以“高立意”提升課堂品質(zhì)
——以“一元二次方程”章節(jié)起始課教學(xué)為例

/許吳山 陳修文

【設(shè)計(jì)理念】

2018年3月，我有幸參加了第13屆江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展評(píng)（南通賽區(qū)），上課課題是蘇科版九年級(jí)上冊(cè)第一章“一元二次方程”的章節(jié)起始課。經(jīng)過(guò)精備、試上、研討、打磨、上課環(huán)節(jié)，最終以數(shù)學(xué)組第一的名次直接晉級(jí)。反思這一過(guò)程，我認(rèn)為取勝之處在于“高立意”。本文結(jié)合課堂實(shí)錄，談?wù)劇案吡⒁狻毕碌恼鹿?jié)起始課如何思考、怎樣操作，與同行交流。

作為初三章節(jié)起始課，本節(jié)課的定位就顯得格外重要。首先要完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)——學(xué)習(xí)一元二次方程的概念；其次要考慮對(duì)本章內(nèi)容的統(tǒng)領(lǐng)作用，為后續(xù)學(xué)生進(jìn)一步研究一元二次方程的解法和應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；最后作為初三內(nèi)容，學(xué)生需要對(duì)初中學(xué)習(xí)過(guò)的方程有整體的認(rèn)識(shí)，應(yīng)理清各方程間的聯(lián)系與區(qū)別，形成研究方程的一般性思路和方法?；谝陨峡紤]，我認(rèn)為本節(jié)課的設(shè)計(jì)是充滿挑戰(zhàn)的。以下是主要教學(xué)環(huán)節(jié)。

一、情境引入

生活中處處有數(shù)學(xué)，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了一天的觀察和記錄，老師節(jié)選了其中一部分：

（1）教學(xué)樓有一塊面積為4m2的正方形文化墻。

（2）羽毛球場(chǎng)上正在進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽規(guī)則：贏一場(chǎng)得2分，輸一場(chǎng)得1分，初二（1）班賽了12場(chǎng)后積20分。

（3）跑道上小明、小強(qiáng)正參加100m跑，小強(qiáng)的速度是小明的1.1倍，結(jié)果小強(qiáng)成績(jī)比小明快1.2s。

（4）走廊上有一個(gè)長(zhǎng)5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端到墻面的距離比梯子的頂端到地面的距離多1m。

（5）圖書(shū)館2016年藏書(shū)5萬(wàn)冊(cè)，到了2018年藏書(shū)達(dá)到了7.2萬(wàn)冊(cè)，管理員告訴學(xué)生16～17，17～18每年藏書(shū)平均增長(zhǎng)的百分率相同。

活動(dòng)：根據(jù)實(shí)際情境提出問(wèn)題、找出等量關(guān)系、設(shè)出未知數(shù)并列出方程。

學(xué)生可以得到如下方程：

（設(shè)計(jì)意圖：本情境節(jié)選了數(shù)學(xué)興趣小組的一段記錄內(nèi)容，從學(xué)生生活中熟悉的文化墻、羽毛球比賽、100米跑、梯子以及圖書(shū)館藏書(shū)出發(fā)，只呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，不給問(wèn)題。讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際情境提出問(wèn)題、找出等量關(guān)系、設(shè)出未知數(shù)并列出方程。通過(guò)預(yù)設(shè)，學(xué)生可以列出一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程和本節(jié)課的一元二次方程，設(shè)計(jì)的方程十分巧妙，具有典型意義并貫穿本節(jié)課始終?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的問(wèn)題情境，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、探索、猜測(cè)、交流、反思等活動(dòng)。逐步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，獲得積極的情感體驗(yàn)，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意義。本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是與之高度契合的。）

二、概念歸納

二次呈現(xiàn)情境中得到的方程，對(duì)方程進(jìn)行分類。

問(wèn)題1：你能從中找出哪些是我們比較熟悉、曾經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的方程嗎？

問(wèn)題2：你能分別說(shuō)出它們是我們?cè)?jīng)所學(xué)習(xí)的哪一類方程，并說(shuō)明理由嗎？

生 1：2x+（12－x）＝20 是一元一次方程，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，等號(hào)兩邊都是整式。

生 2：x+y＝12 和 2x+y＝20 都是二元一次方程，因?yàn)樗鼈冇袃蓚€(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式。

師：觀察得很仔細(xì)，表述的也非常恰當(dāng)。請(qǐng)大家接著思考。

問(wèn)題3：經(jīng)過(guò)剛剛的回憶，不禁引發(fā)我們思考：方程的命名、定義主要取決于哪些因素？

生：未知數(shù)的個(gè)數(shù)、未知數(shù)的次數(shù)、未知數(shù)的位置。

問(wèn)題 4：對(duì)比（2）（3），你能說(shuō)出（1）（4）（5）三個(gè)方程的特點(diǎn)嗎？

生：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，等號(hào)兩邊都是整式。

問(wèn)題5：你能給我們的新研究對(duì)象命名和下定義嗎？

生：我們可以稱它們?yōu)橐辉畏匠獭?/p>

定義為：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

（設(shè)計(jì)意圖：二次呈現(xiàn)從實(shí)際情境中得到的方程，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、類比、概括，最終自己建構(gòu)出一元二次方程的定義。讓學(xué)生親歷知識(shí)的形成過(guò)程，加深對(duì)概念的理解，并對(duì)所學(xué)的各類方程都有比較清楚的認(rèn)識(shí)和理解，也為本節(jié)課的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)與方向。）

