基于非線性增益遞歸滑模的船舶軌跡跟蹤動態(tài)面自適應控制

沈智鵬 張曉玲

具有動力定位系統(tǒng)的三自由度全驅動海洋工程船舶通過對船舶推進器的精確控制,可使船舶以一定姿態(tài)保持在海面某一固定位置或精確地跟蹤某一設定軌跡,以完成深?？碧?、海底管道建設、海上石油鉆探和供給等工程領域作業(yè).軌跡跟蹤屬于廣義上的動力定位,軌跡跟蹤技術的理論挑戰(zhàn)和海上新興應用需求的增長,使得相關人員對船舶軌跡控制的研究給予了極大的關注.

鑒于船舶運動方程的非線性特性,Fossen等[1]提出的反演法可有效避免對船舶模型進行線性化的要求,構造中間虛擬控制量逐步回推獲得控制律,得到閉環(huán)系統(tǒng)全局指數穩(wěn)定.船舶在航行過程中不可避免地遭受來自外部環(huán)境擾動,例如風、浪、流等的影響,反演法與其他控制方法相結合也取得了一定的研究成果.Yang等[2]采用擾動觀測器對外部環(huán)境擾動進行估計并補償,結合反演法和李雅普諾夫理論,實現船舶軌跡跟蹤;付明玉等[3]引入自適應與反演法結合進行控制律設計,其中自適應控制項實現擾動參數的在線更新,增強魯棒性,實現協同路徑跟蹤.而在被控對象相對階增長的高階系統(tǒng)情況下,傳統(tǒng)反演法對虛擬控制量求導引起的計算膨脹給控制器設計帶來不便.為解決這個問題,Swaroop等[4]首次提出動態(tài)面控制(Dynamic surface control,DSC)方法,引入一階低通濾波器避免對虛擬控制量的求導,簡化計算,易于工程實現;杜佳璐等[5]將動態(tài)面控制技術融合到反演法中,并設計自適應律對未知外部環(huán)境擾動的界進行估計,增強魯棒性,實現船舶的動力定位.

在上述研究過程中,需要已知精確的模型相關參數以確保控制性能,而實際情況下是很難實現的.許多新的智能控制方法,由于學習和適應的近似能力,不需要花費很多精力進行系統(tǒng)建模,被廣泛應用于各類控制問題中.Wang等[6]采用徑向基(Radial basis function,RBF)神經網絡(Neural network,NN)逼近系統(tǒng)不確定項,設計神經網絡自適應動態(tài)面控制器;Xu等[7]采用最小參數學習法減少計算負擔,結合動態(tài)面技術,通過小增益定理證明超高速飛行器良好的跟蹤性能.劉希等[8]引入遞歸滑模解決常規(guī)動態(tài)面對低通濾波器時間常數和神經網絡自適應參數攝動脆弱的缺點,得到閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)半全局一致最終有界.考慮船舶模型參數未知、具有未建模動態(tài)和風浪流等環(huán)境擾動,賈鶴鳴等[9]采用非線性迭代滑模對無人水下航行器(Unmanned underwater vehicle,UUV)進行航跡跟蹤控制,無需對系統(tǒng)模型不確定部分和海流干擾進行估計,避免舵的抖振、減小穩(wěn)態(tài)誤差與超調;沈智鵬等[10]在此基礎上,引入模糊系統(tǒng)對迭代滑模參數進行優(yōu)化,設計模糊自適應非線性迭代滑?？刂破?增強參數在不同海況環(huán)境下的自適應性,實現更好的風帆助航船舶航向控制;Li等[11]采用RBF神經網絡逼近系統(tǒng)的不確定因素,構造自適應RBF神經網絡控制器,實現船舶軌跡跟蹤;王昊等[12]將動態(tài)面技術引入單隱層(Single hidden layer,SHL)神經網絡進行控制律設計,簡化控制算法,實現協同路徑跟蹤;Wang等[13]采用模糊系統(tǒng)逼近系統(tǒng)不確定部分,引入Nussbaum函數解決控制方向不確定的問題,結合動態(tài)面技術,實現領導者–跟隨者的輸出同步.

