“逐差法”不僅可以求加速度

李偉康 朱小勤

(蕪湖市第一中學(xué) 安徽 蕪湖 241000)

1 “逐差法”的內(nèi)涵和意義

【例1】(2006年高考重慶卷第22題)某同學(xué)用如圖1所示裝置測(cè)量重力加速度g，所用交流電的頻率為50 Hz，在所選紙帶上取某點(diǎn)為0號(hào)計(jì)數(shù)點(diǎn)，然后每3個(gè)點(diǎn)取一個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，所有測(cè)量數(shù)據(jù)及其標(biāo)記符號(hào)如圖2所示．該同學(xué)用兩種方法處理數(shù)據(jù)(T為相鄰兩計(jì)數(shù)點(diǎn)的時(shí)間間隔)：

百分差

5 創(chuàng)新點(diǎn)

(1)通過(guò)無(wú)線設(shè)備遙控測(cè)量牛頓環(huán)，使系統(tǒng)簡(jiǎn)便且易于操作．

(2)對(duì)于實(shí)驗(yàn)中的條紋數(shù)目是經(jīng)過(guò)CMOS鏡頭，將條紋清晰地顯示在電腦屏幕上，利用光敏模塊進(jìn)行計(jì)數(shù)條紋．系統(tǒng)可記錄每環(huán)數(shù)據(jù)并在液晶顯示屏上顯示，避免繁瑣的數(shù)據(jù)記錄過(guò)程，減少眼疲勞，方便瀏覽．

(3)利用角編碼器進(jìn)行測(cè)量位移，這樣就可以避免回程誤差.

(4)系統(tǒng)通過(guò)所測(cè)數(shù)據(jù)自動(dòng)計(jì)算牛頓環(huán)半徑，優(yōu)化了實(shí)驗(yàn)步驟，提高了準(zhǔn)確度，減少了誤差．

(5)斷電自動(dòng)保存實(shí)驗(yàn)所測(cè)數(shù)據(jù)，免去因線路故障丟失數(shù)據(jù)．

6 結(jié)論

改進(jìn)后的裝置與原裝置相比，百分差由2.3%降為了1.5%，誤差減少了0.8%，相對(duì)不確定度由0.68%降為0.53%．改進(jìn)后優(yōu)化了實(shí)驗(yàn)步驟，系統(tǒng)簡(jiǎn)便且易于操作，減少眼疲勞帶來(lái)實(shí)驗(yàn)誤差，有效避免了回程誤差，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，效率高效．

圖1 例1題圖

圖2 紙帶

從數(shù)據(jù)處理方法看，在s1，s2，s3，s4，s5，s6中，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果起作用的，方法A中有________；方法B中有____________________．因此，選擇方法______(A或B)更合理，這樣可以減少實(shí)驗(yàn)的________(系統(tǒng)或偶然)誤差．本實(shí)驗(yàn)誤差的主要來(lái)源有____________________(試舉出兩條)．

答案：s1,s6；s1,s2,s3,s4,s5,s6；B；偶然；阻力(空氣阻力，振針的阻力，限位孔的阻力，復(fù)寫(xiě)紙的阻力等)，交流電頻率的波動(dòng)，長(zhǎng)度測(cè)量，數(shù)據(jù)處理方法等．

“逐差法”是一種逐一相減的數(shù)據(jù)處理方法，通過(guò)大量數(shù)據(jù)的使用和逐一相減，使正負(fù)誤差盡量抵消，從而起到減小物理實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)偶然誤差的作用．例1中由于方法A中對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果起作用的只有s1和s6，對(duì)減小偶然誤差沒(méi)有幫助，而方法B中對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果起作用的是全部數(shù)據(jù)，正負(fù)誤差抵消較為充分，起到了有效減小偶然誤差的作用，所以方法B更合理．因此，在物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理上，方法B才真正體現(xiàn)“逐差法”的內(nèi)涵．而其意義正是“充分減小偶然誤差”．

“逐差法”的操作要領(lǐng)是盡量充分地利用已測(cè)量數(shù)據(jù)，通過(guò)觀察進(jìn)行逐差組合，分組求解后再求平均值．對(duì)于連續(xù)的偶數(shù)段數(shù)據(jù)，可以將全部數(shù)據(jù)分成連續(xù)的“兩大段”，再行求解．

2 “逐差法”的思想根源和等效表現(xiàn)

“逐差法”的思想根源是“多次測(cè)量求平均值”以減小偶然誤差，理解了這一點(diǎn)，學(xué)生就不至于只拘泥于“逐差法”的形式，才能在非一般情況下做到靈活變通，準(zhǔn)確求解．

“逐差法”的等效處理方式是圖像法(如“逐差法”求加速度和利用s-T2的斜率求加速度是等效的)，兩者都能達(dá)到充分抵消正負(fù)誤差的效果．相比之下，“逐差法”求解快速，而圖像法直觀，容易發(fā)現(xiàn)、剔除個(gè)別錯(cuò)誤數(shù)據(jù)．

