從一道線性規(guī)劃題的錯(cuò)解說(shuō)起

廣東省深圳市紅嶺教育集團(tuán)高中部 馬 鋒

一、題目呈現(xiàn)

二、錯(cuò)解過(guò)程

1.由題意畫出可行域，如右圖陰影所示。

2.將邊界端點(diǎn)A（0，1）、B（-1，-1）的坐標(biāo)代入m。

3.由于邊界AB是虛線，結(jié)果應(yīng)為開(kāi)區(qū)間。

三、分析原因

四、解法剖析

解法一：分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想

1.當(dāng)x+y=0時(shí)，m=0。

（1）當(dāng)xy=0時(shí)，m=1；

點(diǎn)評(píng)：此解法是純粹的代數(shù)方法，主要是分類討論思想，將目標(biāo)函數(shù)恒等變形為關(guān)于斜率的“對(duì)勾”函數(shù)模型，結(jié)合反比例函數(shù)性質(zhì)，最終解決問(wèn)題。顯然，此方法過(guò)程比較煩瑣，運(yùn)算量比較大，思維細(xì)節(jié)比較多，出錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn)自然很大，具有可操作性，但不易算對(duì)。

解法二：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想

設(shè)直線l：x+y=0，過(guò)M作l的垂線，記垂足為N，連接OM，記OM的ON夾角為，則

1.當(dāng)x+y=0時(shí)，m=0。

點(diǎn)評(píng)：這種解法主要是受到平面內(nèi)兩個(gè)距離公式（即兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式）的啟發(fā)，把目標(biāo)函數(shù)恒等變形，轉(zhuǎn)化為直角三角形中一個(gè)內(nèi)角的正弦函數(shù)來(lái)處理。當(dāng)然，里面也涉及了分類討論思想，但相比解法一顯然要簡(jiǎn)潔很多，主要是少了一層討論，運(yùn)算量明顯減少，出錯(cuò)風(fēng)險(xiǎn)自然降低不少。

解法三：極坐標(biāo)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)化思想

點(diǎn)評(píng)：受目標(biāo)函數(shù)形式的啟發(fā)，結(jié)合極坐標(biāo)直角坐標(biāo)互化公式，直接轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，妙哉妙哉！此解法巧妙地回避了冗長(zhǎng)的分類討論，解法出其不意，運(yùn)算量非常小，出錯(cuò)風(fēng)險(xiǎn)極低。

解法四：平面向量轉(zhuǎn)化思想

點(diǎn)評(píng)：受目標(biāo)函數(shù)分子和分母的啟發(fā)，結(jié)合平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合恒等變形處理，最終轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題，妙哉妙哉！此解法同樣回避了冗長(zhǎng)的分類討論，解法新穎獨(dú)特，運(yùn)算量極低，想出錯(cuò)都很難！

五、反思小結(jié)

我們?cè)賮?lái)分析題目本身，求m的范圍其實(shí)就是求m的兩個(gè)最值，而本題最值的最優(yōu)解其實(shí)有無(wú)窮多個(gè)，除端點(diǎn)A，B外，只要是可行域內(nèi)邊界直線x=0（最大值點(diǎn)）和y=x（最小值點(diǎn)）上的點(diǎn)都可以！因此本題采用代入法只會(huì)弄巧成拙。進(jìn)一步思考：約束條件中第三條直線為什么沒(méi)取等號(hào)呢？實(shí)際上，如果此處取了等號(hào)，這道題將毫無(wú)命題價(jià)值，沒(méi)有任何檢測(cè)意義，學(xué)生即便是投機(jī)代入，也可以得到最終的結(jié)果，這樣將無(wú)法揭示學(xué)生的思維過(guò)程，根本沒(méi)有診斷作用，對(duì)于教學(xué)來(lái)說(shuō)，可以說(shuō)是一道“費(fèi)題”！可以料想，第三條邊界直線設(shè)置成虛線其實(shí)是命題人故意設(shè)計(jì)的一個(gè)“陷阱”，由此我們不難看出命題人的良苦用心，為了暴露代入法的弊端，苦心設(shè)計(jì)一道這樣的題目，已達(dá)到最終拯救“迷途”學(xué)生的目的，這個(gè)“套”下得真好，讓我們?yōu)橛眯淖咝牡拿}人點(diǎn)贊喝彩！這也啟示我們一線的教師，在命題選題時(shí)一定要有的放矢，題目務(wù)必有針對(duì)性和診斷性，以便更好地服務(wù)于教學(xué)工作。