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    尋覓命題依據(jù) 把握教學(xué)方向*
    ——對2018年全國高考數(shù)學(xué)卷I理科第12題的探析

    2018-11-06 06:14:48王淼生林晴嵐
    教學(xué)月刊(中學(xué)版) 2018年28期
    關(guān)鍵詞:三視圖六邊形四邊形

    □王淼生 林晴嵐

    (廈門第一中學(xué),福建廈門 361003;福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部,福建福州 350025)

    萬眾矚目的2017年版普通高中數(shù)學(xué)課程標準已閃亮登場,期盼已久的新版高中數(shù)學(xué)教材呼之欲出.以立德樹人及學(xué)科核心素養(yǎng)為聚焦的課程改革正在穩(wěn)步推進,我們迎來了備受關(guān)注的2018年高考.本文對2018年全國高考數(shù)學(xué)卷I理科第12題進行探析,尋覓專家命題依據(jù),從中洞察高考試題有哪些變化,折射怎樣的命題理念,又帶給我們什么教學(xué)啟示.

    一、真題呈現(xiàn)

    例題已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

    二、命題依據(jù)

    讓我們一起來回顧《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》(以下簡稱《新課標》)第123~125頁中的案例,就能尋覓到專家命題的依據(jù).當我們用一個平面截正方體,截面的形狀會是怎樣的呢?

    《新課標》首先提出:如果截面是三角形,可以截出幾類不同的三角形?為什么?如果截面是四邊形,可以截出幾類不同的四邊形?為什么?還能截出哪些多邊形?為什么?

    《新課標》進一步提出:能否截出正五邊形?為什么?能否截出直角三角形?為什么?有沒有可能截出邊數(shù)超過6的多邊形?為什么?是否存在正六邊形的截面?為什么?

    《新課標》最后還提出:截面面積最大的三角形是什么形狀的三角形?為什么?

    《新課標》之所以設(shè)計系列問題串,是為了教師在教學(xué)過程中,以人為本、以生為本,針對不同學(xué)生來設(shè)計不同的教學(xué)方式,在最近發(fā)展區(qū)開展教學(xué),凸顯高中數(shù)學(xué)新課程理念:“人人都獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”同時提醒一線教師,可以引導(dǎo)學(xué)生通過多種方法實施研究.比如,通過切蘿卜塊觀察截面以啟發(fā)思路;通過往透明正方體盒子里面注入有顏色的水,觀察不同擺放位置、不同水量時的液體表面形狀來操作實驗;還可以通過現(xiàn)代信息技術(shù)直觀快捷地展示各種可能的截面來觀察截面變化過程.

    《新課標》之所以設(shè)計螺旋上升的問題串,意在讓學(xué)生經(jīng)歷逐漸深入的探究過程,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力,在具體情境中提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象以及邏輯推理等核心素養(yǎng),積累數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗.

    三、提出問題

    例題題意清晰,短小精悍,優(yōu)雅高質(zhì),一經(jīng)出爐立即吸引一線教師眼球,成為截面問題的完美典范.由于例題作為選擇題,參考答案僅僅只給出正確答案為A.閱卷得分數(shù)據(jù)表明此題得分較高.無論一線教師還是學(xué)生,通常都認為作為高考選擇題壓軸題,理應(yīng)有一定難度,甚至較大難度,縱使得分較低,甚至很低也屬正?,F(xiàn)象,歷年來的高考便是證明.

    高考結(jié)束后,筆者求證不少考生,幾乎異口同聲地回答:“很簡單,截面就是正六邊形.”筆者特意請教不少同行,查閱相關(guān)期刊,同時關(guān)注網(wǎng)絡(luò),幾乎都是沒有經(jīng)過任何推理論證而直接默認面積最大時的截面就是正六邊形.

    然而,筆者一直在思考:為何面積最大時只能是正六邊形呢?為何正六邊形面積就是最大?如何證明正六邊形面積最大?為何想到正六邊形呢?為何不是正五邊形?為何不能是正四邊形(即正方形)?正如愛因斯坦教誨:“提出一個問題往往比證明一個問題更重要,因為解決問題也許僅是一個教學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?而提出新的問題,新的可能性,從新的角度看舊的問題,都需要創(chuàng)造性的想象力,而且標志著科學(xué)的真正進步.”

    四、似曾相識

    客觀地講,例題中所涉及的截面問題并不新穎.比如,我們在網(wǎng)絡(luò)、教輔書及各地模擬試卷中經(jīng)常遇見以下試題:

    例1:用一平面截正方體后得到的截面不可能是以下哪種圖形____________.