3 “逐差法”的拓展應(yīng)用和靈活處理

在線性關(guān)系的數(shù)據(jù)處理上，“逐差法”可以拓展到中學(xué)各種實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中，只是為了方便應(yīng)用，可能要對(duì)數(shù)據(jù)的關(guān)系做些形式的變通．

3.1 “舍小取偶逐差法”

【例2】(2017年高考全國(guó)Ⅰ卷第22題)某探究小組為了研究小車在桌面上的直線運(yùn)動(dòng)，用自制“滴水計(jì)時(shí)器”計(jì)量時(shí)間．實(shí)驗(yàn)前，將該計(jì)時(shí)器固定在小車旁，如圖3所示．實(shí)驗(yàn)時(shí)，保持桌面水平，用手輕推一下小車．在小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滴水計(jì)時(shí)器等時(shí)間間隔地滴下小水滴，圖4記錄了桌面上連續(xù)的6個(gè)水滴的位置．(已知滴水計(jì)時(shí)器每30 s內(nèi)共滴下46個(gè)小水滴)

(1)由圖4可知，小車在桌面上__________(填“從右向左”或“從左向右”)運(yùn)動(dòng)的．

(2)該小組同學(xué)根據(jù)圖4的數(shù)據(jù)判斷出小車做勻變速運(yùn)動(dòng)．小車運(yùn)動(dòng)到圖4中A點(diǎn)位置時(shí)的速度大小為_(kāi)_____m/s，加速度大小為_(kāi)_____m/s2．(結(jié)果均保留2位有效數(shù)字)

圖3 例2題圖

圖4 小水滴位置

解析：現(xiàn)只分析加速度的“逐差法”求解．

一般有以下3種處理方式，均為“奇段取偶”，只采用部分?jǐn)?shù)據(jù)．

Ⅰ．舍掉第一段，變?yōu)榕紨?shù)段

0.037 125 m/s2≈0.037 m/s2

Ⅱ．舍掉最后一段，變?yōu)榕紨?shù)段

0.037 687 5 m/s2≈0.038 m/s2

Ⅲ．舍掉中間一段，變?yōu)榕紨?shù)段

0.037 5 m/s2≈0.038 m/s2

那么，標(biāo)準(zhǔn)答案應(yīng)該給多少呢？筆者在網(wǎng)上搜索的結(jié)果基本上都是0.037 m/s2．若如此，則處理方式Ⅱ和Ⅲ就是錯(cuò)誤的．那么，若標(biāo)準(zhǔn)答案給的是0.037 m/s2或0.038 m/s2呢？

我們?cè)倏匆幌缕渌幚矸绞剑丛?段數(shù)據(jù)中任選兩段求解

……

那么，若采用“全數(shù)據(jù)處理”方式又會(huì)分別得出什么結(jié)果呢？

Ⅳ．重復(fù)使用“小數(shù)據(jù)”段

0.037 687 5 m/s2≈0.038 m/s2

Ⅴ．重復(fù)使用“大數(shù)據(jù)”段

0.037 406 25 m/s2≈0.037 m/s2

由此可以看出，命題者除了旨在考查“逐差法”外，還兼顧考查了對(duì)誤差來(lái)源的認(rèn)識(shí)和減小的多種途徑的理解和處理．

我們可以把由連續(xù)奇數(shù)段數(shù)據(jù)求解相關(guān)物理量的方法概括為“舍小取偶逐差法” ．

3.2 “湊和逐差法”

【例3】(2010年高考重慶卷第22題)某同學(xué)用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)量做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體的加速度，電源頻率f=50 Hz，在紙帶上打出的點(diǎn)中，選出零點(diǎn)，每隔4個(gè)點(diǎn)取1個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，因保存不當(dāng)，紙帶被污染，如圖5所示，A，B，C，D是依次排列的4個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)，僅能讀出其中3個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)到零點(diǎn)的距離：sA=16.6 mm，sB=126.5 mm，sD=624.5 mm．

圖5 紙帶

若無(wú)法再做實(shí)驗(yàn)，可由以上信息推知：

(1)相鄰兩計(jì)數(shù)點(diǎn)的時(shí)間間隔為_(kāi)_______s；

(2)打C點(diǎn)時(shí)物體的速度大小為_(kāi)_______m/s(取2位有效數(shù)字)；

(3)物體的加速度大小為_(kāi)_______(用sA，sB，sD和f表示) ．

解析：現(xiàn)只分析加速度的“逐差法”求解．易知，AB段距離sAB=sB-sA，BD段距離

sBD=sD-sB

但考慮已知數(shù)據(jù)的局限性，根據(jù)上述做法很難得出加速度的表達(dá)式，現(xiàn)靈活處理如下

sBC-sAB=aT2

sCD-sAB=2aT2

兩式相加后，得

(sBC+sCD)-2sAB=3aT2

即

sBD-2sAB=3aT2

亦即

又

所以

3.3 “倒數(shù)逐差法”

【例4】(2014年高考浙江卷第21題)在“探究彈力和彈簧伸長(zhǎng)的關(guān)系”時(shí)，某同學(xué)把兩根彈簧如圖6連接起來(lái)進(jìn)行探究.

