起重機(jī)長細(xì)臂架結(jié)構(gòu)應(yīng)力解析法的適用性

王 欣,范雯霖,顧迪民

(1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 大連 116023; 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

隨著制造工藝的提高和高強(qiáng)度合金鋼材的應(yīng)用,桁架臂結(jié)構(gòu)如塔式起重機(jī)、履帶起重機(jī)、全地面起重機(jī)等朝著高聳化、輕柔化、大長細(xì)比方向發(fā)展[1-2].對(duì)于這種大長細(xì)比的桁架臂而言,由于強(qiáng)度高、截面小,相對(duì)于強(qiáng)度破壞,更易受壓受彎而失穩(wěn)破壞,因而采取合理的計(jì)算方法進(jìn)行應(yīng)力與位移計(jì)算非常必要[3].

目前,企業(yè)大多根據(jù)GB/T 3811—2008《起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范》[4]中給出的解析計(jì)算方法來進(jìn)行結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與計(jì)算,但規(guī)范中也提出,當(dāng)有必要做更為詳細(xì)和精細(xì)計(jì)算時(shí),可采用積分法、逐步逼近法及有限元法進(jìn)行非線性分析.顯然,規(guī)范中給出的解析法具有一定應(yīng)用范圍與要求.而隨著結(jié)構(gòu)的長細(xì)比加大,結(jié)構(gòu)的非線性越來越明顯,現(xiàn)行的解析法是否能繼續(xù)適用,需要深入分析與對(duì)比[5].為此,本文對(duì)解析法的計(jì)算原理進(jìn)行闡述,對(duì)比有限元法,結(jié)合實(shí)例分析其適用性.

1 計(jì)算原理

1.1 力學(xué)分析

履帶起重機(jī)臂架是典型的桁架臂結(jié)構(gòu),目前產(chǎn)品的臂架長度達(dá)百米級(jí)[6],結(jié)構(gòu)材料強(qiáng)度級(jí)別達(dá)800 MPa以上,臂架長細(xì)比超出100,其應(yīng)力分析成為業(yè)內(nèi)關(guān)注熱點(diǎn),也是對(duì)規(guī)范中解析法的挑戰(zhàn).本文以750 t履帶起重機(jī)主臂為研究對(duì)象,如圖1所示,分析不同臂長不同幅度下結(jié)構(gòu)應(yīng)力的變化情況.

圖1 750 t履帶起重機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Boom structure of 750 t crawler crane

進(jìn)行力學(xué)分析，主臂為空間桁架結(jié)構(gòu),所受載荷也是空間的[7].因此,轉(zhuǎn)換為變幅和回轉(zhuǎn)的兩個(gè)平面進(jìn)行力學(xué)分析.

在變幅平面內(nèi),如圖2(a)所示,主臂根部與轉(zhuǎn)臺(tái)鉸接,頭部與變幅拉板鉸接,可認(rèn)為是兩端簡(jiǎn)支構(gòu)件.受自重、起升載荷、起升繩載荷及變幅拉板載荷作用,當(dāng)臂架頭部起升載荷和變幅拉板載荷作用點(diǎn)不同時(shí),兩者所構(gòu)成的合力即臂架軸向力,不一定完全指向臂架軸線,會(huì)由此帶來彎矩作用.因此,在受力分析時(shí),要特別考慮到鉸點(diǎn)位置不重合帶來的附加彎矩作用.由于臂架自重和可能存在的頭部附加彎矩作用,使得臂架在兩端簡(jiǎn)支狀態(tài)下有軸向力和彎矩的共同作用,稱之為壓彎構(gòu)件.

在回轉(zhuǎn)平面內(nèi),如圖2(b)所示,主臂根部與轉(zhuǎn)臺(tái)為固支約束,頭部變幅拉板的載荷有阻止臂架側(cè)向位移的作用,具有一定柔性約束作用,但通常簡(jiǎn)化為自由端,由此可看作為一端固定一端自由的懸臂結(jié)構(gòu).與此同時(shí),臂架會(huì)受到重物偏擺而帶來水平載荷和風(fēng)載荷的作用(風(fēng)側(cè)向吹對(duì)結(jié)構(gòu)更為不利),導(dǎo)致結(jié)構(gòu)越靠近根部,故受到水平載荷引起的彎矩越大.與變幅平面結(jié)合,臂架實(shí)質(zhì)是雙向壓彎構(gòu)件.