    ①鈍角三角形;②直角三角形;③正三角形;④菱形;⑤不是矩形的平行四邊形;⑥正五邊形;⑦正六邊形.

    例2:若一個平面與一個正方體各條棱所成的角均相等,則該角的正弦值為________.

    例3:若一個平面與正方體6個面所成的銳二面角均相等,則該角的余弦值為 .

    五、各類截面

    正方體是立體幾何中的重要模型之一,既是中心對稱又是軸對稱圖形.因正方體有六個面,因此用一個平面α去截正方體,縱使α與正方體所有面均相交,至多六條交線,因此不可能出現(xiàn)七邊以上的凸多邊形.據(jù)此可知用一個平面截正方體,其截面只可能為三角形、四邊形、五邊形及六邊形.為了便于說明問題,本文均以單位正方體ABCDA1B1C1D1為例.

    (一)截面為三角形

    在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1,A1D1,A1A上各取一點E,F(xiàn),G,連接EF,F(xiàn)G,GE,即可得到截面三角形EFG.設(shè)A1E=m,

    (1)若m,n,p互不相等,如圖1所示,由余弦定理得∠EFG,∠FGE與∠GEF均為銳角,說明截面△EFG為銳角三角形,不可能為直角三角形,也不可能為鈍角三角形.

    (2)若m,n,p有且僅有兩個相等,如圖1所示,不妨設(shè)m=n,則FG=GE,則截面△EFG是以EF為底邊的等腰三角形.

    (3)若m,n,p均相等,如圖1所示,則EF=FG=GE,故△EFG為正三角形.

    特別地,當m=n=p=1,即E,F(xiàn),G分別與B1,D1,A重合時,如圖2所示,此時△EFG面積是截面為三角形所能達到的最大值,且為,這正是例題中選項D.由此看來,命題專家設(shè)置選項D有理有據(jù),并非空穴來風(fēng).

    圖1

    圖2

    綜上所述,得到以下結(jié)論.

    結(jié)論1:若一個平面截正方體,所得截面為三角形時,其截面只能為銳角三角形(含正三角形、等腰三角形),不可能為直角三角形,也不可能為鈍角三角形.

    (二)截面為四邊形

    (1)正方形:只要平面α與正方體任一面平行,此時平面α截正方體所得截面就是正方形,如圖3所示.

    (2)矩形:只要平面α過正方體的一條棱且不與正方體的面重合,或者平面α與一條棱平行,所得截面就是矩形,如圖4、圖5及圖6所示.

    圖3

    圖4

    圖5

    圖6

    (3)菱形:如圖7所示(只要E,F(xiàn)為中點即可).

    (4)非矩形的平行四邊形:如圖8所示.

    (5)梯形:如圖9所示(只要平面α與平面ABCD斜交,且C1G≠C1F).

    圖7

    圖8

    圖9

    圖10

    值得注意的是:不可能為直角梯形.對于圖9,采用反證法:若為直角梯形,不妨設(shè)∠HGF為直角,則HG ⊥ GF,HG ⊥B1C1,依據(jù)線面垂直的判定定理可知HG與平面A1B1C1D1垂直,這與斜交相矛盾.

    (6)等腰梯形:如圖9(只要C1G=C1F)、如圖10所示.

    綜上所述,得到以下結(jié)論.

    結(jié)論2:若一個平面截正方體,所得截面為四邊形時,其截面可能正方形、菱形、矩形、非矩形的平行四邊形、梯形(含等腰梯形),但不可能為直角梯形.

    (三)截面為五邊形

    必須指出的是:無論對于圖11,還是對于圖12,不可能為正五邊形.以圖11為例,若為正五邊形,由對稱性,則需要保證AE=EF=FG,利用勾股弦定理容易得到矛盾.

    結(jié)論3:若一個平面截正方體,所得截面為五邊形時,其截面不可能為正五邊形.

    圖11

    圖12

    (四)截面為六邊形

    結(jié)論4:若一個平面截正方體,所得截面為六邊形時,其截面可能六邊形、正六邊形(只要取棱的中點),如圖13所示.

    根據(jù)上述詳細剖析,我們得到例1的答案為①②⑥.