然而,常規(guī)動態(tài)面基于線性增益設置,使得當系統(tǒng)誤差較大時,需要較大的控制量以保證控制精度,然而過大的控制量容易引起系統(tǒng)輸入飽和限制;當系統(tǒng)誤差較小時,影響控制精度.采用“小誤差大增益,大誤差小增益”的非線性函數可解決上述矛盾,但無法得到系統(tǒng)穩(wěn)定.且常規(guī)動態(tài)面采用的低通濾波器具有一定的延遲,各子系統(tǒng)跟蹤誤差并不能代表真實的跟蹤誤差,神經網絡本身也會使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差,加劇基于子系統(tǒng)跟蹤誤差依次反推的不利性.為此采用遞歸滑模面考慮各子系統(tǒng)誤差間的相互關系,恰好也能解決引入非線性函數后對系統(tǒng)穩(wěn)定性證明的問題.孫秀霞等[14]引入一種非線性增益函數,設計含有積分項的遞歸滑模面考慮各子系統(tǒng)間誤差,利用新的李雅普諾夫函數證明穩(wěn)定性,實現無人機航跡角跟蹤.但該方法假設模型參數攝動和外界大氣擾動總和的界已知,實際情況下很難實現.劉希等[15]考慮不確定非線性系統(tǒng),利用神經網絡在線逼近系統(tǒng)不確定項,提出一種非線性增益遞歸滑模動態(tài)面自適應控制方法,有效解決系統(tǒng)的跟蹤控制問題.但該方法假設神經網絡逼近誤差界已知,且所設計非線性增益函數為分段函數,構造略顯復雜,實際應用具有一定的局限性,且僅針對單輸入–單輸出嚴反饋系統(tǒng)進行控制器設計,故該方法不能直接用于多輸入–多輸出的船舶軌跡跟蹤控制問題.

根據以上研究結果,在文獻[15]基礎上,針對多輸入–多輸出三自由度全驅動船舶的軌跡跟蹤控制問題,當存在模型不確定和未知外部環(huán)境擾動時,引入一種新的簡單非線性增益函數和遞歸滑模面,結合神經網絡、動態(tài)面技術和自適應魯棒反演控制,設計出一種基于非線性增益遞歸滑模的船舶軌跡跟蹤動態(tài)面自適應控制方法.該方法綜合考慮船舶位置和速度誤差之間關系設計遞歸滑模面,引入神經網絡對船舶模型不確定部分進行逼近,設計帶σ-修正泄露項的自適應律[16]對神經網絡逼近誤差與外界環(huán)境擾動總和的界進行估計,并應用一種非線性增益函數構造動態(tài)面控制律,選取李雅普諾夫函數可證明該控制律能夠保證軌跡跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)內所有信號的一致最終有界性.最后應用一艘供給船進行控制仿真研究,驗證所設計控制器的有效性.

1 問題描述

假設船舶左右對稱,考慮前進、橫漂和艏搖的三自由度軌跡跟蹤船舶軌跡跟蹤數學模型可表示為

其中,η=[x,y,ψ]T為船舶在大地參考坐標系下的實際位置(x,y)和艏搖角ψ組成的向量;υ=[u,ν,r]T為船舶在附體坐標系下前進速度u、橫漂速度ν和艏搖角速度r組成的向量;τ=[τ1,τ2,τ3]T為船舶推進器控制輸入前進力τ1、橫漂力τ2以及艏搖力矩τ3組成的控制向量;d=[d1,d2,d3]T為船舶在附體坐標系下受風、浪、流等引起的橫向干擾力d1、縱向干擾力d2和艏向干擾力矩d3組成的未知外部環(huán)境擾動向量;J(ψ)為坐標系轉換矩陣,其表達式為

且具備J?1(ψ)=JT(ψ)和kJ(ψ)k的特性;M為船舶重量慣性和水動力附加慣性組成的矩陣;C(υ)為科氏向心矩陣;D為線性水動力阻尼參數矩陣;?f=[?f,1,?f,2,?f,3]T為船舶模型不確定部分.

假設1.船舶的參考軌跡ηd是光滑可導且有界的,其一階導數和二階導數亦是有界的.

