各向異性海森伯自旋鏈中的超橢圓函數(shù)波解?

謝元棟

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院,廣州 510006)

(2018年5月23日收到；2018年7月22日收到修改稿)

1 引 言

對于各向異性海森伯自旋鏈模型,國內(nèi)外學(xué)者有很多的研究.研究的熱點一般偏向于求孤波或孤子等非線性解[1?10],這些工作都基于經(jīng)典或半經(jīng)典框架內(nèi).眾所周知,自旋等于1/2的低維且?guī)Ы粨Q相互作用的非線性鐵磁鏈中存在孤子解,這些解可以用解析式來表示.但自旋大于1/2的系統(tǒng)中,求孤子或其他非線性精確解析解則很困難.盡管如此,還是可以在霍爾斯坦-普里馬科夫表象(HPR)中,應(yīng)用半經(jīng)典近似,得到孤子演化的動力學(xué)方程,它們最后一般都可化作非線性薛定諤方程或者改進的非線性薛定諤方程,再在一定的參數(shù)范圍內(nèi)求其精確解析解.文獻[1—10]中的解大部分是孤子或者有一定微擾而振蕩的孤子.但一般文獻中較少考慮六階以上的高階非線性項.因為此時動力學(xué)方程變得很復(fù)雜.目前,國內(nèi)外尚未見用橢圓函數(shù)來表示這類自旋波.作者在文獻[11]中考慮第六階非線性和無窮型邊界條件,首次用橢圓函數(shù)來表示這類波動解.

本文在HPR中進一步研究各向異性海森伯自旋鏈模型.在半經(jīng)典近似條件下和周期性邊界條件下,求出了用雅可比橢圓函數(shù)的反函數(shù)的組合表示的超橢圓函數(shù)波解.

2 自旋鏈模型及其動力學(xué)方程

考慮各向異性,海森伯自旋鏈模型的哈密頓量可取下列形式[12]:

其中Sl表示第l個離子的自旋；是其z分量；J是交換相互作用；τ是各向異性參數(shù),一般來說是個小量,它的存在使總能量絕對值降低,因而影響動力學(xué)方程參數(shù)進而影響非線性解的性質(zhì)；h是外磁場；=±i(i是虛數(shù)單位)和滿足下列對易關(guān)系:

由霍爾斯坦-普里馬科夫變換(HPT)[13]并精確到al和的第四階,得

代入(1)式哈密頓量變成

這里N是自旋鏈中的總格點數(shù).玻色算符al和滿足對易關(guān)系

考慮下列連續(xù)極限

其中b是格點常數(shù).代入方程(7)可以得到

方程(10)中各量都無量綱.

3 超橢圓函數(shù)波解

對方程(10)考慮下列形式的解[18,19]:

式中振幅?是η=x?vt的實函數(shù),x和t分別是坐標(biāo)和時間變量,v是波傳播的速度；φ(η)是相位,也是η的實函數(shù).把(11)式代入方程(10),考慮到各向異性系數(shù)τ很小,即τ?1時,可以得到下列兩個衍生方程:

方程(12)可積,對其積分一次得到

把(15)式代入(13)式,忽略一、二階導(dǎo)數(shù)前面?2以上的小量,并整理得

其中

可見,精確解析解是各向異性參數(shù)趨于零時的極限.對方程(16)兩邊積分一次,得

設(shè)鏈長為L,?滿足周期性邊界條件,即

故積分常數(shù)C=0. 令y= ?2,? y′2=4y?′2,則方程(18)變成

其中初始值η0=x0?vt0.上式左邊兩項可表示為超橢圓積分,可用雅可比橢圓函數(shù)的疊加來表示[20].

令y=1得C=ν+λ?μ,則有

必須滿足:ν+λ＞μ.當(dāng)＜γ時,則方程(21)可寫成

方程(24)有解如下:

其中sn?1(?,b)為橢圓正弦函數(shù)sn(?,b)的反函數(shù),且有

(25)式可整理成

當(dāng)＞γ時,只需在(26)式中把m,γ互換,(27)式的結(jié)果不變.

方程(27)式的圖像如圖1—圖3.從圖中可見,超橢圓函數(shù)波解是周期解,明顯偏離正弦(余弦)波解.當(dāng)γ增大,亦即各向異性參數(shù)τ增大時,偏離正弦波也增大.這是預(yù)料中的問題.因為γ很小時,意味著非線性相互作用很小,尚未起作用,其解近似為線性波,但當(dāng)γ逐漸增大時,非線性項逐步起作用,大到一定程度,其效應(yīng)就顯現(xiàn)出來.如果非線性作用剛好與頻散項平衡,就得到孤子解,有偏差時就是超橢圓函數(shù)波解.

對(28)式考慮周期性邊界條件得

其中K(k)為第一類完全橢圓積分.當(dāng)γ→1,m→1時,sn?→ tanh?,(28)式變?yōu)?/p>

圖1 正負概率幅?隨變量(η?η0)的周期性變化(取k=0.5,γ=0.6,m=0.6)Fig.1.Periodic variation of probability amplitude ? with variable(η ? η0)for k=0.5,γ =0.6,m=0.6.

圖2 正負概率幅?隨變量(η?η0)的周期性變化(取k=0.5,γ=0.8,m=0.6)Fig.2.Periodic variation of probability amplitude ? with variable(η ? η0)for k=0.5,γ =0.8,m=0.6.

圖3 正負概率幅?隨變量(η?η0)的周期性變化(取k=0.8,γ=0.9,m=0.8)Fig.3.Periodic variation of probability amplitude ? with variable(η ? η0)for k=0.8,γ =0.9,m=0.8.

由歸一化條件∫|u|2dη=1理論上可以得到無量綱能級ω,即積分式滿足

(31)式的第二項不能用超橢圓積分表示.理論上而言,當(dāng)體系能量取某些值時,波動頻散項恰與非線性項作用抵消,這時就出現(xiàn)孤子.能量偏離孤子能量時,就是橢圓或超橢圓函數(shù)波.

相位的演化由方程(14)控制.由于振幅?無法表示成η的顯函數(shù),因而相位也難用解析式表示.但本文研究的是自旋概率幅的波動,這個虛數(shù)最后不會出現(xiàn).因此,相位對超橢圓函數(shù)波實際沒有影響,可以不做研究.

4 結(jié) 論

在周期性邊界條件約束下,帶交換相互作用各向異性海森伯鐵自旋磁鏈中存在超橢圓函數(shù)波解.這些解可以用第一類橢圓函數(shù)的反函數(shù)的組合來表示.在極限情況下,其解退化為正弦(或余弦)函數(shù)波解,或者能用雙曲正切函數(shù)表示的波解.由歸一化條件理論上可求出自旋鏈模型的能級,但即使用超橢圓函數(shù)也難以表達出來.這些結(jié)果對于進一步研究鐵磁自旋系統(tǒng)有一定的參考價值.