旋轉(zhuǎn)球體在流體中運(yùn)動(dòng)軌跡的求解

周正

摘 要：生活中的很多現(xiàn)象都可以利用流體中運(yùn)動(dòng)著的旋轉(zhuǎn)球體這一物理模型給出解釋。本文對(duì)于流體中的旋轉(zhuǎn)球體進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)和受力分析，得到考慮了重力、阻力以及馬格努斯力的運(yùn)動(dòng)方程，并利用合理的近似求解了一個(gè)特殊情況下的運(yùn)動(dòng)方程，得到旋轉(zhuǎn)球體在流體中的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度的表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)球體；黏滯力；馬格努斯力

中圖分類(lèi)號(hào)：U661.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2018）19-0202-02

1 引言

足球比賽中的“香蕉球”，乒乓球網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)中的旋球。這些現(xiàn)象中，都有一定的物理原理。本文針對(duì)這些現(xiàn)象，將之模型化為一個(gè)旋轉(zhuǎn)的球體在有粘滯的流體中運(yùn)動(dòng)，受力分析寫(xiě)出球體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程。針對(duì)球體的轉(zhuǎn)軸和重力在同一條直線(xiàn)上這一特殊情形，利用一個(gè)合理的近似，我們可以將球體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)互不影響的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，通過(guò)求解這兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)方程，得到了球體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用這些結(jié)果可以很好地解釋體育運(yùn)動(dòng)中的相關(guān)現(xiàn)象。

2 模型的建立與受力分析

無(wú)論是香蕉球還是旋球，都在空氣中運(yùn)動(dòng)，且球體本身除質(zhì)心運(yùn)動(dòng)外還在旋轉(zhuǎn)?？諝庠谖锢韺W(xué)中當(dāng)作流體處理，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，空氣有粘滯，這意味著在其中運(yùn)動(dòng)的物體會(huì)受到來(lái)自空氣的阻力，也即黏滯力。由于球體旋轉(zhuǎn)以及質(zhì)心平動(dòng)，球體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還會(huì)受到馬格努斯力。除此之外，還有重力的作用。

粘性流體中的運(yùn)動(dòng)物體，會(huì)受到來(lái)自流體的粘滯作用，方向和物體相對(duì)于流體的運(yùn)動(dòng)方向相反，數(shù)學(xué)表達(dá)式會(huì)因?yàn)橄鄬?duì)運(yùn)動(dòng)速度v的大小而呈現(xiàn)不同的結(jié)果。在低速時(shí)，物體受到斯托克斯力，在高速時(shí)，黏滯力的表達(dá)式變?yōu)閇1]，其中，η是流體的粘滯系數(shù)，ρ是流體密度，r是球體的半徑，是球體的質(zhì)心相對(duì)流體的運(yùn)動(dòng)速度。造成這一不同的原因是，當(dāng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度較快時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致流體中出現(xiàn)湍流的現(xiàn)象，流體中存在很多渦旋，而在低速運(yùn)動(dòng)中，流體呈現(xiàn)的是層流的狀態(tài)。低速與高速的界限可以使用無(wú)量綱的雷諾數(shù)R=ρdv/η判定，其中d為物理的特征尺寸，η是流體的粘滯系數(shù)。當(dāng)雷諾數(shù)在10～30之間的時(shí)候，流體中就會(huì)開(kāi)始出現(xiàn)渦旋[1]。對(duì)于空氣而言，密度ρ=1.29kg/m3，粘滯系數(shù)η=1.8×10-5Pa·s，通常情況下，體育運(yùn)動(dòng)中，球體運(yùn)動(dòng)的速度量級(jí)為v=10m/s，球體的特征尺寸可以選為球體的直徑，量級(jí)為d=0.01m，可以得到雷諾數(shù)為R=104，這是非常大的數(shù)，說(shuō)明體育運(yùn)動(dòng)中的球體運(yùn)動(dòng)收到的阻力需要選取表達(dá)式。

旋轉(zhuǎn)的球體（設(shè)轉(zhuǎn)速為ω）會(huì)帶動(dòng)周?chē)牧黧w一起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)如果考慮球體（設(shè)半徑為r）還有質(zhì)心的平動(dòng)（設(shè)速度為v，且），則在球體表面處，流體的運(yùn)動(dòng)速度的分布將會(huì)不對(duì)稱(chēng)，最快的地方速度為v+ωr，運(yùn)動(dòng)最慢的地方為v-ωr（假設(shè)v>ωr）。根據(jù)伯努利方程我們知道運(yùn)動(dòng)速度不同的地方，壓強(qiáng)不同，ΔP=ρΔ（v2），因此速度最快和最慢的地方的壓強(qiáng)差為ΔP=ρ[（v+ωr）2-（v-ωr）2]=2ρvωr，如果考慮球的大圓面積πr2，壓強(qiáng)差造成壓力差2πρvωr3，受力方向垂直于和，這就是馬格努斯力。以上的討論只是定性的，嚴(yán)格的力的表達(dá)式為πρr3×[2]。