圖2 臂架變幅平面受力分析模型Fig.2 Mechanical analysis model of boom in

1.2 解析法計(jì)算原理

通過上述受力分析,在進(jìn)行解析計(jì)算時(shí),根據(jù)結(jié)構(gòu)剛度進(jìn)行線性和非線性兩種方法分析.對(duì)于剛度較大的結(jié)構(gòu),即臂長較短、長細(xì)比較小時(shí),結(jié)構(gòu)的變形相對(duì)小,適用于小變形理論的計(jì)算.因此,可采用線性分析(也稱強(qiáng)度分析、一階分析)方法來計(jì)算結(jié)構(gòu)應(yīng)力[8]，即

(1)

式中:N為臂架軸向力;A為截面面積；Mx和My為臂架在兩個(gè)平面內(nèi)的彎矩;Wx和Wy為臂架截面在兩個(gè)平面內(nèi)的抗彎模量;[σ]為臂架材料許用應(yīng)力.

當(dāng)結(jié)構(gòu)長細(xì)比較大時(shí),結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出明顯柔性,會(huì)因彎矩作用產(chǎn)生變形,軸向壓力作用會(huì)進(jìn)一步引起附加彎矩的產(chǎn)生,從而導(dǎo)致變形增加,構(gòu)成大變形大位移結(jié)構(gòu),形成幾何非線性[8].這種情況下,變形前后的應(yīng)力顯然是不同的,變形后的應(yīng)力才是結(jié)構(gòu)真實(shí)應(yīng)力的表現(xiàn).解析法是通過能量理論推導(dǎo)并做一定簡(jiǎn)化而得到的,以穩(wěn)定性系數(shù)和放大系數(shù)來體現(xiàn)大變形帶來的應(yīng)力影響.穩(wěn)定性系數(shù)與結(jié)構(gòu)長細(xì)比相關(guān),長細(xì)比越大,穩(wěn)定性系數(shù)越小.放大系數(shù)與軸向力、臨界載荷比值相關(guān),比值越小,即軸向力越接近臨界載荷,放大系數(shù)越大,產(chǎn)生的附加應(yīng)力越大.

由此,在解析計(jì)算中,首先要計(jì)算出結(jié)構(gòu)的長細(xì)比和臨界載荷.長細(xì)比考慮了不同約束、不同截面尺寸帶來的變化[9]，即

(2)

式中:μ1為與約束條件有關(guān)的長度系數(shù);μ2為與截面變化有關(guān)的長度系數(shù);μ3為與變幅拉板載荷的約束有關(guān)的長度系數(shù);lc為計(jì)算長度；r為臂架截面的回轉(zhuǎn)半徑.

對(duì)于桁架結(jié)構(gòu),還會(huì)考慮剪切變形引起的長細(xì)比變化,用換算長細(xì)比來表示，即

(3)

式中:A為截面弦桿面積之和;A1為所截截面的腹桿面積之和.

臨界載荷的實(shí)質(zhì)為僅受軸心壓載荷時(shí)的臨界失穩(wěn)值

(4)

式中：E為彈性模量.

變形后的應(yīng)力即是非線性應(yīng)力,也稱為穩(wěn)定性應(yīng)力或二階應(yīng)力.為方便計(jì)算,采用二階理論進(jìn)行推導(dǎo),得到的是非線性的近似解,即

(5)

式中:φ和ψ分別為整體穩(wěn)定性系數(shù)、穩(wěn)定性修正系數(shù);αx和αy分別為兩個(gè)平面內(nèi)的彎矩放大系數(shù).

(6)

1.3 有限元計(jì)算原理

有限元計(jì)算通常將結(jié)構(gòu)劃分成有限個(gè)單元,對(duì)各單元進(jìn)行力學(xué)分析,建立各種單元矩陣,通過求解矩陣,獲得結(jié)構(gòu)的應(yīng)力與位移.目前商用有限元軟件已很成熟,可以計(jì)算結(jié)構(gòu)線性與非線性應(yīng)力.由于結(jié)構(gòu)可以劃分得足夠小,可用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng),保證相應(yīng)的計(jì)算精度,達(dá)到計(jì)算更為準(zhǔn)確的目的.