    圖13

    六、規(guī)范解答

    我們知道正方體有12條棱,要使12條直線與平面α所成角均相等,是一件困難的事情,但注意到正方體中有些棱所在直線相互平行,因此只要保證3條直線(即共同一頂點的三條直線)與平面α所成角相等即可.這正是例2所要研究的問題,如圖2所示,顯然此時三棱錐A1-AB1D1為正三棱錐,不難求得該角的正弦值為.正是基于三棱錐A1-AB1D1為正三棱錐,因此截面AB1D1與正方體6個面所成銳二面角相等,截面AB1D1正是上述案例4所要尋找的截面中的一個,不難求得該角的余弦值為

    正是圖2中的截面AB1D1與12條棱所成的角均相等,因此我們只要平行移動平面AB1D1,得到的任何截面都與12條棱所成的角相等,這正是例題的核心,于是我們只要尋找其中截面面積最大的截面即可.當從圖2中的截面平移到圖1的截面時,顯然截面面積越來越小;當從圖2平移到圖13時面積越來越大.一旦達到臨界面(面積最大)以后,其截面面積又開始逐步變小,因此我們利用圖13來研究并得到以下解法.

    解法2:依據(jù)正方體的對稱性,不妨設(shè)AI=AJ=B1E=B1F=D1H=D1G=t,則 有,利用相似性易得顯然HE=由圖14可得截面六邊形EFGHIJ是由兩個等腰梯形EFGH與HIJE構(gòu)成,而且可以求出等腰梯形EFGH的高為等腰梯形HIJE的高為據(jù)此可得

    圖14

    圖15

    七、啟示教學(xué)

    (一)研究試題變化

    《新課標》除內(nèi)容、結(jié)構(gòu)調(diào)整以外,最大亮點就是以立德樹人為根本宗旨,以學(xué)科核心素養(yǎng)為主要抓手.作為六大核心素養(yǎng)中的直觀想象,高考考查的主要載體就是立體幾何.前些年,各省市自主命題試卷,尤其全國卷,涉及復(fù)雜的組合體的三視圖問題成為必考試題,甚至有逐年加大難度的趨勢.2018年高考,無論是全國卷I、III,還是相關(guān)省市自主命題卷,無論是文科還是理科,明顯降低難度.比如,全國卷I(理7、文9)考查圓柱三視圖;全國卷III(理3、文3)本質(zhì)就是長方體三視圖;北京卷(理5、文6)、浙江卷(第3題)均為考查底面為直角梯形的四棱錐三視圖.有些試卷甚至根本就沒有考查三視圖,比如,全國卷II、天津卷、江蘇卷等.2018年高考凸顯的這些變化足以說明三視圖明顯在弱化,并為最終在2021年高考中進一步降低難度甚至取消三視圖考查做好鋪墊.作為六大核心素養(yǎng)中的直觀想象該如何體現(xiàn)與考查呢?命題專家通過解答題中的空間圖形翻折或旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)這一目標.比如,2018年高考全國卷I(理18)就是正方形翻折,全國卷I(文18)就是平行四邊形翻折,全國卷III(理19、文19)就是從正方體一邊為直徑的半圓的翻折,等等.

    (二)摒棄冷戰(zhàn)思維

    長期“冷戰(zhàn)思維”導(dǎo)致一線教師普遍認為全國卷就是難,壓軸題就該難倒盡量多的考生,于是教學(xué)中、考試中人為地加大、加深難度,似乎不難倒所有考生就不是好題,就不能顯示命題水平,甚至個別試題全軍覆沒,最終結(jié)果是學(xué)生苦不堪言,教師身心俱疲.仔細研讀教材,正方體(長方體的特殊情況)是立體幾何最為重要的載體,是立體幾何教學(xué)的出發(fā)點、命題的歸宿處.事實上,教材多處強調(diào)正方體截面問題,這就要求一線教師重視教材、回歸課本、夯實基礎(chǔ)、吃透課標、不忘初心,這才是取勝高考的法寶,這才是數(shù)學(xué)教育的根本.

    (三)精準把握動向

    俗話說得好:“傷其十指不如斷其一指.”研究高考試題,應(yīng)該知其然,更知其所以然.高考試題是命題專家精心設(shè)計、仔細推敲、反復(fù)打磨的結(jié)晶,凝聚專家集體智慧,因而高考試題具有權(quán)威性、輻射性、典型性、功能性及導(dǎo)向性,需要教師結(jié)合學(xué)生實際情況,深思熟慮,將一些經(jīng)典試題的內(nèi)在規(guī)律、本質(zhì)特征呈現(xiàn)在學(xué)生面前,正如波利亞指出:“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如適當選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中,提高他們的才智與推理能力.”可以說例題正是上述波利亞名言的最佳詮釋 .

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