假設2.軌跡跟蹤船舶數學模型中,船舶重量慣性和水動力附加慣性矩陣M已知且為對角陣、科氏向心矩陣C(υ)和阻尼矩陣D已知;船舶模型不確定部分?f未知但有界;外部環(huán)境擾動d未知但有界.

本文的控制目標是針對船舶軌跡跟蹤數學模型(1)和模型(2),在滿足假設1和假設2的情況下,考慮船舶存在參數不確定部分且遭受完全未知的有界時變環(huán)境擾動,設計控制律τ,使船舶可以沿期望軌跡航行,并保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號一致最終有界,實現船舶軌跡跟蹤.

2 船舶軌跡跟蹤控制器設計

考慮軌跡跟蹤船舶存在模型不確定部分和外部環(huán)境擾動,引入一種新的簡單非線性增益函數和遞歸滑模面,結合神經網絡、動態(tài)面技術和自適應魯棒反演技術,設計非線性增益遞歸滑模的船舶軌跡跟蹤動態(tài)面自適應神經網絡控制器.

2.1 一種非線性增益函數

為解決常規(guī)動態(tài)面控制基于線性增益設置使得系統(tǒng)的控制精度與動態(tài)品質之間存在矛盾的問題,設計一種非線性增益函數,其表達式為

其中,a>0.該函數具有“小誤差大增益,大誤差小增益”的優(yōu)良性質,可有效解決上述矛盾.在常規(guī)動態(tài)面方法中引入非線性增益函數對李雅普諾夫函數的穩(wěn)定性證明增加了難度,這在后續(xù)采用遞歸滑模后將得到解決.

性質 1.函數g(x)關于自變量x嚴格單調遞增,為避免x=0時斜率過大的問題,設置其導數

性質2.定義

則對于任意的x,有

成立.

性質3.為避免x=0時除數為零的情況,定義

則對于任意的x,有

成立.

當a取不同值時,函數l(x)圖像如圖1所示.

圖1 函數l(x)曲線圖Fig.1 The curves of functionl(x)

可見,在x較小時,l(x)變化增益較大,而x較大時,l(x)變化增益較小,即“小誤差大增益,大誤差小增益”.

2.2 控制器設計

步驟1.考慮船舶位置誤差向量,定義第一個滑模面向量s1∈R3

設計υ的虛擬控制向量α1∈R3為

根據Swaroop等[4]提出的動態(tài)面方法,引入一個新的狀態(tài)向量的一階低通濾波輸出,數學表達式為

其中,T為濾波器時間常數.用濾波器的代替項,避免傳統(tǒng)反演法中對虛擬控制向量直接求導產生的計算復雜問題,易于工程實現.

步驟2.根據船舶速度誤差向量和步驟1得到的位置誤差向量,綜合考慮兩者誤差間的相互關系,定義第二個遞歸滑模面向量為

其中,C1∈R3×3為設計的正定參數對角陣.

考慮到三自由度全驅動軌跡跟蹤船舶模型存在參數不確定部分?f,式(2)是一個三維狀態(tài)方程組,故引進3個RBF神經網絡[17]對其進行逼近.

假設3.對于所有的,神經網絡理想權值和逼近誤差有界,即存在正的常數和有界函數,使得和成立;再由假設2,則對于軌跡跟蹤船舶外部環(huán)境擾動d和RBF神經網絡逼近誤差每一分量來說,存在有界函數δi>0,使,i=1,2,3,即神經網絡逼近誤差和外部環(huán)境擾動d的界向量可表示為.

設計船舶軌跡跟蹤狀態(tài)反饋控制律為

設計權值向量自適應律為

對神經網絡逼近誤差和外部環(huán)境擾動組成的界向量δ,設計其估計值的自適應律為

注1.本文為多輸入–多輸出的船舶軌跡跟蹤控制問題,定義代替常規(guī)動態(tài)面的用以解決穩(wěn)定性證明的難題;對式(9)引入具有“小誤差大增益,大誤差小增益”特性的非線性項提高系統(tǒng)控制性能.