本文應(yīng)用Ansys有限元軟件進(jìn)行臂架結(jié)構(gòu)建模,應(yīng)用軟件提供的線性和非線性方法，計(jì)算結(jié)構(gòu)的應(yīng)力與位移,并與解析計(jì)算結(jié)果對(duì)比,分析解析結(jié)果的合理性與適用性.

臂架結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖3所示,這里不僅建立了臂架有限元模型,還建立了變幅拉板有限元模型,并與臂架結(jié)構(gòu)耦合連接,更真實(shí)地反映出兩者的相互影響關(guān)系.建模時(shí),臂架弦桿與腹桿采用beam188梁?jiǎn)卧?拉板采用link180桿單元.在變幅拉板末端施加全位移約束,在臂架根部鉸點(diǎn)處施加靜定的位移和角位移約束.臂架自重按桿件的布置由模型自動(dòng)考慮,起升載荷施加在與起升滑輪軸連接的節(jié)點(diǎn)處,同時(shí)按Qtan2°施加水平側(cè)載.

圖3 臂架結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.3 Finite element method of boom

2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

選取750 t履帶起重機(jī)的3種臂長(中長臂、長臂和最長臂)和3種幅度(最小幅度、中等幅度和最大幅度)共9組工況進(jìn)行臨界載荷、線性和非線性應(yīng)力的計(jì)算.

表1～表3是結(jié)構(gòu)臨界載荷關(guān)于解析法和有限元法的結(jié)果對(duì)比.可以看出,兩種計(jì)算數(shù)值還是存在一定差異的.當(dāng)臂架幅度較小時(shí),回轉(zhuǎn)平面的解析值大于有限元值,超過的最大幅值在8.2%.隨著幅度增加,回轉(zhuǎn)平面與變幅平面的解析值均小于有限元值,低于的最大幅值在-10.7%.

表1 63 m主臂臨界載荷結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of 63 m boom critical load

表2 84 m主臂臨界載荷結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of 84 m boom critical load

表3 105 m主臂軸向臨界載荷對(duì)比Tab.3 Comparison of 105 m boom critical load

解析值與有限元值的誤差先高后低，形成的原因如下:

(1) 變幅拉板對(duì)臂架結(jié)構(gòu)的約束問題.臂架頭部與變幅拉板連接,在回轉(zhuǎn)平面起對(duì)臂架側(cè)向位移約束的作用,但這種約束不是剛性約束,與變幅拉板載荷大小有一定關(guān)系,屬于柔性約束.幅度大,變幅拉板載荷大,對(duì)臂架回轉(zhuǎn)平面的位移約束作用也大,從而使得臨界載荷有所增加.解析法對(duì)這種因載荷變化的約束方式是采用長度系數(shù)μ3計(jì)算,但難免存在計(jì)算上的簡(jiǎn)化,致使臨界載荷計(jì)算結(jié)果存在或多或少的誤差.而有限元中,是直接進(jìn)行變幅拉板與臂架結(jié)構(gòu)耦合連接建模,計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際.

(2) 換算長細(xì)比問題.眾所周知,臨界載荷與長細(xì)比有很大關(guān)系.桁架結(jié)構(gòu)這種桿系結(jié)構(gòu),承受剪切載荷的能力不如實(shí)腹式結(jié)構(gòu),會(huì)產(chǎn)生較大的剪切位移,臨界載荷也會(huì)有所降低.解析法是通過換算長細(xì)比來考慮剪切位移對(duì)臨界載荷的影響,為方便計(jì)算,對(duì)計(jì)算公式進(jìn)行了一定簡(jiǎn)化,這使得計(jì)算結(jié)果必然存在誤差.有限元是直接將弦桿和腹桿按實(shí)際幾何關(guān)系來建立,真實(shí)體現(xiàn)剪切位移對(duì)臨界載荷的影響.

