換元法在定積分證明題中的應(yīng)用

山東濟(jì)南職業(yè)學(xué)院 王 岳

換元積分法是高等數(shù)學(xué)中常用的求積分的重要方法之一，在不定積分和定積分的計(jì)算中都有重要的應(yīng)用。同樣，在定積分的很多證明題中，也要用到換元的方法才方便解決問(wèn)題，證明結(jié)論。

一、定積分的換元法

定積分的換元法與不定積分不同的是，定積分在換元以后，一定要進(jìn)行換限，上下限的變化不能忽略；另外，定積分換元后不需要還原，只要求出原函數(shù)后利用牛頓萊布尼茨公式把積分值計(jì)算出來(lái)即可。

二、第一換元法在定積分證明中的應(yīng)用

定積分的證明題中，很多題目需要證明一個(gè)定積分等于另外一個(gè)定積分，而且很多被積函數(shù)是抽象的函數(shù)，沒(méi)有給出具體表達(dá)式，無(wú)法通過(guò)計(jì)算進(jìn)行證明。此時(shí)，要想證明兩個(gè)積分值相等，就得通過(guò)換元的方法將其中一個(gè)定積分往另一個(gè)定積分的形式上進(jìn)行變形轉(zhuǎn)換。在這個(gè)過(guò)程中，如果進(jìn)行積分變量的換元是關(guān)鍵，怎樣換元才能實(shí)現(xiàn)向目標(biāo)定積分的轉(zhuǎn)換過(guò)程，需要我們仔細(xì)觀察兩個(gè)積分的異同，其中包括被積函數(shù)和積分上下限之間的關(guān)系，從而將積分變量換成合適的函數(shù)，同時(shí)對(duì)原有的上下限進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再根據(jù)已知條件，逐漸變形實(shí)現(xiàn)向目標(biāo)定積分的轉(zhuǎn)換。

很多學(xué)生在計(jì)算定積分時(shí)，能熟練應(yīng)用換元法求解，但在證明題中，卻有些無(wú)從下手。把握不好應(yīng)該如何換元，換哪個(gè)量，怎樣選擇換成什么函數(shù)。下面，我們通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明一下?lián)Q元法在定積分證明題中如何來(lái)應(yīng)用。

分析：本題的基本思路同上題，我們可以根據(jù)上下限特點(diǎn)的觀察，選擇與上題相同的換元方法，然后根據(jù)換元后的結(jié)果，來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性是否和a有關(guān)。

分析：對(duì)比等式的左右兩邊的定積分，被積函數(shù)的自變量發(fā)生了變化，表面上看積分上下限并沒(méi)有變，但要想從方程左邊入手，證出右邊的形式，只有通過(guò)換限來(lái)實(shí)現(xiàn)，上下限發(fā)生變化后，還可以通過(guò)交換上下限的位置來(lái)實(shí)現(xiàn)把上下限換回原樣的效果。

分析：此類(lèi)證明題，都要通過(guò)對(duì)比等式的左右兩邊的積分形式，選擇相應(yīng)的換元方法，實(shí)現(xiàn)由左端向右端的轉(zhuǎn)化。此題等式兩端的定積分中，三角函數(shù)名和上下限都沒(méi)有變，但是被積函數(shù)的形式有所變化，積分前面的系數(shù)也有所變化。若想證明方程左邊的定積分與右邊的相等，可以考慮應(yīng)用第一換元法，根據(jù)三角函數(shù)名不變這一特點(diǎn)，我們選擇將積分變量 換成。上下限雖然會(huì)變化，但是后面通過(guò)交換積分上下限的位置，同樣能得到右邊的積分形式。

以上四個(gè)例題，都是通過(guò)換元的方法進(jìn)行的證明，他們有很多共性之處：先通過(guò)需證明的等式兩端定積分的比較，選定換元的形式，然后根據(jù)已知條件和目標(biāo)積分進(jìn)行恒等變形，在證明過(guò)程中，要特別注意，換元的同時(shí)要換限。雖然有些等式兩端的定積分看上去上下限是相同的，但實(shí)際上是換元以后又交換了上下限的位置變化得到的，并不是在還原中上下限沒(méi)有發(fā)生變化，是幾經(jīng)轉(zhuǎn)換又變了回去。像這樣上下限能變回去的定積分對(duì)換元的形式也是有要求的，這也給我們提供了一定的換元思路。因此，證明定積分的證明題要提高觀察能力，選擇正確的換元形式才能實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確快速的證明。