實(shí)數(shù)連續(xù)性的一個小數(shù)表示公理及應(yīng)用

劉捷，宋述剛，肖志華

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

實(shí)數(shù)理論是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在實(shí)數(shù)的公理系統(tǒng)中，連續(xù)性公理是一個十分重要的命題，熟知的相互等價的系列命題有確界定理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)定理、柯西收斂準(zhǔn)則等。這些實(shí)數(shù)連續(xù)性命題在研究連續(xù)函數(shù)的分析性質(zhì)以及相關(guān)微積分理論中，起著十分重要的作用。

公理是指不需證明而直接認(rèn)為是真理的命題。在現(xiàn)行的《數(shù)學(xué)分析》教材中，有些是先認(rèn)可一個實(shí)數(shù)的連續(xù)性公理，然后再推導(dǎo)出其他等價性命題，有些則是在認(rèn)可了實(shí)數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)表示之后，進(jìn)而證明確界定理等系列實(shí)數(shù)連續(xù)性命題[1～2]，這實(shí)際上是先認(rèn)可了每一個實(shí)數(shù)都可以表示成十進(jìn)制無窮小數(shù)。魏爾斯特拉斯(Weierstrass,1815～1897)就是從十進(jìn)制小數(shù)表示出發(fā)建立的實(shí)數(shù)理論[3]。

宋述剛等[3]曾給出了實(shí)數(shù)連續(xù)性的一個新的等價命題：實(shí)數(shù)集的單調(diào)有界網(wǎng)必收斂。這是單調(diào)有界數(shù)列必收斂這一命題的推廣。以此為基礎(chǔ)可以刻畫黎曼積分的概念與函數(shù)的可積準(zhǔn)則。下面，筆者給出了實(shí)數(shù)連續(xù)性的一個命題——小數(shù)表示公理，并討論了其與實(shí)數(shù)已知連續(xù)性公理的等價性。

1 小數(shù)表示公理

十進(jìn)位小數(shù)是指形如:

a0.a1a2…an…

的表示，其中a0∈Z,an∈{

0,1,2,…,9

}。若a0∈N，則稱為非負(fù)實(shí)數(shù)，否則稱為負(fù)實(shí)數(shù)。

對于非負(fù)有盡小數(shù)：

a0.a1a2…an

其中an≠0，有以下2種無盡小數(shù)的表示：

a0.a1a2…an000…

a0.a1a2…(an-1)999…

后者稱為非規(guī)范小數(shù)，前者稱為規(guī)范小數(shù)。

關(guān)于無盡小數(shù)的大小順序、有盡小數(shù)的稠密性、四則運(yùn)算等參見文獻(xiàn)[4]。

小數(shù)表示公理任意一個實(shí)數(shù)都可表示為十進(jìn)無窮小數(shù):

a0.a1a2…an…

其中a0∈Z,an∈{

0,1,2,…,9

}。此處及以下均指規(guī)范小數(shù)。

2 小數(shù)表示公理與閉區(qū)間套定理的等價性

在多種《數(shù)學(xué)分析》教材中，一般都是用小數(shù)表示公理來證明確界原理。以下筆者用閉區(qū)間套定理證明小數(shù)表示公理。

不妨設(shè)x∈[

0,1

]，將閉區(qū)間[

0,1

] 10等分，得到10個閉區(qū)間，分別為:

(1)x不落在區(qū)間等分點(diǎn)上。以下作同一個假設(shè)。

則取x的第一位小數(shù)為x1。

再將區(qū)間[a1,b1]10等分，所得到的10個閉區(qū)間可分別表示為：

假設(shè)x落在其中一個區(qū)間中，記x所在閉區(qū)間為[a2,b2]，則x的第2位小數(shù)可記為x2。繼續(xù)不斷10等分上一步所得到的x所在的閉區(qū)間，設(shè)第k次等分區(qū)間可表示為：

假設(shè)x落在其中一個區(qū)間中，記x所在閉區(qū)間為[ak,bk]，類似的取x的第k位小數(shù)為xk。將上述步驟無限進(jìn)行下去，即可得到x的表示為:

x=0·x1x2…xk…

(2)x是某次的區(qū)間等分點(diǎn)。假設(shè)x是k次區(qū)間等分點(diǎn)：

當(dāng)x作為前一閉區(qū)間的右端點(diǎn)時，記x所在閉區(qū)間為[ak,bk]，則x的第k位小數(shù)可記為xk-1。將上述步驟無限進(jìn)行下去，x總是第10個小區(qū)間的右端點(diǎn)，即可得到x的表示為：

x=0·x1x2…(xk-1)999…

當(dāng)x作為后一閉區(qū)間的左端點(diǎn)時，則x的第k位小數(shù)記為xk。類似可得到x的表示:

x=0·x1x2…xk000…

由于上述閉區(qū)間{

[an,bn]

}滿足：

①[an,bn]?[an+1,bn+1]n=1,2,…

可得{

[an,bn]

}為一閉區(qū)間套。由區(qū)間套定理即可得，僅有唯一實(shí)數(shù)x，使：

x∈[an,bn]n=1,2,…

x可表示為x=0.x1x2…xk…的形式。確定了規(guī)范小數(shù)表示之后，上述表述仍然是唯一的。

同理可證，任意實(shí)數(shù)都可表示為十進(jìn)無窮小數(shù)。

3 應(yīng)用

實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示公理，在實(shí)數(shù)理論中有廣泛的應(yīng)用。

例1證明全體實(shí)數(shù)集R不可數(shù)。

證明因?qū)崝?shù)集R與區(qū)間(0,1)對等，只需證明(0,1)不可數(shù)。

運(yùn)用反證法。假設(shè)(0,1)中的全體實(shí)數(shù)可數(shù)，則(0,1)區(qū)間的全體實(shí)數(shù)可用一個序列表示出來，設(shè)(0,1)={x1,x2,…,xn,…}。由實(shí)數(shù)的十進(jìn)小數(shù)表示公理，每一個數(shù)的規(guī)范小數(shù)可表示為:

x1=0.a11a12…a1k…

x2=0.a21a22…a2k…

?

xn=0.an1an2…ank…

…

取x=0·b1b2…bn…，其中:

則x≠xn(n=1,2,…)，即x與(0,1)區(qū)間的任意一個實(shí)數(shù)都不相等。但顯然x∈(0,1)，故矛盾。因此(0,1)是不可數(shù)集，即全體實(shí)數(shù)集R不可數(shù)。

例2證明n維歐氏空間Rn與實(shí)數(shù)集R對等，即Rn～R。

證明要證Rn～R，只需證明R2～R，其余類似。

記集合D=(0,1)×(0,1)，因映射T:D→R2:

為一一映射，故R2～D。

同理，R～(0,1)。故只需證明D～(0,1)。

?(x,y)∈D,由小數(shù)表示公理，x,y有唯一的正規(guī)表示：

x=0.a1a2…an…

y=0·b1b2…bn…

作映射f:D→(0,1):

(x,y)→zz=0.a1b1.a2b2…anbn…

顯然，f為一一映射，故D～(0,1)。

綜上，R2～R。