由此可以看出,結(jié)構(gòu)的組成形式與邊界條件對(duì)臨界載荷的計(jì)算影響是較大的.因此,當(dāng)用解析法時(shí),對(duì)結(jié)點(diǎn)可否簡(jiǎn)化處理宜視結(jié)構(gòu)實(shí)際工作情況而定.臨界載荷的計(jì)算誤差,必然導(dǎo)致非線性應(yīng)力的計(jì)算誤差.

表4～表6是主臂線性應(yīng)力和非線性應(yīng)力的對(duì)比.可以看出,線性應(yīng)力方面,解析值與有限元值很接近,表明解析法在線性計(jì)算方面是可行的.對(duì)于尚存在的細(xì)小差異,要注意拉板與臂架端部連接的構(gòu)造方式,即變幅拉板鉸點(diǎn)與起升載荷鉸點(diǎn)、臂架軸線不重合帶來的附加彎矩、應(yīng)力變化,這在解析計(jì)算中是不能忽略的.

表4 63 m主臂解析計(jì)算與Ansys計(jì)算應(yīng)力對(duì)比Tab.4 Comparison between theoretical method and

表5 84 m主臂解析計(jì)算與Ansys計(jì)算應(yīng)力對(duì)比Tab.5 Comparison between theoretical method and

表6 105 m主臂解析計(jì)算與Ansys計(jì)算應(yīng)力對(duì)比Tab.6 Comparison between theoretical method and

非線性應(yīng)力方面,相同臂長,幅度越小,解析值高出有限元值的差值越大;不同臂長小幅度下,臂長越長,解析值高出有限元值的差值越大,在19.3%～48.7%.除了臨界載荷的簡(jiǎn)化計(jì)算問題外,還可能源于變形放大系數(shù)的計(jì)算方法.參考國外有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范,文獻(xiàn)[10]指出帶有彎矩增大系數(shù)的線性彈性分析(即“近似非線性分析的解析法”),彎矩增大系數(shù)不得大于1.4.彎矩增大法通常保守,對(duì)于二階效應(yīng)高的結(jié)構(gòu)不適用.文獻(xiàn)[11]指出用二階系數(shù)(即增大系數(shù))增大線性分析結(jié)果的方法來模擬非線性效應(yīng)也是可用的.此近似非線性分析法可作精確非線性分析法的一個(gè)替代,用增大線性分析內(nèi)力代表結(jié)構(gòu)中的非線性效應(yīng).但指出其適用條件:結(jié)構(gòu)的非線性側(cè)向位移與最大的線性位移比等于或小于1.5(亦即非線性效應(yīng)高的結(jié)構(gòu)不適用).說明對(duì)于大長細(xì)比結(jié)構(gòu),近似非線性解析算法依然有較大的局限性,其計(jì)算公式值得進(jìn)一步商榷.

就有限元的計(jì)算結(jié)果來看,非線性應(yīng)力與線性應(yīng)力差別較大,尤其是臂架越長,兩者差異越大,小幅度時(shí)更為明顯,最大可達(dá)48.7%.由于小幅度時(shí),起重量相對(duì)較大,水平側(cè)載(Qtan2°)也比較大,導(dǎo)致位移較大,非線性更為明顯.故在大臂長、大長細(xì)比下,必須進(jìn)行非線性應(yīng)力分析.而解析法的非線性應(yīng)力分析是依據(jù)二階理論推導(dǎo)的,是近似非線性算法,從計(jì)算結(jié)果來看,有一定的保守性,幅度小時(shí)情況更為明顯.當(dāng)然也存在有關(guān)系數(shù)選取上是考慮了制造加工等誤差而進(jìn)行一定放大等因素,但總的來說,不完全適用,需要進(jìn)一步的修正與改進(jìn).

3 結(jié)論

通過對(duì)750 t履帶起重機(jī)主臂的解析計(jì)算與有限元計(jì)算分析對(duì)比,可以看出：長細(xì)臂架的非線性特征已很明顯,應(yīng)采用非線性應(yīng)力分析替代線性應(yīng)力分析.當(dāng)前的解析法不完全適用于長細(xì)臂架的非線性應(yīng)力分析,尤其在臨界載荷與放大系數(shù)法方面,需要進(jìn)一步的修正與改進(jìn).因此，宜采用更為精細(xì)的非線性有限元法分析.