注2.在控制律式(14)中,采用具有非線性增益功能的代替,有效改善系統(tǒng)控制精度與動態(tài)品質之間的矛盾;遞歸滑模面項解決常規(guī)動態(tài)面方法引入非線性增益函數后對李雅普諾夫函數穩(wěn)定性證明的難題;項用于消除耦合項;雙曲正切函數有效消除滑模抖振現象.

注3.神經網絡權值的自適應律式(15)和對神經網絡逼近誤差及外部環(huán)境擾動的界的自適應律式(16)中,引入遞歸滑模函數s2的非線性增益函數,有效防止神經網絡及自適應的過度學習,提高系統(tǒng)穩(wěn)定性.

注4.在設計狀態(tài)反饋控制器的過程中,文獻[15]沒有考慮外界環(huán)境擾動,用神經網絡逼近系統(tǒng)的不確定性;且假設逼近誤差界已知,用逼近誤差的界構造魯棒項對逼近誤差進行補償.考慮實際作業(yè)船舶不可避免地遭受未知外界環(huán)境擾動,且假設逼近誤差界已知的情況不容易滿足,本文在設計船舶軌跡跟蹤控制器的過程中,用神經網絡逼近模型不確定部分,逼近誤差和外界環(huán)境擾動采用基于σ-修正泄露項的自適應律對其界進行估計補償,提高船舶軌跡跟蹤精確性,增強魯棒性.

2.3 穩(wěn)定性分析

選擇系統(tǒng)李雅普諾夫函數為

對式(17)兩邊關于時間求導,可得

根據以上論述,考慮式(15)和式(16),則式(18)變?yōu)?/p>

考慮不等式

及不等式

其中,i=1,2,3;且根據雙曲正切函數的性質,對于ε>0,a∈R,有 0≤|a|?atanh(a/ε)≤0.2785ε,故

根據非線性增益函數的性質,有如下不等式:

其中,a1為正常數,i=1,2.

其中,a2為正常數.

按照上述分析,總結定理如下:

定理1.針對三自由度軌跡跟蹤船舶的非線性運動學和動力學方程,考慮船舶存在模型不確定部分且遭受未知外部環(huán)境擾動,在假設1～3成立的情況下,構造一種新型非線性增益函數式(3),引入神經網絡對系統(tǒng)未知不確定部分進行逼近,設計神經網絡權值向量自適應律式(15),采用σ-修正泄露項的自適應律式(16)對神經網絡逼近誤差和外界環(huán)境擾動的界進行估計,最終在非線性遞歸動態(tài)面自適應魯棒控制律式(14)的作用下,得到閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的一致最終有界性.適當對設計參數K1,K2,和濾波器時間常數T進行調整選擇,可以使船舶實現高精度的軌跡跟蹤.

證明.解不等式(27),可得

故可知,V(t)一致最終有界;再由式(17)可得系統(tǒng)中的信號一致最終有界;從而由式(7),(9)及(11)可知有界;由和s1的有界性可知η是有界的;由和δ的有界性可知也是有界的.從而得到船舶軌跡跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)內所有信號的一致最終有界性.

3 仿真研究

為驗證所設計控制律的有效性,以文獻[18]中一艘供給船作為仿真對象進行仿真試驗.此船長度為76.2m,質量為4.591×106kg,船舶重量慣性和水動力附加慣性組成的矩陣、科氏向心矩陣、線性水動力阻尼參數矩陣分別為

船舶模型不確定部分為

在仿真中,選擇船舶航行期望軌跡為

外部環(huán)境擾動為

船舶初始位置和速度狀態(tài)信息為

在相同海況下,采用本文算法與文獻[6]基于神經網絡的常規(guī)動態(tài)面算法對船舶軌跡跟蹤性能進行仿真比較,系統(tǒng)的初始條件相同,仿真結果如圖2～8所示.