三、概念辨析

你能識(shí)別下列方程中的一元二次方程嗎？

生 1：（1）（3）（5）是的，因?yàn)樗鼈兌贾缓幸粋€(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

生 2：（5）x2－3＝（x－1）（x+2） 不是一元二次方程，因?yàn)槿绻?jiǎn)后左右兩邊的x2抵消了。

師：生2觀察的非常仔細(xì)，此題也提醒我們要判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，化簡(jiǎn)是非常必要的，這樣的情況其實(shí)在實(shí)際情境中我們就遇到了。

師：只有把方程化簡(jiǎn)整理才能準(zhǔn)確判斷是不是一元二次方程，具體就是把方程右邊的項(xiàng)全都移到左邊合并同類項(xiàng)，而且所有的一元二方程都可以做這樣的化簡(jiǎn)，你能概括出一元二次方程的一般形式嗎？

生：一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）。其中 ax2、bx、c分別為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a，b分別為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)。

師：通過(guò)剛剛的探討研究，我們又進(jìn)一步得出一元二次方程的一般形式，加深了對(duì)一元二次方程的理解。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)一元二次方程的識(shí)別，加深對(duì)概念的理解，并讓學(xué)生意識(shí)到化簡(jiǎn)方程的必要性從而總結(jié)出一元二次方程的一般形式。）

四、反思收獲

今天這節(jié)課你有何收獲？

生：我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義，了解了它的一般形式。

師：接下來(lái)你將如何研究一元二次方程？

生：解法。

師：回歸情境中的方程：如何解x2＝4？

生：x1＝2，x2＝-2（舍去）。

師：那么 x2－4＝0 呢？

師：你能試著說(shuō)說(shuō)你是如何思考的嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步對(duì)探尋一元二次方程解法的思考。這里用到的數(shù)學(xué)思想是把一元二次方程通過(guò)降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程。用到的具體方法為平方根的定義、因式分解。）

【團(tuán)隊(duì)推薦】

1．關(guān)注學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的問(wèn)題情境，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、探索、猜測(cè)、交流、反思等活動(dòng)。在磨課過(guò)程中，許吳山老師嘗試過(guò)給出四五個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生直接根據(jù)問(wèn)題情境找到等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)并列出方程。上完后總是感覺(jué)缺少了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主提問(wèn)的過(guò)程，缺少了數(shù)學(xué)味道、思維味道。學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了一元一次方程，二元一次方程（組），分式方程，學(xué)生具備了研究方程及其后續(xù)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。一元二次方程是一節(jié)生長(zhǎng)課，生長(zhǎng)課要由學(xué)生自主探究，自主學(xué)習(xí)。最后將本節(jié)課問(wèn)題情境設(shè)置為數(shù)學(xué)興趣小組的一段記錄內(nèi)容，從學(xué)生生活中熟悉的文化墻、羽毛球比賽、100米跑、梯子以及圖書(shū)館藏書(shū)出發(fā)，只呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，不給問(wèn)題。這樣問(wèn)題情境是開(kāi)放性的，給學(xué)生充分自主學(xué)習(xí)，自主提問(wèn)的過(guò)程。問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)是這節(jié)課的一大亮點(diǎn)，它既關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活中的二次方程背景，又考慮不同方程類型前后一致、邏輯連貫的特點(diǎn)，更重要的是關(guān)注了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.關(guān)注知識(shí)的整體框架。

人教社編審章建躍先生說(shuō)：“數(shù)學(xué)的整體性既體現(xiàn)在代數(shù)、三角、幾何等各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系上，也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容之間的前后邏輯性上?！痹诹x務(wù)教育階段的授課內(nèi)容中，一元二次方程的內(nèi)容是方程的核心內(nèi)容之一。一元二次方程是學(xué)生初中研究的最后一類方程，學(xué)生已具備研究一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課沒(méi)有僅僅從一元二次方程的問(wèn)題情境出發(fā)，而是在問(wèn)題情境中設(shè)計(jì)了所學(xué)過(guò)的所有方程。通過(guò)經(jīng)歷列出方程，歸納概括出一元二次方程的定義的過(guò)程，學(xué)生能夠辨別出各類方程的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，學(xué)生能夠?qū)Τ踔袑W(xué)習(xí)過(guò)的方程形成一個(gè)整體框架結(jié)構(gòu)，理清各方程間的聯(lián)系與區(qū)別，這樣達(dá)到形成研究方程的一般性思路和方法。

3.關(guān)注學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。

本節(jié)課不僅僅完成了教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容：用一元二次方程刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)生活情境中的等量關(guān)系；通過(guò)觀察、類比，歸納一元二次方程的概念。同時(shí)作為本章節(jié)的起始課，要考慮到對(duì)本章內(nèi)容的統(tǒng)領(lǐng)作用，也要為后續(xù)學(xué)生進(jìn)一步研究一元二次方程的解法和應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。最后在反思收獲中問(wèn)“接下來(lái)你將如何研究一元二次方程？”這個(gè)開(kāi)放性的設(shè)問(wèn)學(xué)生完全是有能力，有經(jīng)驗(yàn)回答出來(lái)的。這個(gè)問(wèn)題承上啟下，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)回憶已有的相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提出研究的問(wèn)題，即一元二次方程如何解？方法是什么？思想又是什么？培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，這也和方程的研究思路“實(shí)際問(wèn)題——方程概念——方程解法——問(wèn)題解決”不謀而合，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的邏輯思維，建構(gòu)起學(xué)習(xí)方程的方法。