除黏滯力、馬格努斯力外，還有重力-mg，其中是豎直方向朝上的單位向量。因此運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)為：

m=-0.2πρr2v+πρr3×-mg，=

3 流體中旋轉(zhuǎn)球體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的軌跡

以上得到的運(yùn)動(dòng)方程在一般條件下的求解很困難，本文中我們考慮特殊情形，球體的轉(zhuǎn)軸和重力在同一條直線(xiàn)上，也即∥。同時(shí)在求解運(yùn)動(dòng)時(shí)，近似認(rèn)為，速度的大小在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變化不大，此時(shí)黏滯力-0.2πρr2v可以近似認(rèn)為是-0.2πρr2v0，其中v0是初始速度大小。這樣一來(lái)，運(yùn)動(dòng)可以分解為互不相關(guān)的豎直和水平方向上的兩個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，獨(dú)立求解，軌跡通過(guò)運(yùn)動(dòng)的合成可以得到。

當(dāng)∥時(shí)，馬格努斯力僅有水平分量，且為πρr3 ×=πρr3xy×。對(duì)速度的大小進(jìn)行近似后，黏滯力可分解為-0.2πρr2v0=-0.2πρr2v0z-0.2πρr2v0xy。運(yùn)動(dòng)方程可以分解為豎直和水平方向上的兩個(gè)互不相關(guān)的方程。豎直方向m=-0.2πρr2v0z-mg，水平方向m=-0.2πρr2v0xy+πρr3xy×。

運(yùn)動(dòng)方程m=-0.2πρr2v0z-mg是一個(gè)重力場(chǎng)中的阻力運(yùn)動(dòng)。以為正，則運(yùn)動(dòng)方程改寫(xiě)為m=-0.2πρr2v0vz-mg，于是m=-0.2πρr2v0Vz，其中Vz（t）=vz（t）+，可以求得，Vz（t）=Vz（t=0）。因此vz（t）=（vz0+）-。

水平方向上運(yùn)動(dòng)方程為m=-0.2πρr2v0xy+πρr3xy×。首先使方程左右和速度xy做內(nèi)積，得到m=mxy·=-0.2πρr2v0，于是（t）= （t=0），所以速度大小隨時(shí)間變化為vxy（t）=vxy（t=0）。接下來(lái)求解速度的方向（t）隨時(shí)間變化，為此可設(shè)xy（t）=vxy（t）（t）=vxy（t=0）（t），代入到運(yùn)動(dòng)方程，可以得到（t）服從方程m[（t）]=πr3ρ（t）×。這和磁場(chǎng)中電子圓周運(yùn)動(dòng)的方程一致。類(lèi)似可得（t）做勻速圓周轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為。合理選擇坐標(biāo)系使（t=0）方向指向x軸，則（t）=（cost，sint），因此xy（t）=vxy（t=0）（cost，sin）。這一結(jié)果說(shuō)明，速度的大小指數(shù)減小，方向?yàn)閯蛩賵A周轉(zhuǎn)動(dòng)。其物理原因是，阻力反向平行于速度，因此只改變速度大小，馬格努斯力垂直于速度，不做功，只改變速度方向。因此，阻力使得速度大小指數(shù)減小，馬格努斯力使得速度方向勻速圓周轉(zhuǎn)動(dòng)。

通過(guò)以上的求解，我們得到運(yùn)動(dòng)方程的解為：

vz（t）=（vz0+）-

xy（t）=vxy（t=0）（cost，sint）

可以看出在t1時(shí)，速度大小變化不大，在這一時(shí)間范圍內(nèi)近似是合理的。考慮體育比賽中，足球在空氣中的運(yùn)動(dòng)，空氣密度為ρ=1.29kg/m3，球速為v0=10m/s，質(zhì)量為m=0.4kg，半徑量級(jí)為r=0.01m，因此近似合理的時(shí)間范圍為t5×102s，而通常足球在空氣中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間一般不會(huì)超過(guò)30s。不過(guò)一般情形下，隨著時(shí)間的流逝，速度大小和初始值的偏離將會(huì)越來(lái)越大，此時(shí)阻力-0.2πρr2v不可近似為-0.2πρr2v0，運(yùn)動(dòng)方程需要重新求解。

4 結(jié)語(yǔ)

本文考慮了流體中旋轉(zhuǎn)球體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，針對(duì)轉(zhuǎn)軸在豎直方向上的特殊情況，結(jié)合速度大小變化不大的近似，給出了運(yùn)動(dòng)方程的解。通過(guò)解的結(jié)果可以看出，球體之所以旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)轉(zhuǎn)彎，其物理原因均在于旋轉(zhuǎn)的球體在質(zhì)心的平動(dòng)時(shí)，受到了垂直于質(zhì)心速度方向的馬格努斯力，該力使得質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生旋轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致質(zhì)心位置發(fā)生轉(zhuǎn)彎的現(xiàn)象。流體中旋轉(zhuǎn)球體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)這一物理模型還可以應(yīng)用于其他情形中，一般情形下運(yùn)動(dòng)軌跡的求解也可以有更進(jìn)一步的探討。

參考文獻(xiàn)

[1]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004：237-241.

[2]李豐.香蕉球的運(yùn)動(dòng)分析及方程推導(dǎo)[J].硅谷，2013，5（01）：174.