（棵），10+1=11（棵）。面對學(xué)生不同的想法，筆者并不急于揭曉答案，而是讓學(xué)生把題目畫出來，在左邊端點(diǎn)種一棵，一個5米種一棵，再一個5米又種一棵，讓學(xué)生跟著“5米一棵”“5米一棵”地邊說邊畫，這時生1說：我找到答案了，應(yīng)該是11棵。筆者讓學(xué)生再來畫一次，邊說邊畫：1個5米種2棵，2個5米種3棵，3個5米種4棵，4個5米種5棵……學(xué)生邊說邊“種”，這時，筆者拋出問題：50里面有幾個5米？種幾棵？全班學(xué)生異口同聲地說：50里面有10個5米，種11棵。再來觀察：1段種幾棵，2段種幾棵，3段種幾棵，4段種幾棵……最后，引導(dǎo)學(xué)生找出數(shù)量關(guān)系是“段數(shù)+1=棵數(shù)”，植樹問題就迎刃而解了。通過讓學(xué)生親自畫出直觀形象的圖找出數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，尋找解決問題的突破口。

三、猜想和嘗試，探索出數(shù)量關(guān)系

數(shù)學(xué)猜想是人們在已有的知識經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行直覺的試探，從而形成某種假設(shè)的一種思維活動和思想方法。讓學(xué)生先根據(jù)題目中的已知信息或結(jié)論作出某種猜想，然后根據(jù)猜想進(jìn)行推算，對數(shù)量關(guān)系上出現(xiàn)的矛盾進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。

在教學(xué)《雞兔同籠》時，筆者也用猜想驗(yàn)證的方法來解決問題。出示題目：“雞兔同籠，有20個頭，54條腿，雞、兔各有幾只？”讓學(xué)生先根據(jù)題目中的“籠中有20個頭”大膽猜想“雞兔各有幾只？”在猜想不正確的情況下，學(xué)生逐步感受到“如果總腿數(shù)猜多了，就要多猜雞的只數(shù)少猜兔的只數(shù)；反之，如果總腿數(shù)猜少了，就要多猜兔的只數(shù)少猜雞的只數(shù)?！币龑?dǎo)學(xué)生觀察、思考，明確解決問題的思路，探索出解決雞兔同籠問題的數(shù)量關(guān)系式是：“兔數(shù)=（實(shí)際的腿數(shù)-雞兔總數(shù)×2）÷（4-2），雞數(shù)=（雞兔總數(shù)×4-實(shí)際的腿數(shù)）÷（4-2）”。接著我介紹小知識：“雞兔同籠”問題出自我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》，書中的題目是這樣的“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”讓學(xué)生用數(shù)量關(guān)系式解答出兔子的只數(shù)：（94-35×2）÷（4-2）=12（只），雞的只數(shù)：35-12=23（只）。

讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中通過猜想與驗(yàn)證的方法，探索出數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用所學(xué)知識解決問題。

實(shí)踐證明：在解決問題的教學(xué)中，筆者認(rèn)為應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)問題的信息分析數(shù)量關(guān)系，找到解題思路，掌握解題方法，提高學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

參考文獻(xiàn)

戴曙光.數(shù)學(xué)，究竟怎么教[M].華東師范大學(xué)出版社，2016.

編輯 段麗君