一個有關橢圓問題的再探究

福建省仙游華僑中學 (351200)

黃美琴

文[1]對一道有關橢圓問題進行探究，得到了“橢圓和雙曲線共有的一個有趣而優(yōu)美的結論”. 讀后頗受啟發(fā)，但覺得意猶未盡，可以進一步探究下去.

一、結論再現(xiàn)

文[1]中結論2(其中結論1是結論2的特例)、結論4(結論3是結論4的特例)是有關橢圓短軸端點與焦點的一個關聯(lián)性質，本文擬對這一性質進行再探究.先把文[1]的結論2、結論4綜合如下：

二、縱向再探：由特殊到一般的探究

在上述結論中，A、B為橢圓E短軸的兩個端點，即直線x=0與橢圓E的兩個交點，如果把直線x=0放寬為定直線x=m(c≠|m|

由此可把上述結論1推廣為

特別地，當m=0時，結論Ⅰ即為上述結論1.

三、橫向再探：由橢圓到雙曲線、拋物線的探究

由于雙曲線的虛軸與雙曲線沒有交點，所以文[1]沒有給出雙曲線類似于上述結論1(即文[1]結論2 、4的綜合)的性質. 其實，沒有交點并不影響，類似結論1，容易得到

上述結論的證明可仿照文[1]的結論2、4的證明，本文從略. 至此，我們自然要問：結論I能否推廣到雙曲線的情形？

由此，上述結論Ⅰ可以推廣到雙曲線的情形.

再看拋物線，由于拋物線只有一個頂點，所以無法給出類似于上述結論Ⅰ(即文[1]結論2 、4的綜合)的性質，那么，結論Ⅰ能否推廣到拋物線的情形？

由此，上述結論Ⅰ也可以推廣到拋物線的情形.

至此，我們完成了對文[1]的結論2、4的再探究，得到了文[1]的結論2、4的推廣.