圖2 外部環(huán)境擾動下船舶的期望軌跡和實際軌跡Fig.2 Desired trajectory and actual trajectory under external environment disturbances

圖3 外部環(huán)境擾動下期望軌跡η d=[xd,yd,ψd]T和本文算法實際軌跡η =[x,y,ψ]T歷時曲線Fig.3Curves of desired trajectoryη d=[xd,yd,ψd]Tand actual trajectoryη =[x,y,ψ]Twith proposed controller versus time under external environment disturbances

圖4 外部環(huán)境擾動下前進速度u、橫移速度ν和艏搖角速度r歷時曲線Fig.4 Curves of surge velocityu,sway velocityνand yaw raterversus time under external environment disturbances

圖5 神經網絡逼近歷時曲線Fig.5 Curves of learning behavior of neural networks

圖6 控制器輸出Fig.6 Curves of controller outputs

圖2是相同海況下,大地參考坐標系內船舶的期望軌跡和本文設計控制律及常規(guī)動態(tài)面設計控制律驅動船舶航行的實際軌跡,表明在模型不確定和未知外部環(huán)境擾動存在的情況下,本文設計控制律相較于常規(guī)動態(tài)面而言,能夠較快地跟蹤上期望軌跡,且跟蹤精度較高;圖3是大地參考坐標系下船舶的期望位置、期望艏搖角和本文設計控制律驅動船舶航行的實際位置、實際艏搖角的歷時曲線,表明船舶在大約50s左右即能大概跟蹤上期望軌跡;圖4是前進速度u、橫漂速度ν和艏搖角速度r的歷時曲線;圖5是系統(tǒng)不確定部分?f,1,?f,2,?f,3及RBF神經網絡的逼近值NN1,NN2,NN3的歷時曲線,表明在50s以后神經網絡基本跟蹤上所要逼近的不確定項;圖6是本文設計控制器輸出,可以看出控制律光滑合理;圖7是外部環(huán)境擾動和逼近誤差的界δ1,δ2,δ3及其估計值歷時曲線,且放大從20s到300s的跟蹤曲線,可以看出所設計修正泄漏項的自適應律參數選取合適,能夠對外部環(huán)境擾動和逼近誤差的界進行估計;結合圖5神經網絡逼近效果,可以看出在神經網絡跟蹤有誤差的情況下,自適應律也能夠進行很好的估計從而保證船舶的高精度航行;圖8是相同海況下本文算法與常規(guī)動態(tài)面算法跟蹤性能比較,其中表示位置誤差范數,可以看出,本文算法跟蹤性能較常規(guī)動態(tài)面雖然前30s稍慢,但30s后明顯優(yōu)于常規(guī)動態(tài)面,跟蹤誤差衰減快;且基于“小誤差大增益,大誤差小增益”的本文算法考慮遞歸滑模在一定程度上削弱神經網絡造成的誤差,45s后基本跟蹤上期望軌跡,穩(wěn)態(tài)誤差小,總體上性能優(yōu)于常規(guī)動態(tài)面.

4 結論

圖7 外部環(huán)境擾動和逼近誤差的界δ1,δ2,δ3及其估計值?δ1,?δ2,?δ3歷時曲線Fig.7 Curves of the bounds of external environment disturbances and approximation errorsδ1,δ2,δ3and their estimations?δ1,?δ2,?δ3verse time with proposed controller

圖8 相同海況下本文算法與常規(guī)動態(tài)面算法跟蹤性能比較Fig.8 Comparison of tracking errors under the same sea conditions between the proposed method and the dynamic surface control method

考慮三自由度全驅動船舶具有模型不確定部分且遭受未知外部環(huán)境擾動,引入非線性增益函數和遞歸滑模面,結合神經網絡、動態(tài)面技術和自適應魯棒反演控制,設計出一種基于非線性增益遞歸滑模的船舶軌跡跟蹤動態(tài)面自適應控制器.非線性函數的引入和遞歸滑模面的設計,能有效解決常規(guī)動態(tài)面方法對低通濾波器時間常數和神經網絡自適應參數攝動脆弱的缺點.基于李雅普諾夫函數證明了該控制律可實現船舶的高精度軌跡跟蹤,并保證系統(tǒng)內所有信號的一致最終有界性.最后以一艘供給船舶進行仿真試驗,驗證了所設計控制器的有效性,仿真結果表明,采用非線性增益遞歸滑模的船舶軌跡跟蹤動態(tài)面自適應控制方法,可提高船舶軌跡跟蹤速度和控制精度,且控制力和力矩光滑合理,更加符合船舶的實際操作要求,在工程實際中具有一定參考價值.