圖6 例4題圖

(1)某次測(cè)量如圖7所示，指針示數(shù)為_(kāi)_____cm.

圖7 測(cè)量示數(shù)

(2)在彈性限度內(nèi)，將50 g的鉤碼逐個(gè)掛在彈簧下端，得到指針A，B的示數(shù)LA和LB如表1所示.用表中數(shù)據(jù)計(jì)算彈簧Ⅰ的勁度系數(shù)為_(kāi)_____N/m(重力加速度g=10 m/s2).由表1中數(shù)據(jù)______(填“能”或“不能”)計(jì)算出彈簧Ⅱ的勁度系數(shù).

表1 指針示數(shù)

解析:現(xiàn)只針對(duì)彈簧Ⅰ的勁度系數(shù)的求解做如下討論(為便于比較差異，以下保留3位小數(shù)).

(1)單組數(shù)據(jù)求解

三者取平均值

(2)“逐差法”求解

所以

κ=12.500 N/m

由上述不同的求解方法，可以看出所求結(jié)果大小呈現(xiàn)多樣性，這是偶然誤差的表現(xiàn)，而“逐差法”所求結(jié)果在各個(gè)數(shù)值中居中位，這是偶然誤差減小的體現(xiàn)．

3.4 “整體逐差法”

【例5】某研究性學(xué)習(xí)小組利用伏安法測(cè)定某一電池組的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻(電動(dòng)勢(shì)約為6 V，內(nèi)阻約為2 Ω)，實(shí)驗(yàn)原理如圖8所示，其中，虛線框內(nèi)為用靈敏電流計(jì)?改裝的電壓表V○，A○為標(biāo)準(zhǔn)電流表，E為待測(cè)電池組，S為開(kāi)關(guān)，R為滑動(dòng)變阻器，R0是標(biāo)準(zhǔn)阻值為4.0 Ω的定值電阻．已知靈敏電流計(jì)?的滿偏電流Ig=100 μA、內(nèi)阻約Rg=2.0 kΩ．若要改裝后的電壓表滿偏電壓為6 V，需測(cè)量靈敏電流計(jì)的內(nèi)阻，研究性學(xué)習(xí)小組決定用半偏法測(cè)靈敏電流計(jì)的內(nèi)阻．

實(shí)驗(yàn)中備有下列器材：

待測(cè)電流表?(量程Ig=100 μA)；

電阻箱R′(0～99 999.9 Ω)；

滑動(dòng)變阻器R1(總電阻約5 kΩ，額定電流0.5 A)；

滑動(dòng)變阻器R2(總電阻約100 kΩ，額定電流0.5 A)；

電源E(電動(dòng)勢(shì)約為6 V，內(nèi)阻約為2 Ω)；

開(kāi)關(guān)及導(dǎo)線若干.

實(shí)驗(yàn)步驟：

(1)若采用如圖9所示的電路測(cè)定靈敏電流計(jì)的內(nèi)阻，并且要想得到較高的精確度，那么，以上備用的器材中，滑動(dòng)變阻器R應(yīng)選用__________．

(2)若實(shí)驗(yàn)中測(cè)得待測(cè)靈敏電流計(jì)的內(nèi)阻Rg=2.0 kΩ，現(xiàn)要想將此靈敏電流計(jì)改裝成量程為6 V的電壓表，則改裝的方法是將靈敏電流計(jì)與電阻箱R′________聯(lián)，并將電阻箱的阻值調(diào)為_(kāi)_______Ω．

(3)請(qǐng)將電路圖圖8補(bǔ)充完整．

圖8 實(shí)驗(yàn)原理圖

圖9 測(cè)定靈敏電流計(jì)內(nèi)阻

(4)某次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 電壓表、電流表示數(shù)

該小組借鑒“研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)中計(jì)算加速度的方法(逐差法)，計(jì)算出電池組的內(nèi)阻r=______Ω(保留3位有效數(shù)字)．

解析：現(xiàn)只針對(duì)電池組的內(nèi)阻r的“逐差法求解”分析如下.

由于本實(shí)驗(yàn)中，改裝后的電壓表所測(cè)并非電池組的路端電壓，所以無(wú)法直接求出電池組內(nèi)阻，但可以把定值電阻R0等效為電池組內(nèi)阻的一部分，先用逐差法求出r+R0，再得到r的大小．

所以

r+R0=

5.625 Ω

即

r=1.63 Ω

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，“逐差法”不僅可以求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度，它實(shí)際上是線性關(guān)系數(shù)據(jù)處理的一般方法．在中學(xué)理科實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中，都可以借鑒該種方法，線性變通后使用，應(yīng)引起中學(xué)教師和考試命題者的關(guān)注．以上例題，也能反映出相關(guān)考試的一種命題趨勢(shì)，“逐差法”處理數(shù)據(jù)準(zhǔn)確快速的這一優(yōu)勢(shì)，也必然會(huì)在今后的高考等各種考試中進(jìn)一步體現(xiàn)出來(lái)．